高中函数图像大全.docx
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高中函数图像大全
指数函数
概念:
一般地,函数
y=a^x
(a>0,且
a≠1)叫做指数函数,其中
x是自变量,函数
的定义域是R。
注意:
⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
1,否则不能为指数函数。
指数函数的图像与性质:
规律:
1.当两个指数函数中的
两个函数都不具有奇偶性。
a互为倒数时,两个函数关于
y轴对称,但这
2.当a>1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越靠近y轴;
当0<a<1时,底数越小,图像下降的越快,在y轴的左侧,图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀:
“大增小减”。
即:
当a>1时,图像在R上是增函数;当0<a<1时,图像在R上是减函数。
4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法:
1.当底数相同时,则利用指数函数的单调性进行比较;
2.当底数中含有字母时要注意分类讨论;
3.
当底数不同,指数也不同时,则需要
引入中间量进行比较;
4.
对多个数进行比较,可用
0或1作为中间量进行比较
底数的平移:
在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。
对数函数
1.对数函数的概念
由于指数函数y=ax在定义域(-∞,+∞)上是单调函数,所以它存在反函数,
我们把指数函数y=ax(a>0,a≠1)的反函数称为对数函数,并记为
y=logax(a>0,a≠1).
因为指数函数y=ax的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数
y=logax的
定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).
2.对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x.据此即可以画
出对数函数的图像,并推知它的性质.
为了研究对数函数
y=logax(a>0,a≠1)的性质,我们在同一直角坐标系中作出函数
y=log2x,y=log10x,y=log10x,y=log1
x,y=log
1
x的草图
2
10
由草图,再结合指数函数的图像和性质,可以归纳、分析出对数函数
y=logax(a>0,a
≠1)的图像的特征和性质.见下表.
a>1a<1
图
象
(1)x>0
性
(2)当x=1时,y=0
质
(3)当x>1时,y>0
(3)当x>1时,y<0
0<x<1时,y<0
0<x<1时,y>0
(4)在(0,+∞)上是增函数
(4)在(0,+∞)上是减函数
补
设y1=logaxy2=logbx其中a>1,b>1(或0<a<10<b<1)
充
当x>1时“底大图低”即若a>b则y1>y2
性
当0<x<1时“底大图高”即若a>b,则y1>y2
质
比较对数大小的常用方法有:
(1)
若底数为同一常数,则可由对数函数的
单调性直接进行判断.
(2)
若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行
分类讨论.
(3)
若底数不同、真数相同,则可用
换底公式化为同底再进行比较.
(4)
若底数、真数都不相同,则常借助
1、0、-1等中间量进行比较.
3.指数函数与对数函数对比
名称
一般形式
定义域
值域
函
数
值
变
化
情
况
单调性
图像
指数函数
对数函数
y=ax(a>0,a≠1)
y=logax(a>0,a≠1)
(-∞,+∞)
(0,+∞)
(0,+∞)
(-∞,+∞)
当a>1时,
当a>1时
1(x
0)
0(x
1)
ax
1(x
0)
loga
x
0(x
1)
1(x
0)
0(x
1)
当0<a<1时,
当0<a<1时,
1(x
0)
0(x
1)
ax
1(x
0)
logax
0(x
1)
1(x
0)
0(x
1)
当a>1时,ax是增函数;
当a>1时,logax是增函数;
当0<a<1时,ax是减函数.
当0<a<1时,logax是减函数.
y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称.
幂函数
幂函数的图像与性质
幂函数yxn随着n的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分
类记忆的方法.熟练掌握
yxn,当n2,1,
1
1,3的图像和性质,列表如下.
2
3
从中可以归纳出以下结论:
①它们都过点1,1,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函
数图像都不过第四象限.
②
a
1,1
1,
2,3时,幂函数图像过原点且在
0,
3
2
③
a
1,
1,
2时,幂函数图像不过原点且在
0,
2
④任何两个幂函数最多有三个公共点.
上是增函数.
