概率论与数理统计答案汇总版.docx
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概率论与数理统计答案汇总版
概率论与数理统计答案(汇总版)
篇一:
概率论与数理统计教程答案(徐建豪版)
习题
1、写出下列随机试验的样本空间.
(1)生产产品直到有4件正品为正,记录生产产品的总件数.
(2)在单位园中任取一点记录其坐标.
(3)同时掷三颗骰子,记录出现的点数之和.
解:
(1)?
?
{4,5,6,7,8?
}
(2)?
?
{()x2?
y2?
1}
(3)?
?
{3,4,5,6,7,8,9,10,?
18}
2、同时掷两颗骰子,x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数,设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”,B表示“点数之差为零”,C表示“点数之积不超过20”,用样本的集合表示事件B?
A,BC,B?
C.
解:
B?
A?
{(),(),(),(),(),()}
BC?
{(),(),(),()}
B?
C?
{(),(),(),(),(),(),(),(),(),()}
3、设某人向靶子射击3次,用Ai表示“第i次射击击中靶子”(i?
1,2,3),试用语言描述下列事件.
(1)A1?
A2
(2)(A1?
A2)A3(3)A1A2?
A2A2
解:
(1)第1,2次都没有中靶
(2)第三次中靶且第1,2中至少有一次中靶
(3)第二次中靶
4.设某人向一把子射击三次,用Ai表示“第i次射击击中靶子”(i=1,2,
3),使用符号及其运算的形式表示以下事件:
(1)“至少有一次击中靶子”可表示为;
(2)“恰有一次击中靶子”可表示为;
(3)“至少有两次击中靶子”可表示为;
(4)“三次全部击中靶子”可表示为;
(5)“三次均未击中靶子”可表示为;
(6)“只在最后一次击中靶子”可表示为.解:
(1)A1?
A2?
A3;
(2)A123?
1A23?
12A3;
(3)A1A2?
A1A3?
A2A3;(4)A1A2A3;(5)123(6)12A3
5.证明下列各题
(1)A?
B?
A
(2)A?
B?
(A?
B)?
(AB)?
(B?
A)
证明:
(1)右边=A(?
?
B)?
A?
AB=A且?
?
B?
?
A?
B=左边
(2)右边=(AB)?
(AB)?
(BA)=A或?
?
B?
?
A?
B
习题
1.设A、B、C三事件,P(A)?
P(B)?
P(C)?
1
4
P(AC)?
P(BC)?
1
8,P(AB)?
0,求A、B、C至少有一个发生的概率.
解:
?
P(AB)?
0?
P(ABC)?
0
P(A?
B?
C).?
P(A)?
P(B)?
P(C)?
P(AB)?
P(BC)?
P(AC)?
P(ABC)=3?
11
4?
2?
8?
1
2
2.已知p()?
,P(B)?
,P(B)?
,求
(1)P(AB)
(2)P(A?
B),(3)P(A?
B),(4)P(AB).
解:
(1)
?
A?
B,?
AB?
A
?
P(AB)?
P(A)?
(2)
?
A?
B,?
A?
B?
B
?
P(A?
B)?
P(B)?
3.设P(A)=(A?
B)=互斥,求P(B).
解:
?
A,B互斥,P(A?
B)?
P(A)?
P(B)
,,
故P(B)?
P(A?
B)?
P(A)
4.设A、B是两事件且P(A)=,P(B)?
(1)在什么条件下P(AB)取到最大值,最大值是多少?
(2)在什么条件下P(AB)取到最小值,最小值是多少?
解:
由加法公式P(AB)?
P(A)?
P(B)?
P(A?
B)=?
P(A?
B)
(1)由于当A?
B时A?
B?
B,P(A?
B)达到最小,即P(A?
B)?
P(B)?
,则此时P(AB)取到最大值,最大值为
(2)当P(A?
B)达到最大,即P(A?
B)?
P(?
)?
1,则此时P(AB)取到最小值,最小值为
5.设
P(A)?
P(B)?
P(C)?
1115,P(AB)?
P(BC)?
P(AC)?
P(?
?
)?
4816求P(A?
B?
C).解:
P(ABC)?
1?
P(ABC)?
1?
P(?
?
)?
1?
151?
1616
P(A?
B?
C).?
P(A)?
P(B)?
P(C)?
P(AB)?
P(BC)?
P(AC)?
P(ABC)=3?
1117?
