学年人教版九年级上册第二次月考数学试题及答案.docx
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学年人教版九年级上册第二次月考数学试题及答案
2019-2020学年九年级上册第二次月考数学试卷
一.选择题(满分30分,每小题3分)
1.方程(a﹣2)x2+ax+b=0是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是( )
A.a≠0B.a≠2C.a=2D.a=0
2.下列关于x的方程中一定没有实数根的是( )
A.x2﹣x﹣1=0B.4x2﹣6x+9=0C.x2=﹣xD.x2﹣mx﹣2=0
3.在平面直角坐标系中,抛物线y2与直线y1均过原点,直线经过抛物线的顶点(2,4),则下列说法:
①当0<x<2时,y2>y1;
②y2随x的增大而增大的取值范围是x<2;
③使得y2大于4的x值不存在;
④若y2=2,则x=2﹣
或x=1.
其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说法正确的是( )
A.方程有两个相等的实数根
B.方程有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
5.已知当x>0时,反比例函数y=
的函数值随自变量的增大而减小,此时关于x的方程x2﹣2(k+1)x+k2﹣1=0的根的情况为( )
A.有两个相等的实数根B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根D.无法确定
6.在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为( )
A.9人B.10人C.11人D.12人
7.已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=﹣12,则以x1,x2为根的一元二次方程是( )
A.x2﹣7x+12=0B.x2﹣7x﹣12=0C.x2+7x﹣12=0D.x2+7x+12=0
8.二次数y=x2+6x+1图象的对称轴是( )
A.x=6B.x=﹣6C.x=
﹣3D.x=4
9.抛物线y=x2﹣4x+1与y轴交点的坐标是( )
A.(0,1)B.(1,O)C.(0,﹣3)D.(0,2)
10.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx与y=﹣bx+a的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
二.填空题(满分24分,每小题4分)
11.方程x2=2x的根为 .
12.方程(x+5)(x﹣7)=﹣26,化成一般形式是 ,其二次项的系数和一次项系数的和是 .
13.抛物线y=x2﹣3x+2与x轴交于点A、B,则AB= .
14.把抛物线y=2x2向左平移3个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式为 .
15.若关于x的二次函数y=ax2+a2的最小值为4,则a的值为 .
16.二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0)的图象如图所示,则a+b+2c (填“>”、
“=”或“<”)0.
三.解答题(满分18分,每小题6分)
17.(6分)解下
列一元二次方程.
(1)x2﹣6x﹣4=0
(2)x(x﹣7)=5x﹣36
18.(6分)已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x
…
﹣1
0
1
2
4
…
y
…
10
1
﹣2
1
25
…
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)写出这个二次函数图象的顶点坐标.
19.(6分)已知关于x的方程2x2+kx+1﹣k=0,若方程的一个根是﹣1,求另一个根及k的值.
四.解答题(共3小题,满分21分,每小题7分)
20.(7分)如图所示,在宽为16m,长为20m的矩形耕地上,修筑同样宽的两条道路(互相垂直),把耕地分成大小不等的四块试验田,要使试验田的面积为285m2,道路应为多宽?
21.(7分)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m﹣2)x+(m2﹣
2m)=0.
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根.
(2)如果方程的两实数根为x1,x2,且x12+x22=10,求m的值.
22.(7分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),D(﹣1,0)和C(4,5)三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.
五.解答题(共3小题,满分27分,每小题9分)
23.(9分)如图,某校广场有一段25米长的旧围栏,现打算利用该围栏的一部分(或全部)为一边,围成一块100平方米的长方形草坪(如图CD
EF,CD<
CF)已知整修旧围栏的价格是每米1.75元,建新围栏的价格是4.5元.若CF=x米,计划修建费为y元.
(1)求y与x的函数关系式,并指出x的取值范围;
(2)若计划修建费为150元,能否完成该草坪围栏的修建任务?
若能完成,请算出利用旧围栏多少米;若不能完成,请说明理由.
24.(9分)已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b﹣a)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=﹣1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
25.(9分)已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的两根是m,n且m<n.如图,若抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n).
(1)求抛物线的解析式.
(2)若
(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图象回答,当x取何值时,抛物线的图象在直线BC的上方?
(3)点P在线段OC上,作PE⊥x轴与抛物线交于点E,若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分,求点P的坐标.
参考答案
一.选择题
1.解:
依题意得:
a﹣2≠0,
解得a≠2.
故选:
B.
