第22讲长度与角度的计算完整版Word格式文档下载.docx
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解答44厘米
解答正方形的周长为24厘米,则正方形的边长等于24÷
4=6(厘米).
长方形的长等于2+6+4=12(厘米),宽等于1+6+3=10(厘米).
因此长方形的周长等于(12+10)×
2=44(厘米).
5.★★长方形的院子里有一条“6”字形的小路,路宽1米,具体情况如图22-5所示.现要在小路上铺满砖,其余地方种草,那么砖地的周长是多少米?
解答50米
解答
从图中可以看出,AB=l米,AH=FG=EF=5米,CD=4米.
BC、DE都等于AH减去路宽,即5-1=4(米).
GH=GJ+JI+IH=EF+CD+AB=1+5+4=10(米).
MN等于FG减去2倍的路宽,MP等于EF减去2倍的路宽,均为5-1×
2=3(米).
依次在图中标出长度:
所以周长为1+5+10+5+5+4+4+4+3+3+3+3=50(米).
6.★如图22-6所示,在一个大长方形的右上角挖去一个小长方形,如果大长方形的长是7厘米,宽是5厘米;
小长方形的长是5厘米,宽是3厘米.那么该图形的周长是多少厘米?
答案24厘米
解答方法一:
AB是大长方形的长,为7厘米.BC是大长方形的宽减去小长方形的宽,为5-3=2(厘米).
CD是小长方形的长,为5厘米.DE是小长方形的宽,为3厘米.
EF是大长方形的长减去小长方形的长,为7-5=2(厘米).AF是大长方形的宽,为5厘米.
如下图所示:
因此所求图形的周长为7+2+5+3+2+5=24(厘米).
方法二:
将CD平移到上方,DE平移到右边,如下图所示:
因此所求的周长就是大长方形的周长,即(5+7)×
2=24(厘米).
7.★如图22-7所示,这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直,请根据图中所给出的数,求出这个多边形的周长.(单位:
答案28厘米
解答将所有短的横边都平移到上方,拼成大长方形的长;
将所有短的竖边都平移到右边,拼成大长方形的宽.
多边形的周长就变成了一个大长方形的周长.
大长方形长8厘米,宽6厘米,周长等于(6+8)×
2=28(厘米).
因此,原来多边形的周长为28厘米.
8.★图22-8中有几个锐角?
几个直角?
几个钝角?
答案5个;
1个;
2个
解答左上方三角形中有2个锐角,1个钝角;
右下方三角形中有3个锐角.
两个三角形拼在一起后多出1个直角,1个钝角.
因此,图中共有5个锐角,1个直角,2个钝角.
9.★如图22-9所示,∠1等于130。
,∠2等于110。
.那么么3等于多少?
答案60
解答180-∠1=180-130=50.
180-∠2=180-110=70.
所以∠3=180-50-70=60.
10.★★如图22-10所示,在长方形ABCD中,∠ACB等于34。
,现在将其沿对角线AC折起,形成如图22-11所示的图形.那么∠OCD的度数是多少?
答案22
解答在左图中,∠ACB=34,∠BCD=90,所以∠ACD=∠BCD-∠ACB=90-34=56.
在右图中,∠OCD=∠ACD-∠ACB=56-34=22.
拓展篇
1.★★如图22-12所示,5个同样大小的小长方形拼成了一个大长方形.已知小长方形的长是12厘米,求大长方形的周长.
答案88厘米
如图所示,小宽×
3=小长×
2=12×
2=24(厘米),可得小宽=24÷
3=8(厘米).
那么大长=小长×
2=24(厘米),大宽=小长+小宽=12+8=20(厘米).
所以大长方形的周长为
(24+20)×
2=88(厘米).
2.如图22-13,用一个边长是4厘米的小正方形和4个相同的长方形,一起拼成一个边长是20厘米的大正方形.请问:
长方形的长和宽分别是多少厘米?
答案长12厘米,宽8厘米
解答如图所示,小长方形的一条长和一条宽拼成了
大正方形的一条边.
