全国初中数学竞赛试题与参考答案Word文档下载推荐.docx
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A)<
0,1)<
B)<
1,0)<
C)<
﹣1,0)<
D)<
0,-1)
3.若x
,y
0,且满足xy
xy,x
x3y,则x
y的值为(
y
A)1
B)2
C)9
D)11
2
4.点D,E分别在△
ABC的边AB,AC上,BE,CD相交于点
F,设
S四边形EADF
S1,SBDF
S2,SBCF
S3,SCEF
S4,则S1S3
与S2S4的大小关系为
(>
A)S1S3
S2S4
B)S1S3
S2S4
C)S1S3S2S4
D)不能确定
,则4S的整数部分等于(
5.设S3
3
99
A)4
B)5
C)6
D)7
二、填空题<
共5小题,每小题7分,共35分)
6.若关于x的方程(x
2)(x2
4xm)0有三个根,且这三个根恰好可
以作为一个三角形的三条边的长,则
m的取值范围是.
7.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是
1,2,2,3,3,
4;
另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是
1,3,4,5,6,8.
同时掷这两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为奇数的概率
是.
NW2GT2oy01
8.如图,点A,B为直线y
x上的两点,过A,B两点分别作
y轴的平行
线交双曲线
1<
x>0)于C,D两点.若BD
2AC,则4OC2
OD2的值
x
为.
第8题)
9.若
第10题)
1x
x1的最大值为
a,最小值为
b,则a2
b2的值为
10.如图,在Rt△ABC中,斜边AB
ABC,且其边长为12,则△ABC的周长为
三、解答题<
共4题,每题20分,共
的长为
80分)
35,正方形
CDEF
内接于△
11.已知关于
x的一元二次方程
x2
cx
a
0的两个整数根恰好比方程
ax
b
0的两个根都大
1,求
bc的值.
12.如图,点
H为△
ABC的垂心,以
AB为直径的⊙
O1和△
BCH
的外接圆
⊙O2相交于点D,延长AD交CH于点P,求证:
点P
为CH的中点.
13.如图,点
A为y轴正半轴上一点,
第12题)
A,B两点关于x轴对称,过点A任
作直线交抛物线y
x2于P,Q两点.
1)求证:
∠ABP=∠ABQ;
2)若点A的坐标为<
0,1),且∠PBQ=60o,试求所有满足条件的直线PQ的函数解读式.
14.如图,△ABC中,
BAC
60
,
第13题)
AB
2AC.点
P在△ABC
内
且
PA
3,PB5,PC
2,求△ABC的面积.
中国教育学会中学数学教学专业
委员会
第14题)
“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答
案
一、选择题
1.A
解:
由于a
71,a1
7,a2
62a,所以
3a
12a
(
)
6a123a6
2a
126
6a12
6a2
24.
66
2.B
依定义的运算法则,有
ux
vy
u(x
1)
u
即
对任何实数
vx
uy
v(x
v
u,v都成立.由于实数u,v的任意性,得
x,y)=<
1,0).
3.C
由题设可知yxy1,于是
yx3y
x4y1,
所以
4y11
故y
,从而x4.于是xy
9
.
4.C
如图,连接DE,设SDEFS1
,则
S1
EF
S4,从而有S1S3
S2S4.由于S1S1
,所以
S2
BF
S3
S1S3
S2S4.
第4题)
5.A
当k2,3,,99时,由于
k3
kk2
2k1kkk1
1S1
11
5.
23
33
993
100
4
于是有4
4S
5,故4S的整数部分等于4.
二、填空题
6.3<m≤4
易知x
2是方程的一个根,设方程的另外两个根为
,则
x1x2
4,x1x2
m.显然x1
2,所以
x1
2,
164m≥0,
4x1x2
2,
16
4m
≥0,所以
4m≥0,
解之得
3<m≤4.
7.1
在36对可能出现的结果中,有
4对:
1,4),<
2,3),<
2,3),
4,1)的和为5,所以朝上的面两数字之和为
5的概率是4
.NW2GT2oy01
36
8.6
如图,设点C的坐标为(a,b),点D的坐标为(c,d),
则点A的坐标为(a,a),点B的坐标为(c,c).由于点C,D
在双曲线y
1上,所以ab
1,cd
1.
