人工智能4第5章.ppt
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第5章基于谓词逻辑的机器推理人类的智能活动过程主要是一个获得知识并运用知识的过程,知识是智能的基础。
为了使计算机具有智能,使它能模拟人类的智能行为,就必须使它具有知识。
但是,需要把人类拥有的知识采用适当的模式表示出来,才能存储到计算机中去,这就是用知识表示要解决的问题。
知识表示是对知识的一种描述。
或者说是一组约定,是一种计算机可以接受的、用于描述知识的数据结构,对知识进行表示就是把知识表示成便于计算机存储和利用的某种数据结构。
目前使用较多的知识表示方法主要有:
一阶谓词逻辑表示法、产生式表示法、框架表示法、语义网络表示法等。
第5章基于谓词逻辑的机器推理,本章介绍一阶谓词逻辑(PredicateLogic)表示法及基于一阶谓词逻辑的机器推理,主要介绍基于谓词逻辑的归结演绎推理。
谓词逻辑是一种形式语言,也是目前能够表达人类思维活动的一种最精确的语言,它与人类的自然语言比较接近,又可以方便地存储到计算机中,并被计算机进行精确处理。
因此,它成为最早应用于人工智能中表示知识的一种逻辑表示法。
第5章基于谓词逻辑的机器推理,谓词逻辑是在命题(Propositional)逻辑的基础上发展起来的,对于知识的形式化表示,特别是在定理的自动证明中发挥了重要作用,在人工智能发展史中占有重要地位。
命题是具有真假意义的语句。
命题代表人们进行思维时的一种判断,或是肯定,或是否定,只有这两种情况。
一个命题不能同时即为真又为假,但可以在一定条件下为真,在另一种条件下为假。
没有真假意义的语句(如感叹句、疑问句等)不是命题。
在谓词逻辑中,命题是用谓词表示的。
第5章基于谓词逻辑的机器推理,本章主要介绍基于谓词逻辑的归结演绎推理。
内容如下:
5.1一阶谓词逻辑5.2归结演绎推理5.3应用归结原理求取问题答案5.4归结策略5.5归结反演程序举例5.6Horn子句归结与逻辑程序5.7非归结演绎推理,第5章基于谓词逻辑的机器推理,本章主要介绍基于谓词逻辑的归结演绎推理。
内容如下:
5.1一阶谓词逻辑5.1.1谓词、函数、量词5.1.2谓词公式5.1.3谓词逻辑中的形式演绎推理,第5章基于谓词逻辑的机器推理,5.1.一阶谓词逻辑,5.1.1.谓词、函数、量词谓词:
一个谓词可分为谓词名与个体两个部分。
个体表示某个独立存在的事物或者某个抽象的概念,谓词名用来刻画个体的属性、状态或个体之间的关系。
一般地,表达式P(x1,x2,xn)在谓词逻辑中称为n元谓词。
其中P是谓词符号,也称谓词,代表一个确定的特征或关系。
x1,x2,xn称为谓词的参量或者项,一般表示个体。
设a1,a2,an表示个体对象,A表示它们的属性、状态或关系,则表达式A(a1,a2,an)。
在谓词逻辑中就表示一个(原子)命题。
例如,
(1)素数
(2),就表示命题“2是个素数”。
质数又称素数。
指在一个大于1的自然数中,除了1和此整数自身外,没法被其他自然数整除的数。
换句话说,只有两个正因数(1和自己)的自然数即为素数。
比1大但不是素数的数称为合数。
1和0既非素数也非合数。
素数在数论中有着很重要的地位。
(2)好朋友(张三,李四),就表示命题“张三和李四是好朋友”。
P(x1,x2,xn)个体变元的变化范围称为个体域(或论述域)个体域可以是有限的,也可以是无限的,包揽一切事物的集合称为全总个体域。
5.1.1.谓词、函数、量词,5.1.1.谓词、函数、量词,为了表达个体之间的对应关系,我们引入通常数学中函数的概念和记法。
例如我们用father(x)表示x的父亲,用sum(x,y)表示数x和y之和。
一般地,我们用如下形式:
f(x1,x2,xn)表示个体变元x1,x2,xn所对应的个体yy=f(x1,x2,xn),并称之为n元个体函数,简称函数(或函词、函词命名式)。
