新版热学秦允豪编习题解答第四章热力学第一定律课件doc.docx
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普通物理学教程《热学》(秦允豪编)
习题解答
第四章热力学第一定律
V
2
4.2.1解:
W
V
1
PdV
TC
RT
P
(1)PvbRTvb
W
v
v
i
f
RT
vb
dvln
v
f
v
i
b
b
B
PvRT1
(2)v
PRT1
B
v
W
v
vB11
ff
RT1dvRTlnBRT
vvv
vv
i
ifi
V
2
4.2.2应用(4.3)式
W
V
1
PdV
且PVPiVk
i
P
PV
i
i
V
故有:
V
f
W
Vi
1
PiVVdVPVV
iii
1
1
v
f
v
i
111
PVVV
iifi
1
1
1
P
f
V
f
PV
ii
(应用了PiViPfVf)
4.4.2
(1)
P
RT
vb
a
2
v
WPdv
RT
v
b
dv
a
2
v
dv
V
2b11
RTlna
V
b
V
V
1
2
1
ucT
a
2
v
d
当VC时,
C
V
dQ
dT
V
du
dt
(2)
V
T
2
∴CC
V
Q
T
1
CdT
C
T
4.4.3水蒸气的凝结热即为定压状况下单位质量物质相变时吸收(或释放)的热量,在等压
下此值即为比焓变化,即:
l
H
Vh2545.0100.592444.4
m
kJ
(系统放热)
4.4.4铜升温过程,是等压过程
T
2
HQ
TT
1
22
PCdTabTdTaTbT
P
TT
2
11
2
T
1
a
T
2
T
1
b
2
T
2
2
2
T
1
1
422
2.31012003005.921200300
2
1
2.47107Jmol
4.4.5
Qh
PNH
1313
3hh291548669846846190.5Jmol
22
NH
2222
1
4.4.6在定压情况下,1molH2和
1
2
molO
2
化合生成1mol水时吸收的热量为
51
Q(系统放热Q'Q)
H2.85810Jmol
每产生一个水分子有两个电子自阴极到阳极,生成1mol水有2NA电子到阳极。
总电量为
q
1923
2(q2Ne)
1.60106.0210C
A
两极间电压为,Aq
1923
A1.22921.60106.0210
82.84%
5
Q'2.85810
4.4.7设1mol固体状态方程为:
vvaTbP
0,内能表示为:
uCTaPT,
a均为常数。
b,C,v
0
求:
(1)molh
(2)
molCP,C
V
解:
(1)由摩尔焓定义huPvCTaPTPvaTbP
0
hCTPv
0bP
2
H
T
C'
P
(2)a)P
C'
P
h
T
P
C
P
h
T
P
2
CCTPvbPPC
P0
T∴
u
C
V
T
b)V
P
1
b
vvaT
0
u
CT
a
b
v
v
0
aT
T
u
T
V
C
a
b
a
T
v
v
0
aT
C
a
b
v
a
b
v
0
2
a
b
2
CT
V
a
b
aTbPC
2
a
b
CTaP(或)
4.4.8因缓慢加热,可认为气体吸热膨胀是一个等压过程,质量为m的气体吸热
dQmC
dT
P,,
(1)
m
PVRT
PV
m
,RT
由
,
(2)
2
PVdTPVT
T
2
QCCln
PP
RT1TRT
∴1
2910
3
1.0110
8.31
5
1
3
0.9910ln
293
273
3
24.710J
4.5.1
(1)导热板固定,A中气体为等容加热;B中气体为定压膨胀,且为准静态的,搁
板导热,TTT
AB
QC
TCTCC
PBVAPV
T
T
CC
PV
75
22
RR
Q
6R
334.4
68.31
6
.71
K
55
QACVTRT8.316.71139.4
22
J