2.解:
A、△=5>0,方程有两个不相等的实数根;
B、△=﹣108<0,方
程没有实数根;
C、△=1=0,方程有两个相等的实数根;
D、△=m2+8>0,方程有两个不相等的实数根.
故选:
B.
3.解:
设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+4,
∵抛物线与直线均过原点,
∴a(0﹣2)2+4=0,
∴a=﹣1,
∴y=﹣(x﹣2)2+4,
∴由图象得当0<x<2时,y2>y1,故①正确;
y2随x的增大而增大的取值范围是x<2,故②正确;
∵抛物线的顶点(2,4),
使得y2大于4的x值不存在,故③正确;
把y=2代入y=﹣(x﹣2)2+4,得
若y2=2,则x=2﹣
或x=2+
,故④不正确.
其中正确的有3个,
故选:
C.
4.解:
∵△=42﹣4×3×(﹣5)=76>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:
B.
5.解:
∵当x>0时,反比例函数y=
的函数值随自变量的增大而减小,
∴k>0,
∵x2﹣2(k+1)x+k2﹣1=0,
∴△=[﹣2(k+1)]2﹣4×1×(k2﹣1)=8k+8>0,
∴关于x的方程x2﹣2(k+1)x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根,
故选:
C.
6.解:
设参加酒会的人数为x人,
根据题意得:
x(x﹣1)=55,
整理,得:
x2﹣x﹣110=0,
解得:
x1=11,x2=﹣10(不合
题意,舍去).
答:
参加酒会的人数为11人.
故选:
C.
7.解:
∵x1+x2=7,x1x2=﹣12,
∴以x1,x2为根的一元二次方程可为x2﹣7x﹣12=
0.
故选:
B.
8.解:
∵y=x2+6x+1=(x+3)2﹣8,
∴二次数y=x2+6x+1图象的对称轴是直线x=﹣3,
故选:
C.
9.解:
当x=0时,y=x2﹣4x+1=1,
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,1),
故选:
A.
10.解:
A、对于直线y=﹣bx+a来说,由图象可以判断,a>0,b<0;而对于抛物线y=ax2+bx来说,对称轴x=﹣
>0,在y轴的右侧,符合题意,图形正确.
B、对于直线y=﹣bx+a来说,由图象可以判断,a<0,b>0;而对于抛物线y=ax2+bx来说,图象应开口向下,故不合题意,图形错误.
C、对于直线y=﹣bx+a来说,由图象可以判断,a<0,b<0;
而对于抛物线y=ax2+bx来说,对称轴=﹣
<0,应位于y轴的左侧,故不合题意,图形错误,
D、对于直线y=﹣bx+a来说,由图象可以判断,a>0,b<0;而对于抛物线y=ax2+bx来说,图象应开口向下,故不合题意,图形错误.
故选:
A.
二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)
11.解:
x2=2x,
x2﹣2x=0,
x(x﹣2)=0,
x=0,或x﹣2=0,
x1=0,x2=2,
故答案为:
x1=0,x2=2.
12.解:
①由方程(x+5)(x﹣7)=﹣26,得
x2﹣2x﹣35=﹣26,
即x2﹣2x﹣9=0;
②x2﹣2x﹣9=0的二次项系数是1,一次项系数是﹣2,
所以其二次项的系数和一次项系数的和是
1+(﹣2)=﹣1;
故答案为:
x2﹣2x﹣9=0;﹣1.
13.解:
当y=0时,x2﹣3x+2=0,解得x1=1,x2=2,
所以抛物线y=x2﹣3x+2与x轴的交点A、B的坐标为(1,0),(2,0),
所以AB=2﹣1=1.
故答案为1.
14.解:
y=2x2向左平移3个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线的解析式为y=2(x+3)2﹣2;
故答案是:
y=2(x+3)2﹣2.
15.解:
∵关于x的二次函数y=ax2+a2的最小值为4,
∴a2=4,a>0,
解得,a=2,
故答案为:
2.
16.解:
∵抛物线开口向下,∴a<0
∵抛物线与y轴交于y轴负半轴,
∴c<0
∵对称轴在y轴左侧
∴﹣
<0
∴b<0
∴a+b+2c<0
故答案为:
<.
三.解答题(共3小题,满分18分,每小题6分)
17.解:
(1)x2﹣6x﹣4=0,
b2﹣4ac=(﹣6)2﹣4×1×(﹣4)=52,
x=
,
x1=3+
,x2=3﹣
;
(2)x(x﹣7)=5x﹣36,
整理得:
x2﹣12x+36=0,
(x﹣6)2=0,
开方得:
x﹣6=0,
即x1=x2=6.