其中f是函数符号,有了函数的概念和记法,谓词的表达能力就更强了。
例如,我们用Doctor(father(Li)表示“小李的父亲是医生”,用E(sq(x),y)表示“x的平方等于y”。
5.1.1.谓词、函数、量词,谓词中的个体可以是常元,也可以是变元,还可以是一个函数。
个体常元、个体变元、函数统称为“项”。
以后我们约定用大写英文字母作为谓词符号,用小写字母f,g,h等表示函数符号,用小写字母x,y,z等作为个体变元符号,用小写字母a,b,c等作为个体常元符号。
5.1.1.谓词、函数、量词,量词分为:
全称量词(UniversalQuantification)记为x和存在量词(ExistentialQuantification)记为y。
我们把“所有”、“一切”、“任一”、“全体”、“凡是”等词统称为全称量词,记为x;把“存在”、“有些”、“至少有一个”、“有的”等词统称为存在量词,记为y。
引入量词后,谓词的表达能力就大大扩充了。
例如命题“凡是人都有名字”就可以表示为:
x(M(x)N(x),5.1.1.谓词、函数、量词,例如命题“凡是人都有名字”就可以表示为:
x(M(x)N(x)其中M(x)表示“x是人”,N(x)表示“x有名字”,该式可读作“对于任意的x,如果x是人,则x有名字”。
这里的个体域取为全总个体域。
如果把个体域取为人类集合,则该命题就可以表示为xN(x),5.1.1.谓词、函数、量词,同理,我们可以把命题“存在不是偶数的整数”表示为:
x(G(x)E(x)其中G(x)表示“x是整数”,E(x)表示“x是偶数”。
此式可读作“存在x,x是整数并且x不是偶数”。
5.1.1.谓词、函数、量词,例5.1不存在最大的整数,我们可以把它翻译为x(G(x)y(G(y)D(x,y)或x(G(x)y(G(y)D(y,x)其中D(x,y)表示xy,G(x)表示x是整数。
例5.2对于所有的自然数,均有x+yxxy(N(x)N(y)S(x,y,x)其中S(x,y,x)表示x+yx。
例5.3某些人对某些食物过敏xy(M(x)F(y)G(x,y)其中G(x,y)表示x人对y食物过敏。
常用的逻辑联结词有下列五个:
1)联结词“非”(Negation),记作“”;2)联结词“与”或者“合取”(Conjunction),记作“”;3)联结词“或”或者“析取”(Disjunction),记作“”;,4)联结词“蕴含”或者“蕴涵”(Implication),记作“”;它表示被它连接的两个命题的“蕴含”关系。
如PQ表示“P蕴含Q”,即“如果P,则Q”,其中P称为前提,Q称为后件。
联结词的优先级别是:
,n。
逻辑联结词又称真值联结词。
联接词又称联接词、连词、连接词。
5)联结词“等价”(Equivalence),记作“n”。
5.1.1.谓词、函数、量词,常用的逻辑联结词的真值表,设:
G(a)表示“a同学学习好”。
G(张三)G(李四)如果张三学习好,则李四学习好。
说明李四比张三要好。
(一大点,一小点)。
如果G(张三)G(李四),并且同时G(李四)G(张三),说明什么?
T,F,T,T,T,T,F,T,F,F,T,F,5.1.1.谓词、函数、量词,由上节可以看出,用谓词、量词及真值联结词可以表达相当复杂的命题。
抽象的来看,我们把命题的符号表达式称为谓词公式。
什么是谓词公式?
定义1(什么是项?
)
(1)个体常元和个体变元都是项。
(2)设f是n元函数符号,若t1,t2,tn是项,则f(t1,t2,tn)是项。
(3)只有有限次使用
(1),
(2)得到的符号串也(才)是项。
定义2(什么是原子谓词公式?
)设P为n元谓词符号,t1,t2,tn为项,则P(t1,t2,tn)称为原子谓词公式,简称原子公式或者原子。
从原子谓词公式出发,通过命题联结词和量词,可以组成复合谓词公式。
下面我们给出谓词公式的严格定义,即谓词公式的生成规则。
5.1.2.谓词公式,定义3(什么是谓词公式?
