正方形三角形顶点落在函数图像上的一类问题.docx
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正方形三角形顶点落在函数图像上的一类问题
正方形(三角形)顶点落在函数图像上的一类问题
正方形(三角形)顶点落在函数图像上的一
类问题20中学教与学
?
能力培养?
正方形(三角形)顶点落在函数图像上的一类问题徐骏
(浙江省上虞市华维外国语学校,312300)正方形(三角形)顶点落在函数图像上
这一类型的问题频频出现在近年来的各类考试中,成为一个新的热点.这类问题往往将相似三角形,函数,解直角三角形等知识结合在一
起,常涉及到分类讨论,具有很强的综合性.有些同学理解起来比较困难,失分率比较高.有的同学甚至无从下手,特别是初识者尤为明显.本文以正方形(三角形)顶点落在直线,双曲线,抛物线上为例,分三种类型说明这类问题的解答对策.
1正方形顶点落在直线上
例1如图1所示,四边形OCDE,四边
形EFGH,,四边形HMNP均为正方形.点D,G,?
和点E,H,P分别在直线AB和轴上,点C在Y轴上.已知正方形OCDE,正方形EFGH的边长分别为9和6,则正方形HMNP的边长为
\
C'
一
DEHP\i
图1,
分析:
设正方形HMNP的边长为,易证?
DFG?
?
GMN.
从而,=,即=.
解得=4.
故正方形HMNP的边长为4.
例2如图2所示,四边形CDEF,四边形EGHM,四边形MNPQ均为正方形.点D,,M,Q和点H,P分别在直线AB和轴上,点C,G在Y轴上.已知正方形CDEF,正方形EGHM,正方形MNPQ的边长分别为口,b,c则n,b,C满足的关系式是
图2
分析:
易证?
CFG?
?
朋.
从而,==.
整理得b(b一0一c)=0.
由于b?
0,故b=0+c.
例3如图3所示,四边形】日lC0,四边形A曰C:
C.,四边形A3B,CC:
均为正方形.点A,,A2,A3和点C.,C:
C分别在直线Y=—+1和轴上.求点C.和点B,的坐标.y
Al
A3
一/.
/0C1C2C3
图3
分析.
:
I~tZJZAI,A2,3在直线),=1+1上,且四边形A.BC0,四边形A2B2C:
C.,四边形A.B,C,c2均为正方形,依次得到以下几2009年第10期21
个点的坐标:
Al(0,1),C.(1,0),A2手),
(寻,0),A(寻,詈),(孚,0),
日,(,
变式1如图3所示,正方形A.BC.0,正方形A2B2C2C.,正方形A3B3C3C2,…,正方形ABCC按如图所示的方式放置.点A1,A2,A3,…,A和点C1,C,C3,…,C分别在直线Y=kx+b(k>0)和轴上.已知点B.(1,1),B:
(3,2).则点B的坐标是分析:
易得A.(0,1),A(1,2),则直线
Y=kx+b即为直线Y=+1,于是依次得到以下几个点的坐标:
A(3,4),B3(7,4),A(7,8),
3(15,8),…
不难得出点的坐标是(2一1,2).变式2如图3所示,四边形B.C.0,四边形A:
曰:
G2C.,四边形AB,CC2均为正方形.点A,A:
A和点c,c,C,分别在直线Y=
kx+b(k>0)和轴上,点,的坐标是
(,詈).
分析先由B,(,詈)得到c(孚,0),,
(寻,詈),c:
(寻,0).
再由A(0,b)得到C(b,0),因此,:
(6,吾一6),A.=(寻一6)一6=5—2b,
A曰:
=詈一(吾一6)=6一?
.~3iiEAAlB1A2?
?
A2B2A3.A1B,A2B1即刍.
整理得4b一29b+25=0.t
解得b=1,b=(舍去).,,A2(1,吾),+6
例4如图4,
点P在轴上,且
OP=,/3.
AOP=
30..若点也在
轴上,在OA上找点
?
以P,M,N为顶点
作正方形,则ON=
根号,请保留根号)
3
—.
2'
yA
一
0P,
图4
.
(如结果中有
分析:
设ON=,分三种情况讨论:
?
如图5,在Rt?
OPN中,
OP
'
,'
N/A
DPM
YJ
N/A
一
0肼P,
图图O
?
如图6,在Rt?
OMN中,
MN=1
OM=?
3
Tx.
因此,DP:
OM+:
即
:
解得
_-3一
?
如图7,同?
求得D尸:
即2'''l.
鱼:
压
2….
解得=3+图7
综上,ON=2或3一向3+例5如图8,已知直线,,:
1,点P的
坐标为(2,0).若点A为轴上位于点P右
22中学教与学
边的某一点,点B为直线y=1上的一
点,以尸,A,B为顶点作一个正方形,则点
y/0P
图8
A的坐标为一
分析:
设a(x,0).分三种情况讨论.
?
如图9,由
e(2,O)得B(2,1),则A(3,0).
?
如图1O,易
得B(,争).
由AB=尸得
—
1—一
一,?
l
/
一
/PA
解得=4.故A(4,0)B/
一
/PA
图9
yl
一
/P',4V'A
图10图11
?
如图11,因为点B在线段AP的中垂
(孚,x+2).线上,故
由BC:
P得字=1(_2).解得=6.故A(6,0).综上,有A(3,0)或(4,0)或A(6,0).
2正方形顶点落在双曲线上例6如图
l2,正方形OABC,
正方形ADEF的顶
点,D,C在坐标
轴上,点F在AB
上,点日,E在函数图12,,=
?
