第一次质检数学试题含答案新教材新高考Word格式.docx
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⎨
f(x)=⎪
⎪⎪
bx-11
⎩x+12
2
<
x≤1,
(e为自然对数的底数),则a-b的值为
A.-3
B.
-2
C.
-1
D.0
二、选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求。
全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.若点(a,b)在直线x+2y-2=0上,其中a>
0,b>
0,则
A.ab的最大值为1
a+b的最大值为2
a+b的最小值为
D.
2+1的最小值为8
a+1b3
10.一个不透明的袋子中装有6个小球,其中有4个红球,2个白球,这些球除颜色外完全相同,则下列结论中正确的有
A.若一次摸出3个球,则摸出的球均为红球的概率是2
B.若一次摸出3个球,则摸出的球为2个红球,1个白球的概率是3
C.若第一次摸出一个球,记下颜色后将它放回袋中,再次摸出一个球,则两次摸出的球
为不同颜色的球的概率是4
9
D.若第一次摸出一个球,不放回袋中,再次摸出一个球,则两次摸出的球为不同颜色的
球的概率是3
11.已知函数f(x)=sin(x-ϕ)+cos(2x-2ϕ),则下列结论正确的是
A.
π
当ϕ=0时,函数f(x)在
[0,
π9
]上的最大值为
B.当
ϕ=π
28
时,函数f(x)的图像关于直线x=对称
C.π是函数f(x)的一个周期2
D.不存在ϕ,使得函数f(x)是奇函数
12.已知抛物线C:
x2=2py(p>
0)的焦点为F,O是坐标原点,P为抛物线C上一动点,直线l交C于A,B两点,点Q(1,1)不在抛物线C上,则
A.若A,B,F,Q四点共线,则p=2
B.若PQ+PF的最小值为2,则p=2
C.若直线l过焦点F,则直线OA,OB的斜率kOA
kOB满足kOA
⋅kOB
=-1
4
D.若过点A,B所作的抛物线的两条切线互相垂直,且A,B两点的纵坐标之和的最小值为4,则∆ABQ的面积为4
三、填空题:
(第15题第一空2分,第二空3分)
13.已知函数f(x)=ax2-2lnx在点(1,f
(1))处的切线方程为y=1,则a的值为.
14.将1~2021这2021个整数中能被2整除余1且被3整除余2的数按从小到大的顺序构成一个数列,则该数列的项数为.
15.已知抛物线y2
=-y2-x2
8x的准线与双曲线C:
2
ab2
=1(a>
0,b>
0)的渐近线分别交于
A,B两点,O是坐标原点.若∆AOB的内切圆的周长为π,则内切圆的圆心坐标为,双曲线C的离心率为.
16.正方体ABCD-A'
B'
C'
D'
的棱长为a,P是正方体表面上的动点,若
AP
=
动点P的轨迹长度为.
2a,则
四、解答题:
本题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本题满分10分)
在ⒸcsinB=
3bcosC,Ⓒ2cosC-sin(3π-2C)=2cos2C,
ⒸS∆ABC=CA⋅CB⋅sinC三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.在∆ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,c=2.
(1)求角C;
(2)求∆ABC周长的取值范围.
18.(本题满分12分)
已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且Sn=2an-2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若b=a⋅loga
,设数列{b}的前n项和为T,当T
k≥0对任意n∈N*都
nn2
n+1nnn
成立时,求实数k的取值范围.
19.(本题满分12分)
为贯彻落实全国教育大会精神,全面加强和改进新时代学校体育工作,某校开展阳光体育“冬季长跑活动”.为了解学生对“冬季长跑活动”的兴趣度是否与性别有关,某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查,其中认为感兴趣的人数占80%.
(1)根据所给数据,完成下面的2⨯2列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别有关?
感兴趣
不感兴趣
合计
男
12
女
36
100
(2)若用频率估计概率,在随机抽取的100名学生中,从男学生和女学生中各随机抽取
1名学生,求这2人中恰有1人不感兴趣的概率;
(3)若不感兴趣的男学生中恰有5名是高三学生.现从不感兴趣的男学生中随机选出3名进行二次调查,记选出高三男学生的人数为X,求X的分布列与数学期望.
附:
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,其中n=a+b+c+d.