)
(1)原子公式是谓词公式。
(2)若A,B是谓词公式,则A,AB,AB,AB,AnB也是谓词。
(2)若A(x)是谓词公式,x是个体变元,则xA(x),xA(x)也是谓词。
(3)只有有限步应用
(1),
(2)
(2)生成的公式才是谓词公式。
谓词公式在不会发生误解时,可简称为公式。
由项的定义,当t1,t2,tn全为个体常元时,所得的原子谓词公式就是原子命题公式(命题符号)。
所以,全体命题公式也都是谓词公式。
5.1.2.谓词公式,量词分为:
全称量词记为x和存在量词记为y。
紧接于量词之后被量词作用(即说明)的谓词公式称为该量词的辖域。
例:
(1)xP(x)P(x)为x的辖域,
(2)x(H(x)G(x,y)(H(x)G(y,x)为x的辖域,(3)xA(x)B(x)A(x)为x的辖域,但B(x)并非x的辖域。
量词后的变元如x,y中的x,y称为量词的指导变元(或作用变元),而在一个量词的辖域中与该量词的指导变元相同的变元称为约束变元,其他变元(如果有的话)称为自由变元,例如
(2)中的x为约束变元,而y为自由变元,(3)中A(x)中x的为约束变元,但B(x)中x的为自由变元。
例如(3),一个变元在一个公式中既可约束出现,又可自由出现,但为了避免混淆,通常通过改名规则,使得一个公式中一个变元仅以一种形式出现。
5.1.2.谓词公式,约束变元的改名规则如下:
(1)对需改名的变元,应同时更改该变元在量词及其辖域中的所有出现。
(2)新变元符号必须是量词辖域内原先没有的,最好是公式中也未出现过的。
例如公式xA(x)B(x)可改为xA(x)B(y),但两者的意义相同。
(yA(y)B(x)可以吗?
)在谓词前加上量词,称作谓词中的相应的个体变元都被量化,例如xA(x)中的x被量化,yB(y)中的y被量化。
5.1.2.谓词公式,如果一个谓词中的所有个体变元都被量化,则这个谓词就变为一个命题。
例如,设P(x)表示“x是素数”,则xP(x),xP(x)就都是命题。
这样我们就有两种从谓词(即命题函数)得到命题的方法:
一种是给谓词中的个体变元代入个体常元,另一种就是把谓词中的个体变元全部量化。
需要说明的是,仅个体变元被量化的谓词称为一阶谓词。
如果不仅个体变元被量化,而且函数符号和谓词符号也被量化,则那样的谓词称为二阶谓词。
在谓词P(x1,x2,xn)中,若xi(i=1,2,n)都是个体常元、变元或函数,则称它为一阶谓词。
若某个xi本身又是一个一阶谓词,则称P为二阶谓词。
余者类推。
本书只涉及一阶谓词,以后提及的谓词都是指一阶谓词。
5.1.2.谓词公式,如果一个公式中的所有个体变元都被量化,或者所有变元都是约束变元(或无自由变元),则这个公式就是一个命题。
特别地,我们称xA(x)为全称命题,xA(x)为特称命题(存量命题)。
对于这两种命题,当个体域为有限集时(设n有个元素),有下面的等价式:
xA(x)A(a1)A(a2)A(an)xA(x)A(a1)A(a2)A(an)这两个式子也可以推广到个体域为可数无限集。
xA(x)A(a1)A(a2)A(an)xA(x)A(a1)A(a2)A(an),5.1.2.谓词公式,定义4(什么是合取范式?
)设A为如下形式的谓词公式:
B1B2Bn其中Bi(i=1,2,n)形如L1L2Lm,Lj(j=1,2,m)为原子公式或其否定,则A称为合取范式。
例如:
(P(x)Q(y)(P(x)Q(y)R(x,y)(Q(y)R(x,y)就是一个合取范式。
应用逻辑等价式(P.99-100),任一谓词公式都可以化为与之等价的合取范式,这个合取范式就是称为原公式的合取范式。
但应指出,一个谓词公式的合取范式一般不(是)唯一(的)。
定义5(析取范式)设A为如下形式的命题(改为:
谓词)公式:
(P.98)例如:
(P(x)Q(y)R(x,y)(P(x)Q(y)(P(x)R(x,y),5.1.2.谓词公式,定义6设P为谓词公式,D为其个体域,对于D中的任一解释I:
(1)若P恒为真,则称P在D上永真(或有效)或是D上的永真式。
(2)若P恒为假,则称P在D上永假(或不可满足)或是D上的永假式。
(3)若至少有一个解释,可使P为真,则称P在D上可满足或是D上的可满足式。
定义7设P为谓词公式,对于任何个体域:
(1)若P恒为真,则称P为的永真式。
(2)若P恒为假,则称P为永假式。
(3)若P都可满足,则称P为可满足式。
5.1.2.谓词公式,由于谓词公式的真值与个体域及解释有关,考虑到个体域的数目和个体域中元素数目无限的情形,所以要通过一个机械的执行的方法(即算法),判断一个谓词公式的永真性一般是不可能的,所以一般称一阶谓词逻辑是不可判定的。
(但它是半可判定的。
),5.1.2.谓词公式,作业:
补充作业:
1什么是项、什么是原子谓词公式、什么是谓词公式?