Q
BQQ334.4139.4195
A
J
(2)隔板活动,A气体等压膨胀;隔板绝热,B中气体温度不变。
Q0TB0QAQCPT
B
Q2Q2334.4
T11.50K
C7R78.31
P
4.5.2利用
dp
g
RT
dz
,证明:
PP01
C
gh
P
T
0
1
1
证明:
(1)由绝热过程方程TPC
1P
T
T
0
P
0
,
(1)
(2)将
(1)代入dP表达中
dPP
gP
1
0
dZ
RTP
0→
dPg
1
PP01
PRT
0
dz
→
P
P
P
0
PdP
g
RT
0
P
0
1
h
0
dz
→
1
1
1
P
1
1
P
0
g
RT
0
P
0
1
→
1
h
1
1
P
0
1
g
RT
0
P
0
1
h
→
1
P
P
0
1
g
RT
0
h
P1
,
(2)
(3)注意到
C
P
C
P
R
1,即:
1R,,(3)
1
Pgh
1
PCT
(3)代入
(2)0
0P
gh
1
PP01
C
P
T
0
1
h
C
T
g
P
01
P
P
0
DIS:
将
(2)式整理,代(3)进可得
a
0
V
4.5.3理想气体按P
2
0
a
CC
V
膨胀,证明TV
。
a
0
V
证明:
(1)将P
整理得:
22
PVa多方指数n2
0
(2)
1
QuACVTPVPVCV
2211
n1
T
PV
2
2
PV
1
1
MM
CTRTCRT
VV
22
QMPVPVa
0
CCRCCC
VVVV
(3)TV
TTTV
NOT:
C
M
VC
V
C为热容量,
V
C为摩尔热容量。
V
RTPVP
C
M
4.5.4注意到,,(4.67)
RT
(1)
1
uCV
1RT
Tuu
00
11
u
0
2
C
uConst
1
∴
RT11R
hCTHTHH
P000
11
(2)
2
C
hConst
1
∴
1
T
2
P
2
4.5.5
(1)右则初态P0V0T0、终态
P,由绝热过程方程
2VT
22
T
0
P
0
,
(1)
1
AuCVTTCV
右20
T
0
P
2
P
0
1
11
T
C
0
V
27
8
1C
V
T
0
27
8
3
1
2
C
V
T
0
RT
0
(
C
R
V2R
11.5)
1
(2)由
(1)式:
T
2
T
0
272
3
83
T
0
(3)左侧初态亦为P0T0V0,终态为
P1VT
11
P
1
P
2
27
8
P
0
∵活塞可移动,
,由PVRT
V
2
RT
P
2
2
PV
0
T
0
0
T
2
P
2
PV
0
T
0
0
3
2
27
8
T
0
P
0
4
9
V
0
V
1
14
2VVV
02
9
0
∴
T
1
PV
11
PV
0
0
T
0
27
8
14
P
0
9
PV
0
0
V
0
T
0
21
4
T
0
A
1
2
C
V
T
0
(4)由第
(1)所求,左侧对右侧作功
Q
uA
右
C
V
T
1
T
0
1
2
C
V
T
0
C
V
21
4
TT
1
0
1
2
CT
V0
19
4
C
V
T
0
19
2
RT
0
4.5.6过程很迅速,可认为是绝热的。
1
1
由TVC
,
T
2
T
1
V
V
1
2
,
V
4
3
r
3
11
5
T31
311.4
310
1
rrr1546.4696
211
2
T310
2
m
DIS:
该题估算的结果与r的取值相关性太大。
(1)上面的运算取1.4,r696m
2。
C
C
P
V
7
2
5
R
R
1.4
但当2
,对应双原子,常温情况,显然与题意不合。
9
2
R
(2)若为双原子,取高温
5
2
R
9
7
1.286
则:
1
2
rr103232
12
9
31
7
m
(3)由此,按绝热膨胀模型对“火球”半径的估算无实在意义。
4.5.7该题描述测方法是1929年Riichhardt设计的,简易描述为如图。