由于AC
b,BD
c
d,又由于BD
2AC,于
第8题)
是
d
2ab,c2
2cd
d2
(4a2
2ab
b2),
(4
a2
b2)(c2
d2)8ab
6,
即4OC2
OD2
6.
9.3
1≥0,得1≤x≤1.
由1
x≥0,且x
y2
3x
2(x
3)2
由于1
1,所以当x=
3时,y2
取到最大值1,故a=1.
当x=
1或1时,y2取到最小值1,故b=
2.
所以,a2
b2
3.
10.84
如图,设BC=a,AC=b,则
352=1225.①
又Rt△AFE∽Rt△ACB,所以FE
AF,即
12
CB
AC
,故
12(ab)ab.②
由①②得
(a
2ab122524(a
b),
b)a
解得a+b=49<
另一个解-25舍去),所以
49
35
84.
三、解答题
11.解:
设方程x2
0的两个根为
,其中
为整数,且
≤
,则方程x2
0的两根为
1,
1,由题意得
a,
a,
两式相加得
0,
2)(
2)
或
;
1.
解得
3.
又由于a
),b
,c
([
1)(
1)],
a0,b
1,c2
或者
8,
b,1
故a
bc
,或29.
12.证明:
如图,延长AP交⊙O2于点Q,
连接AH,BD,QB,QC,QH.
由于AB为⊙O1的直径,
所以∠ADB∠BDQ90°
故BQ为⊙O2的直径.
于是CQBC,BHHQ.
又由于点H为△ABC的垂心,所以AHBC,BHAC.
所以AH∥CQ,AC∥HQ,四边形ACQH为平行四边形.
所以点P为CH的中点.
13.解:
1)如图,分别过点P,Q作y轴的垂线,垂足分别为C,D.
设点A的坐标为<
0,t),则点B的坐标为<
0,-
t).
设直线PQ的函数解读式为ykxt,并设P,Q的坐
标分别为(xP,yP),(xQ,yQ).由
ykxt,
得
于是xPxQ
于是BC
BD
2x2,
2x2
kxt
3t,即t
2xPxQ.
yP
t
xP
yQ
xQ
1,
2xx
2x
(x
3PQ
P
Q
3xPxQ
3xQ(xQ
xP)
又由于PC
,所以BC
PC.
QD
由于∠BCP∠BDQ90,所以△BCP∽△BDQ,
故∠ABP=∠ABQ.
2)解法一设PCa,DQb,不妨设a≥b>
0,由<
1)可知
∠ABP=∠ABQ30,BC=3a,BD=3b,
所以AC=3a2,AD=23b.
由于PC∥DQ,所以△ACP∽△ADQ.
于是PCAC,即a3a2,
DQADb23b
所以ab3ab.
由<
1)中xPxQ
t,即
ab
3,所以ab
3,a
33,
于是可求得a
2b
将b
3代入y
2x2,得到点Q的坐标<
3,1).
再将点Q的坐标代入y
kx1,求得k
3.
所以直线PQ的函数解读式为y
1.
根据对称性知,所求直线
PQ的函数解读式为y
1,或yx1.
解法二设直线PQ的函数解读式为y
kx
t,其中t1.
1)可知,∠ABP=∠ABQ
30,所以BQ
2DQ.
故
2xQ
xQ2
(yQ
1)2.
将yQ
2xQ2代入上式,平方并整理得
4xQ415xQ2
90,即(4xQ2
3)(xQ2
3)
0.
所以xQ
3或3.
又由(1>
得xPxQ
3t
3,xP
xQ3k.
若xQ
3,代入上式得
3,从而k
(xPxQ)
同理,若xQ
3,可得xP
3,从而k
2(xP
xQ)
所以,直线PQ的函数解读式为
1,或y
14.解:
如图,作△ABQ,使得
QAB
PAC,ABQ
ACP,则△ABQ∽△ACP.
由于AB2AC,所以相似比为2.
于是
AQ
2AP
23,BQ
2CP4
QAP
BAP
PAC
60.
由AQ:
AP
2:
1知,APQ90
,于是PQ
3AP
所以BP2
25
BQ2
PQ2,从而
BQP
90.
AB2
PQ2
(AP
BQ)2
288
故SABC
1ABACsin60
3AB26
73.
8
申明:
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途。
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