3481616
习题
1.从一副扑克牌(52张)中任取3张(不重复)求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.
解:
设事件A={3张中至少有2张花色相同}则A={3张中花色各不相同}
3111C4C13C13C13P(A)?
1?
P(A)?
1?
?
3C52
只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱,每个部件用3只铆钉,若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱,问发生一个部件强度太弱的概率.
3解法一随机试验是从50只铆钉随机地取3个,共有C50种取法,而发生“某
3C31一个部件强度太弱”这一事件只有C这一种取法,其概率为3?
,而10C501960033
个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的,故所求的概率为
p?
?
pi?
i?
110101?
196001960
3解法二样本空间的样本点的总数为C50,而发生“一个部件强度太弱”这
13一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来,并都装在一个部件上,共有C10C3
种情况,故发生“一个部件强度太弱”的概率为
13C10C31p?
?
31960C50
3.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次,每次取一个数,求取出的3个数之积能被10整除的概率.
解法一设A表示“取出的3个数之积能被10整除”,
,A1表示“取出的3个数中含有数字5”
,A2表示“取出的3个数中含有数字偶数”
P(A)?
P(A1A2)?
1?
P(A1A2)
?
1?
P(A1?
A2)?
1?
P(A1)?
P(A2)?
P(A1A2)
?
8?
?
5?
?
4?
?
119?
?
9?
?
9?
解法二设Ak为“第k次取得数字,Bk为“第k次取得偶数”,5”k?
1,2,3。
则A?
(A1?
A2?
A3)(B1?
B2?
B3)333
A?
(A1A2A3)?
(B1B2B3)
P(A)?
P(A1A2A3)?
P(B1B2B3)?
P(A1A2A3B1B2B3)
由于是有放回地取数,所以各次抽取结果相互独立,并且
P(A1)?
P(A2)?
P(A3)?
85,P(B1)?
P(B2)?
P(B3)?
99
P(A1B1)?
P(A2B2)?
P(A3B3)?
49
33?
8?
?
5?
?
4?
因此P?
A?
?
1?
PA?
1?
[]?
1?
?
?
9?
?
9?
?
9?
4.袋内装有两个5分,三个2分,五个1分的硬币,任意取出5个,求总数超过1角的概率.
5解共10个钱币,任取5个,基本事件的总数N?
C10,有利的情况,即5?
3
个钱币总数超过一角的情形可列举6种
(1)5,5,2,2,2;
(2)5,5,2,2,1;(3)5,5,2,1,1;(4)5,5,1,1,1;(5)5,2,2,2,1;(6)5,2,2,1,1.故包含的基本事件数为
2322121223131122N(A)?
C2C3?
C2C3C3?
C2C3C5?
C2C5?
C2C3C5?
C2C3C5
?
1?
3?
5?
3?
10?
10?
2?
5?
2?
3?
10?
126故所求概率为P?
1261?
5C102
5.设有N件产品,其中M件次品,今从中任取n件,
(1)求其中恰有k(k?
min(M,n))件次品的概率;
(2)求其中至少有2件次品的概率.
kn?
knn?
1CMCNCN?
M?
M?
MCN?
M解:
(1)
(2)1-nnCNCN
6.设n个朋友随机的围绕圆桌而坐,求下列事件的概率:
(1)甲乙两人坐在一起,且乙在甲的左边;
(2)甲、乙、丙三人坐在一起;
(3)如果n个人并列坐在一张长桌的一边,再求上述事件的概率.
(n?
1)!
解
(1)n个朋友随机的围绕圆桌而坐,样本空间样本点总数为
而事件A为甲乙两人坐在一起,且乙在甲的左边,可将两人“捆绑”在一起,看成是“一个”人占“一个”座位,有利于事件A发生的样本点个数为(n?
2)!
于是P(A)?
(n?
2)!
1?
(n?
1)!
n?
1
(n?
1)!
,而事
(2)n个朋友随机的围绕圆桌而坐,样本空间样本点总数为
篇二:
第三版__课后习题答案._
习题一:
写出下列随机试验的样本空间:
(1)某篮球运动员投篮时,连续5次都命中,观察其投篮次数;
解:
连续5次都命中,至少要投5次以上,故?
1?
?
5,6,7,?
?
;
(2)掷一颗匀称的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和;
解:
?
2?
?
2,3,4,?
11,12?
;
(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;
解:
医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷,所以?
3?
?
0,1,2,?