令平衡位置y0,
y向下为正。
(1)y0处,活塞受合力为零。
P
0AmgPA
0
PA
PAmg
0,,
(1)
活塞偏离y0处,受合力不为零,当活塞运动至y0之下时,
气体被压缩(可认为绝热的),气体压力变为P1A,且PP
1
V,故VdV,P可记为dP
yAV
有:
PPdP
1,活塞受合力
FP0AmgP1APAPdPAAdP
负号表合力方向与y反向,指向平衡位置y0。
气缸内气体变化过程可视为绝热过程,满足PVC。
1dVVdP
微分得:
0
PVPdVVdP0
因dVAy,上式化为:
dP
P
V
dV
A
V
P
y
2
PA
FAdPy
因此得:
V,,
(2)
(2)式满足Fky,(准弹性力)活塞作简谐振动。
(2)活塞活动的微分方程为:
m
2
d
dt
y
2
Fky
k
m
2
T2
m
k
2
mV
PA
2
,(3)
4
24
mV
22
mV
0
(3)将(3)式改写为:
22
APT
P
0
A
2
4.5.8
(1)如图,水银总长度为h,y0处两边
水银等高,为平衡位置。
总质量为m,截面为A。
m
水银密度Ah
左管水银柱下y,则高差为2y,V2yA
压强差为Pg2y
指向y0处的回复力
FPAgA2y
m
Ah
gA
2
y
2
mg
h
y
ky
F是准弹性力,水银柱将作谐振动
2
dy
mFky
2
水银柱运动的微分方程为dt
1
k
m
2mh
T22
1
,g
k2
DIS:
考虑水银柱与
地球系统的机械能
守恒,得运动方程
亦可求解。
中图为振动初态,
全部水银静止,质
量为mmax上升
y,具有
max
m的
mgayx
max
势能。
右为振动任意状
态,全部水银以v
1
2
mv2
运动,具有
动能,m为全部水银质量,m部分上升y,具有mgy的势能。
mgy
1
2
mv
2
m
max
gy
max
由机械能守恒:
dy
vy
mmhSmyS
gS
maxmax
dt
以上五式得:
ySgy
1
2
hSy
2
y
Sgy
maxmax
Const
1
22
gyhyConst
2gyyhyy0
2
y
2
g
h
y0
T
1
2
2
h
2g
(2)水银柱振荡时,右端被封闭气柱经历绝热过程,设水银柱平衡时,右端气柱长L,左
端水银上升任意位置y时,右端气柱长度为Ly,由绝热过程:
PLySPLS
y0其中P0gh0
可改写为
Py
L
P1P
0
Ly
对微小振动yL
Py
yy
P011P11
0
LL
P
0
y
L
P
0
h
0
L
gy
由功能关系:
mgy
1
2
mv
2
m
gy
maxmax
A
P
式中AP是由于右端空气压强
P与左端空气压强
y
P对水银柱作功之和,且
0
y
APPPSdy
y
0或dAPPSdy
Py0
0
将上述功能关系改写为:
ySgy
1
2
hS
y
2
y
Sgy
maxmax
A
P
对t求导,将dAP代入:
2SgyyShyy
dA
dt
P
P
y
P
0
Sy
PP
把y0结果代入:
2gyhyPy
P
0
h
0
L
gy
或
y
1
h
2
g
h
0gy
L
0
上式为右端封闭后,绝热条件下,水银柱作微小振动的运动方程,故水银柱作谐振动,
1
h
2g
h
0
L
g
2
T2
2
2g
h
h
2
g0
L
(3)由T1和T2得:
T
1
T
2
h
2
h
2g
2gh0
1
h
2L
0
g
L
2
2
L
T
1
2
h0T
1
4.5.9
(1)氮为双原子气体
C
V
5
2
R
,经历了多方过程CR
n2
即:
C
R
nC2
VnC2
n1
R
5
2
R
R2
n1
R
R
2n
R
1
n3
n
故该过程满足的方程为PVC
3
PVC
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