18.解:
(1)把(0,1),(1,﹣2),(2,1)代入y=ax2+bx+c得
,解得
,
所以抛物线解析式为y=3x2﹣6x+1;
(2)y=3(x2﹣2x)+1
=3(x2﹣2x+1﹣1)+1
=3(x﹣1)2﹣2,
所以抛物线的顶点坐标为(1,﹣2).
19.解:
∵关于x的方程2x2+kx+1﹣k=0的一个根是﹣1,
∴2﹣k+1﹣k=0,解得k=
,
∴原方程为2x2+
x﹣
=0,解得x=﹣1或x=
,
即方程的另一根为
,k的值为
.
四.解答题(共3小题,满分21分,每小题7分)
20.解:
设道路为x米宽,
由题意得:
(20﹣x)(16﹣x)=285,
整理得:
x2﹣36x+35=0,
解得:
x1=1,x2=35,
经检验是原方程的解,
但是x=35>20,因此不合题意舍去,
故道路为1m宽.
21.解:
(1)由题意可知:
△=(2m﹣2)2﹣4(m2﹣2m)
=4>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)∵x1+x2=2m﹣2,x1x2=m2﹣2m,
∴
+
=(x1+x2)2﹣2x1x2=10,
∴(2m﹣2)2﹣2(m2﹣2m)=10,
∴m2﹣2m﹣3=0,
∴m=﹣
1或m=3
22.解:
(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,﹣1)和C(4,5)三点,
∴
,
∴a=
,b=﹣
,c=﹣1,
∴二次函数的解析式为y=
x2﹣
x﹣1;
(2)
当y=0时,得
x2﹣
x﹣1=0;
解得x1=2,x2=﹣1,
∴点D坐标为(﹣1,0);
∴图象如图,
∴当一次函数的值大于二次函数的值时,x的取值范围是﹣1<x<4.
五.解答题(共3小题,满分27分,每小题9分)
23.解:
(1)y=1.75x+4.5(
×2+x),
=1.75x+
+4.5x,
=6.25x+
(0<x≤25);
(2)当y=150时,6.25x+
=150
整理得:
x2﹣24x+144=0
解得:
x1=x2=12
经检验,x=12是原方程的解,且符合题意.
答:
应利用旧围栏12米.
24.解:
(1)△ABC是等腰三角形,
理由:
当x=﹣1时,(a+b)﹣2c+(b﹣a)=0,
∴b=c,
∴△ABC是等腰三角形,
(2)△ABC是直角三角形,
理由:
∵方程有两个相等的实数根,
∴△=(2c)2﹣4(a+b)(b﹣a)=0,
∴a2+c2=b2,
∴△ABC是直角三角形;
(3)∵△ABC是等边三角形,
∴a=b=c,
∴原方程可化为:
2ax2+2ax=0,
即:
x2+x=0,
∴x(x+1)=0,
∴x1=0,x2=﹣1,
即:
这个一元二次方程的根为x1=0,x2=﹣1.
25.解:
(1)∵x2﹣4x+3=0的两个根为x1=1,x2=3,
∴A点的坐标为(1,0),B点的坐标为(0,3),
又∵抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(1,0)、B(0,3)两点,
∴
,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,
答:
抛物线的解析式是y=﹣x2﹣2x+3.
(2)作直线BC,
由
(1)得,y=﹣x2﹣2x+3,
∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴的另一个交点为C,令﹣x2﹣2x+3=0,
解得:
x1=1,x2=﹣3,
∴C点的坐标为(﹣3,0),
由图可知:
当﹣3<x<0时,抛物线的图象在直线BC的上方,
答:
当﹣3<x<0时,抛物线的图象在直线BC的上方.
(3)设直线BC交PE于F,P点坐标为(a,0),则E点坐标为(a,﹣a2﹣2a+3),
∵直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分,
∴F是线段PE的中点(根据等底等高的三角形的面积相等),
即F点的坐标是(a,
),
∵直线BC过点B(0.3)和C(﹣3,0),
设直线BC的解析式是y=kx+b(k≠0),代入得:
,
∴
∴直线BC的解析式为y=x+3,
∵点F在直线BC上,
∴点F的坐标满足直线BC的解析式,
即
=
a+3
解得a1=﹣1,a2=﹣3(此时P点与点C重合,舍去),
∴P点的坐标是(﹣1,0),
答:
点P的坐标是(﹣1,0).
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