上是减函数.
yxn奇函数偶函数非奇非偶函数
yyy
n
1
x
x
x
O
O
O
y
y
y
0
n1
O
x
O
x
O
x
y
y
y
n
0
x
x
O
O
x
O
定义域
R
R
R
奇偶性
奇
奇
奇
非奇非偶
奇
在第Ⅰ象限的增减
在第Ⅰ象限
在第Ⅰ象限
在第Ⅰ象限
在第Ⅰ象限
在第Ⅰ象限
性
单调递增
单调递增
单调递增
单调递增
单调递减
幂函数yx(xR,是常数)的图像在第
一象限的分布规律是:
①所有幂函数yx(xR,是常数)的图
像都过点(1,1);
1,2,3,1
时函数y
x的图像都过原点
(0,0);
②当
2
③当1时,yx的的图像在第一象限是第一象限的平分线(如c2);
④当
2,3时,y
x
的的图像在第一象限是“
凹型”曲线(如c1)
1
凸型”曲线(如c3)
⑤当
2时,y
x
的的图像在第一象限是“
⑥当1时,yx的的图像不过原点(0,0),且在第一象限是“下滑”曲线(如c4)
当0时,幂函数yx有下列性质:
(1)图象都通过点(0,0),(1,1);
(2)在第一象限内都是增函数;
(3)在第一象限内,1时,图象是向下凸的;01时,图象是向上凸的;
(4)在第一象限内,过点(1,1)后,图象向右上方无限伸展。
当0时,幂函数yx有下列性质:
(1)图象都通过点(1,1);
(2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的;
(3)在第一象限内,图象向上与
y轴无限地接近;向右无限地与
x轴无限地接近;
4
(1,1)后,
无论取任何实数,幂函数yx的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。
对号函数
函数yax
b
x(a>0,b>0)叫做对号函数,因其在(
0,+∞)的图象似符号“√”
而得名,利用对号函数的图象及均值不等式,
当x>0时,ax
b
b
b
x
2(当且仅当
ax
a
x
即x
b时取等号),由此可得函数yax
b(a>0,b>0,x∈R+)的性质:
a
x
当x
b时,函数y
ax
b(a>0,b>0,x∈R+)有最小值2
b
a
x
a
,特别地,当a=b=1
时函数有最小值2。
函数y
ax
b(a>0,b>0)在区间(0,
b)上是减函数,在区间(
b,
x
a
a
+∞)上是增函数。
因为函数
y
ax
b
(a>0,b>0)是奇函数,所以可得函数
y
ax
b
(a>0,b>0,x∈R-)
x
x
的性质:
当x
b
时,函数
y
ax
b
(a>0,b>0,x∈R-)有最大值
-2
b
,特别地,当
a=b=1
a
x
a
时函数有最大值
-2。
函数
y
ax
b
(a>0,b>0)在区间(
-∞,
-
b
)上是增函数,在区
x
a
间(-b,0)上是减函
a
奇函数和偶函数
(1)如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值,都有f(-x)=-(x).那么就称f(x)为奇
函数.
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值,都有f(-x)=f(x),那么就称f(x)为偶函数.说明:
(1)由奇函数、偶函数的定义可知,只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时,才有可能是奇
(2)判断是不是奇函数或偶函数,不能轻率从事,例如判断f(x)是不易的.为了便于判断
有时可采取如下办法:
计算f(x)+f(-x),视其结果而说明是否是奇函数.用这个方法判断此
函数较为方便:
f(x)
(3)判断函数的奇偶性时,还应注意是否对定义域内的任何x值,
当x≠0时,显然有f(-x)=-f(x),但当x=0时,f(-x)=f(x)=1,∴f(x)为非奇非偶函数.
(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形;偶函数的图象特征是关于y
轴为对称轴的对称图形.
(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时,尤其要注意由它们的定义出发来进行论证.
例如果函数f(x)是奇函数,并且在(0,+∞)上是增函数,试判断在(-∞,0)上的增减性.
解设x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2<0
则有-x1>-x2>0,
∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(-x1)>f(-x2)
又∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(x)对任意x成立,
∴=-f(x1)>-f(x2)
∴f(x1)<f(x2).
∴f(x)在(-∞,0)上也为增函数.
由此可得出结论:
一个奇函数若在(0,+∞)上是增函数,则在(-∞,0)上也必是增函数,即奇函数在(0,+∞)上与(-∞,0)上的奇偶性相同.
类似地可以证明,偶函数在(0,+∞)和(-∞,0)上的奇偶性恰好相反.
时,f(x)的解析式
解∵x<0,∴-x>0.
又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
偶函数图象对称性的拓广与应用
我们知道,如果对于函数y=f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数y=f(x)就叫做偶函数.偶函数的图象关于y轴对称,反之亦真.由此可拓广如下:
如果存在常数a,b,对于函数y=f(x)定义域内任意一个x,a+x,b-x仍在
(a+b-x,f(x)),而f(a+b-x)=f[a+(b-x)]=f[b-(b-x)]=f(x),对称点P'(a+b-x,
称;
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