20.(本题满分12分)
如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧面SAD为等腰直角三角形,
SA=SD=22,AB=2,F是BC的中点,二面角S-AD-B的大小为120︒,设平面SAD
D
F
与平面SBC的交线为l.S
(1)在线段AD上是否存在点E,使l⊥平面SEF?
若存
在,确定点E的位置;
若不存在,请说明理由;
C
(2)若点Q在l上,直线SB与平面QCD所成角的正弦值为
3
,求线段DQ的长.
4AB
21.(本题满分12分)
(第20题图)
已知椭圆C:
x2+y2=1(a>
b>
0)的左、右顶点分别为A,A,上、下顶点分别为B,B,
a2b2
1212
左焦点为F1,且过点M(1,2),O为坐标原点
∆ABF与∆OAB的面积的比值为1-.
(1)
求椭圆C的标准方程;
11122
(2)直线l:
y=kx+m(k>
0,m≠0)与椭圆C交于P,Q两点,记直线OP,OQ的斜率分别为k1,k2,若k为k1,k2的等比中项,求∆OPQ面积的取值范围.
22.(本题满分12分)
设函数f(x)=xlnx-ax2-x,g(x)=ex-1-3ax+a(e为自然对数的底数)
(1)若函数f(x)有两个极值点,求a的取值范围;
(2)设函数h(x)=g(x)-f'
(x),其中f'
(x)为f(x)的导函数,求证:
h(x)的极小值不大于1.
数学试题参考答案
题号
1
7
8
选项
C
A
B
10
AD
BC
ABD
CD
12.简解
A.若直线l过点F、Q且与y轴垂直,可得p=2,当直线l过点F、Q但不与y轴垂直时,得不出p=2,故A错;
B.当点Q在抛物线的内部时,由抛物线的定义得
PQ+PF
≥PQ+PN
≥1+P=2⇒P=2(N为抛物线准线上的点);
当点Q在抛物
(P-1)2+12
线的外部时,连接FQ,
≥QF=
=2,得P=2+2
故B错
p
C.由条件知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+
与x2=2py联立消去y得
x2-2pkx-p2=0,A(x,y),B(x,y)
则x1x2=-p
(xx)2
∴y1y2=12=
p2
∴kOAkOB=-
1,故C正确;
4p244
D.设A(x,y),B(x,y),由x2=2py得y'
=1x,∴1xx
=-1,∴xx
=-p2,
1122
pp21212
∴y+y=1(x2+x2)=1(x+x)2+p,所以当x+x
=0时,
122p122p1212
y+y
取得最小值∴p=4,从而求得x,=±
4,y=y
=2,∴S
=1⨯8⨯1=4,故D
12
正确.
∆ABQ2
(,0)
13.1;
14.337;
15.3
,3;
(第一空2分,第二空3分)16.πa
B'
16.解:
动点P的轨迹是以A为球心,半径为2a的球与平面D'
A'
C'
D'
,平面DCC'
,平面CBB'
的交线,这三条C'
弧长之和为
πa.
17.(本题满分10分)C
bcB
解:
(1)选条件Ⓒ,由正弦定理
sinB
=及csinB=
sinC
3bcosC得
sinCsinB=
3sinBcosC,
…………………1分
0<
B<
π,∴sinB>
0,
………………………2分
∴sinC=
3cosC
……………………………3分
∴tanC=
∴C=π
3,0<
C<
π,4分
……………………………5分
选条件Ⓒ,由2cosC-sin(3π
2C)=2cos2C
得2cosC+cos2C=2cos2C,
∴2cosC+2cos2C-1=2cos2C,∴cosC=1
π,∴C=π
……………………………2分
……………………………4分
…………………………………5分
选条件ⒸS∆ABC=CA⋅CB⋅sinC=abcosCsinC=2absinC
……………2分
sinC>
0,∴cosC=1,0<
…………………………5分
(2)法1:
由
(1)知C=
π,又c=2
=
c243
设∆ABC的外接圆的半径为R,则2R==
sinπ
6分
43
2π
所以∆ABC的周长L=2R(sinA+sinB)+2=
[sinA+sin(
33
-A)]+2
=4sin(A+π)+2
…………………………………8分
A<
2π,∴π<
A+π<
5π,∴1<
sin(A+π)≤1
……………………9分
366626
∴L∈(4,6]10分
法2:
由余弦定理得
c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2ab⨯1
=a2+b2-ab6分