(4)从编号为1,2,3,4,5的5件产品中任意取出两件,观察取出哪两件产品;解:
属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故:
?
4?
?
i,j?
?
i?
j?
5?
;
(5)检查两件产品是否合格;
解:
用0表示合格,1表示不合格,则?
50,0?
?
0,1?
?
1,0?
?
1,1?
?
;
(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1,最高气温不高于T2);解:
用x表示最低气温,y表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间,故:
?
6?
?
x,y?
1?
x?
y?
T2?
;;
(7)在单位圆内任取两点,观察这两点的距离;
解:
?
7?
x0?
x?
2?
;
(8)在长为l的线段上任取一点,该点将线段分成两段,观察两线段的长度.
解:
?
8?
?
x,y?
x?
0,y?
0,x?
y?
l?
;
(1)A与B都发生,但C不发生;AB;
(2)A发生,且B与C至少有一个发生;A(B?
C);
(3)A,B,C中至少有一个发生;A?
B?
C;
?
?
(4)A,B,C中恰有一个发生;A?
B?
;
(5)A,B,C中至少有两个发生;AB?
AC?
BC;
(6)A,B,C中至多有一个发生;?
?
;
(7)A;B;C中至多有两个发生;ABC
(8)A,B,C中恰有两个发生.BC?
AC?
AB;
注意:
此类题目答案一般不唯一,有不同的表示方式。
设样本空间?
?
x0?
x?
2?
事件A=?
x?
1?
B?
?
x?
?
具体写出下列各事件:
(1)AB;
(2)A?
B;(3)A?
B;(4)A?
B
(1)AB?
?
x?
1?
;
(2)A?
B=?
x?
?
;
(3)A?
B=x0?
xx?
2?
;
(4)A?
B=x0?
xx?
2?
按从小到大次序排列P(A),P(A?
B),P(AB),P(A)?
P(B),并说明理由.
解:
由于AB?
A,A?
(A?
B),故P(AB)?
P(A)?
P(A?
B),而由加法公式,有:
P(A?
B)?
P(A)?
P(B)
解:
(1)昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为:
P(W?
E)?
P(W)?
P(E)?
P(WE)?
(2)由于事件W可以分解为互斥事件WE,W,昆虫出现残翅,但没有退化性眼睛对应事件概率为:
P(W)?
P(W)?
P(WE)?
(3)昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛的概率为:
P()?
1?
P(W?
E)?
解:
(1)由于AB?
A,AB?
B,故P(AB)?
P(A),P(AB)?
P(B),显然当A?
B时P(AB)
取到最大值。
最大值是
(2)由于P(AB)?
P(A)?
P(B)?
P(A?
B)。
显然当P(A?
B)?
1时P(AB)取到最小值,最小值是
解:
因为P(AB)=0,故P(ABC)=,B,C至少有一个发生的概率为:
P(A?
B?
C)?
P(A)?
P(B)?
P(C)?
P(AB)?
P(BC)?
P(AC)?
P(ABC)?
解
(1)通过作图,可以知道,P(A)?
P(A?
B)?
P(B)?
(2)P(AB)?
1?
P(AB)?
1?
(P(A)?
P(A?
B))?
(3)由于P(AB)?
P()?
1?
P(A?
B)?
1?
(P(A)?
P(B)?
P(AB))
?
1?
P(A)?
P(B)?
P(AB)
P(B)?
1?
P(A)?
解:
用Ai表示事件“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3。
三只球放入四只杯中,放法有
4?
4?
4?
64种,每种放法等可能。
对事件A1:
必须三球放入三杯中,每杯只放一球。
放法4×3×2种,故P(A1)?
(选排列:
好比3个球在4个位置做排列)。
38
对事件A3:
必须三球都放入一杯中。
放法有4种。
(只需从4个杯中选1个杯子,放入此3个球,选法有4种),故P(A3)?
解:
此题为典型的古典概型,掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。
.出现点数和为“3”对应两个基本事件(1,2),(2,1)。
故前后两次出现的点数之和为3的概率为1319。
P(A2)?
116816161。
18同理可以求得前后两次出现的点数之和为4,5的概率各是
(1)11,。
129
解:
从10个数中任取三个数,共有C10?
120种取法,亦即基本事件总数为120。
(1)若要三个数中最小的一个是5,先要保证取得5,再从大于5的四个数里取两个,取法有2C4?