所以,长+宽=大正方形的边长=20厘米.又小长方形的长比宽长,因此图中心空出了一个小正方形,长的这一段就是小正方形的边长4厘米,即长-宽=4(厘米).
又长+宽=20厘米,所以长=(20+4)÷
2=12(厘米),宽=(20-4)÷
2=8(厘米).
3,★★如图22-14所示,在一个长为8厘米、宽为6厘米的长方形纸片上剪去一个边长为3厘米的正方形.
(1)如果剪去的正方形在右上角,那么剩下的图形周长是多少厘米?
(2)如果剪去的正方形在右边,那么剩下的图形周长是多少厘米?
答案(l)28厘米;
(2)34厘米
解答
(1)
方法一:
把长方形补齐,则
AB=AG-BG=8-3=5(厘米).
同理,DE=EG-DG=6-3=3(厘米).
所以多边形的周长=AB+BC+CD+DE+EF+FA=5+3+3+3+8+6=28(厘米).
方法二:
将CD平移到BG,BC平移到DG,所以多边形的周长就是大长方形的周长,即(8+6)×
(2)将标示长度为3的正方形边移至长方形的右侧,则多边形比原长方形多两条正方形的边,因此,多边形的周长=28+3+3=34(厘米).
4.★★如图22-15,正方形树林边长1000米,树林中种有白杨树和榆树,小明从树林的西南角走人树林,向正东方前进.他每碰见一株白杨树就往正北走,每碰到一株榆树就往正东走,最后他走到了东北角上.问小明一共走了多少米?
答案2000米
解答小明在行走过程中,向东和向北的距离都等于树林每边的长度,即1000米.
因此,他行走的总路程是1000×
2=2000(米).
5.★★如图22-16,把长为2厘米、宽为1厘米的6个长方形摆成3层,摆成的图形周长是多少厘米?
答案18厘米
解答将该图形补成一个大长方形,把它的各边都平移到大长方形的边上,总长度等于大长方形的周长.
这个大长方形的宽为1×
3=3(厘米),长为2×
3=6(厘米),周长为(3+6)×
2=18(厘米).
所求图形的周长是l8厘米.
6.如图22-17所示,将3个边长为8厘米的正方形叠放在一起,后一个正方形的顶点恰好落在前一个正方形中心。
那么它们覆盖的图形周长是多少厘米?
答案64厘米
如上图所示,AB、AD、IJ、JK都是正方形的边,又由于E、C、G都是正方形的中心,所以剩余的每条边都等于4厘米.因此所求图形的周长等于8×
4+4×
8=64(厘米).
此题也可以用平移的方法得到答案(如下图所示),解题过程略.
7.如图22-18,有一个八边形,任意相邻的两条边都互相垂直,已知其中3条边的长度,这个八边形的周长是多少厘米?
(单位:
答案48厘米
解答将GF、DE平移到HJ、IJ,有
AH+GF+ED=AI=BC=12(厘米).
所以图中所有横向的边长度总和是
AH+GF+ED+BC=12+12=24(厘米).
竖向的边AB=8厘米,EF=4厘米.CD比CI少一段ID,从GH上平移一段HK,GH剩下的一段GK等于EF.因此,
CD+GH=CD+HK+GK
=IC+EF=12(厘米).
所以竖向边的总长为
AB+EF+CD+GH=8+4+12=24(厘米).
综上所述,这个八边形的周长是24+24=48(厘米).
(注:
此题也能用标向法快速求出答案.)
8.
(1)如图22-19所示,从一个大长方形的边上挖去一个正方形得到一个多边形.大长方形的长是6厘米,宽是4厘米,正方形的边长是2厘米,这个图形的周长是多少厘米?
(2)如图22-20所示,四个长方形组成了一个多边形,如果图中所标数值的单位都是厘米,那么这个多边形的周长是多少厘米?
答案:
24厘米;
56厘米
解答
(1)按箭头方向将实线段移到虚线位置以后,所求图形的周长就变成了大长方形的周长加上正方形的两条边的边长.