(>0)的图像上.则点E的坐标是
分析:
易得(2,2).设E(,?
),则OD:
.DE:
—4—
.
因此,AD=OD—DA=一2.由AD:
DE得一2:
一4.解得=1+,:
=1一(舍去).故E(+1,一1).
例7如图13,反
1
比例函数Y=的图像
上有一点P,过点P分
别作轴和Y轴的垂
线,垂足分别为A,B,使
四边形OAPB为正方
图l3
形.又在反比例函数的图像上有一点P.,过点P分别作和Y轴的垂线,垂足分别为A.,,使四边形BAPB.为正方形.则点P.的坐标是
分析:
易得P(1,1).设P(,?
),则
BlP1:
OB1:
_=_1.
可得胎:
OB一OB=?
一1.
由P.=BB.得=?
_1.
解得.=二=二(舍去).
故,u丁/5+1).
3三角形顶点落耷直线上
例8如图14,直线Y=一+1与
轴,Y轴分别相交于B,C两点,点A的坐标为(0,0),在?
ABC内依次作等边三角形,使一边在轴上,另一个顶点在BC边上,作出的等沩=角形分别县第1个/^\,曰.第2个2009年第l0期
ABA2B2,第3个ABA3B,….则第n个等边三角形的边长等于
图14
分析:
易得(,0),C(0,1),ABC=
30..由A.AB1=60.,得.上BC.同理
lA2,曰2A3,…,BA均垂直于BC.在Rt?
AAB中,AA:
:
譬,即第
1+Aaa.B.的边长为.
接下来我们探究从第2个等边三角形起其边长的情况.
因为.上BC,AAB.=60.,所以,
日IA1A2=30..
在Rt?
AlA2Bl中,A2Bl={11.同理可得
A,曰=B:
…,ABn_
1=一
B一
即从第2个等边三角形起,后一个三角形的边长总是前一个三角形边长的一半.故第几个等边三角形的边长等于×
(=
4三角形顶点落在双曲线上
例9如图15,点A.,A2,…,A一.,A为轴正半轴上的点,OA.:
AlA:
=…:
A一.A:
1.
分别以A,,A,…,一,A为直角顶点作Rf?
1l,Rt?
1A2,…,RI?
n_1A,它们的面积分别记为s.,.s:
…,Js,且S=1,双曲线恰好经过点,,…,曰.
,
.
!
,.0A,A2A3A一
A
\
图15
(1)求双曲线和直线ABz对应的函数解析式;
(2)S1o=——,S=——;
(3)若直线B0交双曲线于另一点P,有三位同学在研究A:
A2曰,…,A一.这一
系列直线时,有如下发现.
?
小明说:
"我发现直线A.:
经过P点."
?
小亮说:
"我发现直线A.曰:
和直线3都经过P点."
?
小朱说:
"我发现直线A.,直线23,…,直线一I都经过P点."请问:
上述三位同学的发现,谁的发现更准确?
并给予说明.
分析:
(1)易得曰(1,2),则双曲线的解析式为Y=?
进而得B(2,1).故直线A.日的解析式为Y=一1.
(2)易得日..(?
),则
Is..=?
×1×1=而1.
同理S=.
(3)小朱的发现更准确,理由如下.由于点与点P关于原点对称,可得P(一1,一2).另外可求出:
直线A.的解析式为Y=一1;
直线:
B,的解析式为:
一;
中学教与学
直线AB的解析式为Y=一2+...,),)17,
经代人验证以上直线均经过点P.例1O如图
16,在轴的正半轴
上依次截取OA=
AlA2=A2A3=A3A4
=
A4A5,过点Al,A2,
A3,A4,A5分另0作
轴的垂线与反比例
Y
DAlA2A3A4A5j
图16
函数,,=(?
0)的图像交于点P,,P,P,P4,P5,得RtAOP1A1,Rt?
A1P2A2,Rt?
A2P3A3,RtAA3P4A4,A4P5A5,设其面积分别为S1,S2,S3,S4,S5.则S1+S2+S3+S4+S5=
分析:
议OA1AIA2=A2A3=A3A4=A4A5
=口,易得
P.(.,吾),P2(2.,),P3(3.,),(4口,),Ps(5口,).
贝0S1+S2+S3+S4+S5=n
(++2+1+2)=137.n【++++J=?
5三角形顶点落在抛物线上
例11二次函数Y:
?
的图像如图J17,点A.位于坐标原点,.,:
…,A2008在Y轴的正半轴上,.,B,…,曰:
..在二次函数^
Y=第一象限的图像上.若?
.,A.,?
A1日22,…,?
20o72oo82oo8都为等边三角形,则?
A0lA的边长=——,AA.B2A2
的边长=,?
A:
仰嘲A:
瞄的边长=IA2
\\
\\
A:
f\
A3|
\
0
且
分析:
(1)分别过点B.,B:
…,B懈作B.H.,B,…,B2oos..垂直于Y轴(如图17).?
AoB1AI,?
A1B2A2,…,?
42咖008A200B
都为等边三角形.
设?
A.B.A的边长为0,易得
B:
:
?
..
.
1).
代入,,寺得.
解得0=1,口:
=0(舍去).
故?
AoB1A,的边长为1.
设?
ABA的边长为b,易得
=
譬6,A.=1+丢6.
-,+
抖
代入=争得+16=(譬6解得b=2,b=一1(舍去).故?
A.B:
A:
的边长为2.同理可以求得?
A2B,A,的边长为3,
?
4的边长为2008.
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