6种,故所求概率为31。
20
1。
12
(2)若要三个数中最大的一个是5,先要保证取得5,再从小于5的五个数里取两个,取法有C5?
10种,故所求概率为
解:
分别用A1,A2,A3表示事件:
(1)取到两只黄球;
(2)取到两只白球;(3)取到一只白球,一只黄球.则
2C822814C46116P(A1)?
2?
?
P(A2)?
2?
?
P(A3)?
1?
P(A1)?
P(A2)?
。
C126633C126611332
解:
P((A?
)B)?
P((A?
)?
B)P((AB)?
(B))?
P(B)P(B)
P(AB)P(A)?
P(A)?
?
P(B)P(B)由于P(B)?
0,故P((A?
)B)?
(1)P(A?
B);
(2)P(?
B);
解:
(1)P(A?
B)?
P(A)?
P(B)?
P(AB)?
1?
P(B)P(AB)?
1
(2)P(?
B)?
P()?
P(B)?
P(B)?
1?
P(B)P(B)?
1注意:
因为P(AB)?
,所以P(B)?
1?
P(AB)?
。
解:
用Ai表示事件“第i次取到的是正品”(i?
1,2,3),则i表示事件“第i次取到的是次品”(i?
1,2,3)。
P(A1)?
15331421?
P(A1A2)?
P(A1)P(A2A1)20441938
(1)事件“在第一、第二次取到正品的条件下,第三次取到次品”的概率为:
P(3A1A2)?
5。
18
(2)事件“第三次才取到次品”的概率为:
P(A1A23)?
P(A1)P(A2A1)P(3A1A2)?
(3)事件“第三次取到次品”的概率为:
151453520191822814
此题要注意区分事件
(1)、
(2)的区别,一个是求条件概率,一个是一般的概率。
再例如,设有两个产品,一个为正品,一个为次品。
用Ai表示事件“第i次取到的是正品”(i?
1,2),
篇三:
概率论与数理统计课后习题答案____完整校对版
复旦大学
习题一
1.略.见教材习题参考答案.
2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件:
(1)A发生,B,C都不发生;
(2)A与B发生,C不发生;(3)A,B,C都发生;
(4)A,B,C至少有一个发生;(5)A,B,C都不发生;(6)A,B,C不都发生;
(7)A,B,C至多有2个发生;(8)A,B,C至少有2个发生.解
(1)ABC
(2)ABC(3)ABC
(4)A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC(5)ABC=A?
B?
C(6)ABC
(7)ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C(8)AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC3.略.见教材习题参考答案
4.设A,B为随机事件,且P(A)=,P(A?
B)=,求P(AB).解P()=1?
P(AB)=1?
[P(A)?
P(A?
B)]
=1?
[?
]=
5.设A,B是两事件,且P(A)=,P(B)=,求:
(1)在什么条件下P(AB)取到最大值?
(2)在什么条件下P(AB)取到最小值?
解
(1)当AB=A时,P(AB)取到最大值为
(2)当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为
6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,
P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率.
解P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)?
P(AB)?
P(BC)?
P(AC)+P(ABC)
=
11113++?
=443124
7.从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花的概率
是多少?
5332
解p=C13C13C13C13/C1352
8.对一个五人学习小组考虑生日问题:
(1)求五个人的生日都在星期日的概率;
(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.解
(1)设A1={五个人的生日都在星期日},基本事件总数为75,有利事件仅1个,故P(A1)=
115
=()(亦可用独立性求解,下同)757
(2)设A2={五个人生日都不在星期日},有利事件数为65,故
6565
P(A2)=5=()
77
(3)设A3={五个人的生日不都在星期日}
P(A3)=1?
P(A1)=1?
(
15
)7
9.略.见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件,其中M件正品.从中随机地取出n件(n30.
如图阴影部分所示.
3021P?
2?
604
22.从(0,1)中随机地取两个数,求:
6
的概率;51
(2)两个数之积小于的概率.
4
(1)两个数之和小于解设两数为x,y,则0 (1)x+y< 6.5 144 17 p1? 1 125 1 (2)xy=<. 4 p2? 1? ? ? 1? 11dxdy11ln24x? 4? 421 23.设P(A)=,P(B)=,P(AB)=,求P(B|A∪B)解P(BA? B)? P(AB)PA(? )PAB() ? P(A? B)P(A)? P(B)? P(AB)
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- 关 键 词:
- 概率论 数理统计 答案 汇总