∴4=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-3(a+b)2=1(a+b)2
44
……………………7分
(a+b)2≤16,∴a+b≤4,又a+b>
c,∴2<
a+b≤4
(当且仅当a=b=2时取等号)9分
∴4<
l≤6,所以∆ABC的周长的取值范围为(4,6]10分
(1)Sn=2an-2,n≥2时,Sn-1=2an-1-22分
两式相减得a=2a-2a
a
,又各项均为正数,即n
=2,4分
nnn-1
an-1
又S1=2a1-2,则a1=2,5分
n
所以a=2n
………………………………6分
(2)b=a⋅loga
=(n+1)⋅2n,7分
n+1
T=2⨯2+3⨯22+4⨯23++(n+1)⨯2n
Ⓒ
∴2Tn
Ⓒ-Ⓒ
=2⨯22+3⨯23+4⨯24++(n+1)⨯2n+1Ⓒ
得-T=2⨯2+22++2
n-(n+1)2n+1
=2+
2(1-2n)
1-2
-(n+1)2
n+1
=-n•2
∴Tn
=n•2n+1
………………………9分
……………………………………………10分
因Tn+1
Tn
=(n+1)⋅2n+2-n⋅2n+1=(n+2)⋅2n+1>
0,11分
所以Tn+1>
Tn,即Tn单调递增,所以k≤T1=4
解:
(1)列联表补充如下:
……………………………12分
44
56
80
20
……………………………1分
计算
100⨯44⨯8-36⨯122
()
=≈0.162<
2.706,
80⨯20⨯56⨯44
………………………3分所以没有9000的把握认为学生对“冬季长跑”的兴趣度与性别有关4分
(2)设2人中恰有1人不感兴趣这一事件为A,
=⨯+⨯=
44812367
则P(A)7分
5644564422
(3)根据题意,X的值可能为0,1,2,3.
则P(X=0)=7
=7,
C2⋅C121
P(X=1=75=)
P(X=2=75)
C1⋅C2
22
P(X=3)=5=1
1222
故X的分布列如下:
X
P
21
………………………………11分
故X的数学期望:
E(X)=0⨯7+1⨯21+2⨯7+3⨯1=512分
444422224
(1)在线段AD上存在点E满足题意,且E为AD中点,1分
连接ES,EF,SF,底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD,
又E,F分别是AD,BC中点,∴EF//AB,EF⊥AD,2分
z
S
l
E
y
x
又侧面SAD为等腰直角三角形,∴SE⊥AD,SE⋂EF=E,
∴AD⊥平面SEF,3分
过S点在平面SAD内作AD的平行线l,
AD//BC,∴BC//lC
即l为平面SAD与平面SBC的交线5分
∴l⊥平面SEF6分
––→–––→
(2)以E为原点,EA方向为x轴,EF方向为y轴,
建立如图坐标系E-xyz.则∠SEF=120︒,7分
S(0,-1,3),A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),D(-2,0,0),
设Q(t,-1,3)……8分
––→
–––→
∴SB=(2,3,-3),DC=(0,2,0),DQ=(t+2,-1,3),
设平面QCD的法向量为n=(x,y,z),则
t+2
⎧→
⎪n⋅DC=0
⎧⎪2y=0→
由⎨→
,得⎨(t+2)x-y+
,取n=(-1,0,),9分
3z=0
⎪⎩n⋅DQ=0⎪⎩
设直线SB与平面QCD所成角为θ,
––→→
则sinθ=cos<
SB,n>
4+t
=
(t+2)2
,得t=-11分
41+
65
此时DQ=12分
c
S∆ABF
1(a-c)b
(1)由已知条件设F1(-c,0),则111
22
S∆OAB
=2=1-
1aba
=1-
1分
所以有c=2,将(1,2)代入椭圆C的方程得1+1
=1,又a2=b2+c2.
a22a22b2
解得a=,b=1
∴椭圆C的标准方程为x
+y2
=1.
……………………………………………3分
……………………………………4分
(2)依题意可设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1≠0,x2≠0
联立直线与椭圆C的方程得⎪2
⎧x2+2
=1,
⎪⎩y=kx+m,
消去y并整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.
则∆=16k2m2-4(2k
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