2什么是谓词公式的解释?
5.1.3.谓词逻辑中的形式演绎推理,利用谓词公式可以将自然语言中的陈述语句表示为一种形式化的符号表达式。
那么,利用谓词公式,我们同样可以将形式逻辑中抽象出来的推理规则形式化为一些符号变换公式。
表5.1(P.99-100)和表5.2(P.100)就是形式逻辑中常用的一些逻辑等价式和逻辑蕴含式,即推理规则的符号表示形式。
表5.1常用逻辑等价式,5.1.3.谓词逻辑中的形式演绎推理,利用谓词公式可以将自然语言中的陈述语句表示为一种形式化的符号表达式。
那么,利用谓词公式,我们同样可以将形式逻辑中抽象出来的推理规则形式化为一些符号变换公式。
表5.1(P.99-100)和表5.2(P.100)就是形式逻辑中常用的一些逻辑等价式和逻辑蕴含式,即推理规则的符号表示形式。
表5.2常用逻辑蕴含式,5.1.3.谓词逻辑中的形式演绎推理,利用谓词公式可以将自然语言中的陈述语句表示为一种形式化的符号表达式。
那么,利用谓词公式,我们同样可以将形式逻辑中抽象出来的推理规则形式化为一些符号变换公式。
表5.1(P.99-100)和表5.2(P.100)就是形式逻辑中常用的一些逻辑等价式和逻辑蕴含式,即推理规则的符号表示形式。
表5.1常用逻辑等价式(E1E40)(见P.99100),什么是逻辑等价式?
定义:
设P和Q是两个谓词公式,D是它们共同的个体域。
若对D上的任何一个解释,P与Q都有相同的真值,则称公式P和Q在D上是等价的。
如果D是任意域,则称P和Q是等价的。
记作:
PQ。
重要的逻辑等价式有:
E1;E9;E12;E13;E14;E15;E20;E21;E24;E29;E30;,5.1.3.谓词逻辑中的形式演绎推理,E1:
AAE9:
A(BC)(AB)(AC)E12:
(AB)ABE13:
(AB)ABE14:
ABABE15:
AnB(AB)(BA)E20:
AAFE21:
AATE24:
ABBAE29:
xA(x)xA(x)E30:
xA(x)xA(x),双重否定律分配律摩根定律蕴含表达式等价表达式矛盾律排中律逆反律量词转换律,5.1.3.谓词逻辑中的形式演绎推理,表5.1常用逻辑等价式(E1E40)(见P.99100),表5.2常用逻辑蕴含式(I1I20)(见P.100),什么是永真蕴含式?
定义:
对于谓词公式P和Q,如果PQ永真,则称P永真蕴含Q,且称Q为P的逻辑结论,称P为Q的前提,记作:
PQ,重要的逻辑蕴含式有:
I3;I4;I6;I11(简称US);I12(简称ES);I13(简称UG);I14(简称EG);,5.1.3.谓词逻辑中的形式演绎推理,表5.2常用逻辑蕴含式(I1I20)(见P.100),I1:
AABI2:
ABA,ABBI3:
(AB)ABI4:
(AB)BAI6:
(AB)(BC)(AC)I11:
xA(x)A(y)(简称US);I12:
xA(x)A(y)(简称ES);I13:
A(y)xA(x)(简称UG);I14:
A(y)xA(x)(简称EG);,附加律简化律假言推理拒取式假言三段论y是个体域中的任一确定的元素y是个体域中的某一确定的元素y是个体域中的任一确定的元素y是个体域中的某一确定的元素,5.1.3.谓词逻辑中的形式演绎推理,5.1.3.谓词逻辑中的形式演绎推理,利用谓词公式可以将自然语言中的陈述语句表示为一种形式化的符号表达式。
那么,利用谓词公式,我们同样可以将形式逻辑中抽象出来的推理规则形式化为一些符号变换公式。
表5.1(P.99-100)和表5.2(P.100)就是形式逻辑中常用的一些逻辑等价式和逻辑蕴含式,即推理规则的符号表示形式。
可以看出,利用一阶谓词逻辑的这种形式语言,就可以把关于自然语言的逻辑推理问题,转化为这种符号表达式的推演变换。
下面就是几个例子。
自然演绎推理:
从一组已知为真的事实出发,直接运用经典逻辑的推理规则推出结论的过程称为自然演绎推理。
(为什么书中要称为:
形式演绎推理?
)逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科,最早由古希腊学者亚里士多德创建的。
用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。
也叫做符号逻辑。
数理逻辑是精确化、数学化的形式逻辑。
下面就是几个例子。
例5.4设有前提:
(1)凡是大学生都学过计算机;
(2)小王是大学生。
试问:
小王学过计算机吗?
解:
令S(x):
x是大学生;M(x):
x学过计算机;a:
小王。
则上面的两个命题可用谓词公式表示为:
(1)x(S(x)M(x)
(2)S(a)下面我们进行形式推理:
(1)x(S(x)M(x)前提
(2)S(a)M(a)
(1),US(I11)(3)S(a)前提(4)M(a)
(2),(3),I3得结果:
M(a),即“小王学过计算机”。
5.1.3.谓词逻辑中的形式演绎推理,例5.5证明P(a,b)是xy(P(x,y)W(x,y)和W(a,b)的逻辑结果。
证:
说明一下,本题也就是要证明:
(xy(P(x,y)W(x,y)W(a,b)P(a,b)。
(1)xy(P(x,y)W(x,y)前提
(2)y(P(a,y)W(a,y)
(1),US(3)P(a,b)W(a,b)
(2),US(4)W(a,b)前提(5)P(a,b)(3),(4),I4,5.1.3.谓词逻辑中的形式演绎推理,例5.6证明x(P(x)Q(x)x(R(x)Q(x)x(R(x)P(x)证:
(P.101)(注意例5.6的表达方式?
)
(1)x(P(x)Q(x)前提
(2)P(y)Q(y)
(1),US(3)Q(y)P(y)
(2),E24(4)x(R(x)Q(x)前提(5)R(y)Q(y)(4),US(6)R(y)P(y)(3),(5),I6(7)x(R(x)P(x)(6),UG形式演绎推理的许多困难,推理规则太多(P.101P.102)。
因此,人们就开发了一些受限的自然演绎推理技术;或者另辟蹊径,发明了所谓的归结演绎推理技术。
5.1.3.谓词逻辑中的形式演绎推理,5.2.1.子句集定义1原子谓词公式及其否定称为文字,若干个文字的一个析取式称为一个子句,由r个文字组成的子句叫r文字子句,1文字子句叫单元子句,不含任何文字的子句称为空子句,记为或NIL。
例如下面的析取式都是子句PQRP(x,y)Q(x)如何求得一个谓词公式G的子句集S?
5.2归结演绎推理,定义2对一个谓词公式G,通过以下步骤所得的子句集合S,称为G的子句集。
(1)消去蕴含词和等值词n。
(2)缩小否定词的作用范围,直到其仅作用于原子公式。
(3)适当改名,使量词间不含同名指导变元和约束变元。
(4)消去存在量词。
(5)消去所有全称量词。
(6)化公式为合取范式。
(7)适当改名,使子句间无同名变元。
(8)消去合取词,以子句为元素组成一个集合S。
5.2.1.子句集,定义2对一个谓词公式G,通过以下步骤所得的子句集合S,称为G的子句集。
(续之一),
(1)消去蕴含词和等值词n。
利用两个逻辑等价式。
a)ABABb)AnB(AB)(BA)
(2)缩小否定词的作用范围,直到其仅作用于原子公式。
使用五个逻辑等价式。
a)(A)Ab)(AB)ABc)(AB)ABd)xP(x)xP(x)e)xP(x)xP(x),
(2)缩小否定词的作用范围。
a)AAb)ABc)AB,5.2.1.子句集,定义2对一个谓词公式G,通过以下步骤所得的子句集合S,称为G的子句集。
(续之二),5.2.1.子句集,(3)适当改名,使量词间不含同名指导变元和约束变元。
xA(x)xB(x)改为xA(x)yB(y);xA(x)xB(x)xC(x)改为xA(x)yB(y)zC(z)。
(4)消去存在量词。
消去存在量词时,同时还要进行变元替换。
变元替换分两种情况:
若该存在量词在某些全称量词的辖域内,则用这些全称量词指导变元的一个函数代替该存在量词辖域中的相应约束变元,这样的函数称为Skolem函数;x(A(x)yB(x,y),用f(x)(函数)代y,x(A(x)B(x,f(x),xy(A(x)zB(x,y,z),用f(x,y)(函数)代z,xy(A(x)B(x,y,f(x,y),若该存在量词不在任何全称量词的辖域内,则用一个常量符号代替该存在量词辖域中的相应约束变元,这样的常量符号称为Skolem常量。
xy(A(x,y)B(x),用a(常量)代x,y(A(a,y)B(a),定义2对一个谓词公式G,通过以下步骤所得的子句集合S,称为G的子句集。
(续之三),(5)消去所有全称量词。
(6)化公式为合取范式。
可使用两个逻辑等价式。
a)A(BC)(AB)(AC)b)(AB)C(AC)(BC)a)ABC(AB)(AC)b)ABC(AC)(BC)(7)适当改名,使子句间无同名变元。
(8)消去合取词,以子句为元素组成一个集合S。
5.2.1.子句集,定义2对一个谓词公式G,通过以下步骤所得的子句集合S,称为G的子句集。
(1)消去蕴含词和等值词n。
(2)缩小否定词的作用范围,直到其仅作用于原子公式。
(3)适当改名,使量词间不含同名指导变元和约束变元。
(4)消去存在量词。
(5)消去所有全称量词。
(6)化公式为合取范式。
(7)适当改名,使子句间无同名变元。
(8)消去合取词,以子句为元素组成一个集合S。
5.2.1.子句集,解:
(1)消去蕴含词,得x(yP(x,y)y(Q(x,y)R(x,y)
(2)缩小否定词的作用范围,直到其仅作用于原子公式。
得x(yP(x,y)y(Q(x,y)R(x,y)(3)适当改名,使量词间不含同名指导变元和约束变元。
得x(yP(x,y)z(Q(x,z)R(x,z)(4)消去存在量词。
用f(x)代替y,用g(x)代替z,得x(P(x,f(x)(Q(x,g(x)R(x,g(x),例5.7求下面谓词公式的子句集。
x(yP(x,y)y(Q(x,y)R(x,y),5.2.1.子句集,解(续):
(5)消去所有全称量词。
得,P(x,f(x)(Q(x,g(x)R(x,g(x),(6)化公式为合取范式。
得,(P(x,f(x)Q(x,g(x)(P(x,f(x)R(x,g(x),(7)适当改名,使子句间无同名变元。
得,(P(x,f(x)Q(x,g(x)(P(y,f(y)R(y,g(y),(8)消去合取词,以子句为元素组成一个集合S。
得,子句集S=P(x,f(x)Q(x,g(x),P(y,f(y)R(y,g(y),例5.7求下面谓词公式的子句集。
x(yP(x,y)y(Q(x,y)R(x,y),5.2.1.子句集,解:
(1)消去存在量词。
说明:
(4)消去存在量词。
消去存在量词时,同时还要进行变元替换。
变元替换分两种情况:
若该存在量词在某些全称量词的辖域内,则用这些全称量词指导变元的一个函数代替该存在量词辖域中的相应约束变元,这样的函数称为Skolem函数;若该存在量词不在任何全称量词的辖域内,则用一个常量符号代替该存在量词辖域中的相应约束变元,这样的常量符号称为Skolem常量。
存在量词x、u、w;用a代替x,用f(y,z)代替u,用g(y,z,v)代替w,得yzv(P(a,y,z)Q(f(y,z),v,g(y,z,v)
(2)消去所有全称量词。
得P(a,y,z)Q(f(y,z),v,g(y,z,v)(3)适当改名,使子句间无同名变元。
得P(a,x,y)Q(f(u,v),w,g(u,v,w)(4)消去合取词,以子句为元素组成一个集合S。
得子句集S=P(a,x,y),Q(f(u,v),w,g(u,v,w),例5.8求谓词公式G=xyzuvw(P(x,y,z)Q(u,v,w)的
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