因此周长等于(4+6)×
2+2×
(2)按箭头方向将实线段移到虚线位置以后,所求图形的周长就变成了阴影部分长方形的周长加上6条竖着的长方形的长.
阴影部分长方形的宽等于8-6=2(厘米).
因此所求图形的周长等于(2+12)×
2+5×
2+3×
2+6×
2=56(厘米).
9.如图22-21,这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直,这个多边形的周长是多少?
答案64
解答将多边形的各边标上箭头.由标向法可知,标向下箭头的边长总和等于标向上箭头的边长总和,标向左箭头的边长总和等于标向右箭头的边长总和.
图中所有标向上箭头的边和标向左箭头的边都给出了长度,其中,标向上箭头的边有4条,长度分别是2、5、6、6,标向左箭头的边有6条,长度分别是2、3、2、1、2、3.
因此,多边形的周长为(2+5+6+6+2+3+2+1+2+3)×
2=64.
10.如图22-22所示,一张边长为10厘米的正方形纸片,被横着剪了一刀,竖着剪了两刀,分成了6块小长方形纸片.这6个小长方形的周长总和等于多少厘米?
答案100厘米
解答如下图,小长方形横向的一组边(加粗部分)可以拼成大正方形的一条边,因此总长等于大正方形的边长.同样的,另外三组横向边的总长等于大正方形的边长.
因此,所有小长方形横向的边总长为正方形纸片边长的4倍,即40厘米.所有小长方形的纵向边长之和是10×
6=60(厘米).
综上所述,这6个小长方形的周长总和等于40+60=100(厘米).
此题也能应用切1刀多2边的方法求出答案.)
11.★★如图22-23所示,∠1=40°
,∠2=50°
,∠3=60°
。
.么4等于多少度?
答案30
解答三角形AOB和三角形COD的边BO、OC在一条直线上,所以∠5+∠7=180.
同理么∠6+∠7=180。
,所以∠5=∠6.
在三角形AOB和COD中,∠1+∠2+∠5=180,∠3+∠4+∠6=180,
己知∠5=∠6,所以么∠1+∠2=∠3+∠4.
因此,∠4=∠l+∠2-∠3=40+50-60=30.
12.★★如图22-24所示,∠1=100°
,∠2=60°
,∠3=90°
∠4等于多少度?
答案110
如图,连结AC,四边形ABCD被分成了两个三角形ABC和三角形ACD.
∠5+∠6+∠7+∠8
=(∠9+∠10)+∠6+(∠11+∠12)+∠8
=(∠6+∠9+∠11)+(∠8+∠10+∠12)
=180+180
=360.
因为∠5=180-∠1=80,∠6=∠180-∠2=120,∠7=180-∠3=90.
所以∠8=360-(∠5+∠6+∠7)=360-(80+120+90)=70,∠4=180-∠8=110.
如上图所示,因为任意多边形的外角和等于360,即∠l+∠2+∠3+∠4=360,所以
∠4=360-∠1-∠2-∠3
=360-100-60-90=110.
13.如图22-25所示,在三角形ABC中,∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=130°
∠A等于多少度?
答案80
解答因为∠5+∠2+∠4=180,可得∠2+∠4=180-∠5=50.
由题意,∠ABC=2×
∠2,∠ACB=2×
∠4,所以
∠ABC+∠ACB=(∠2+∠4)×
2=100.
因此∠A=180-100=80.
14.如图22-26所示,纸上已经画有一个正方形,请你用一块三角板做工具,在纸上画出一个75°
的角。
解答连结正方形的对角线,得一个45的角.与三角板的30角拼在一起即得到75的角.
超越篇
1.★★从一张长15厘米、宽9厘米的长方形纸片上剪下一个边长尽可能大的正方形,剩下了一块长方形,然后从剩下的长方形中再剪下一个边长尽可能大的正方形……按此方式不断重复,直到剩下一个正方形无法再继续剪为止.请问:
所有剪下的正方形的周长之和是多少厘米?
答案84厘米
解答如图所示,剪下一个边长为9厘米的正方形①.
剩下部分是一个长、宽分别为9厘米和6厘米的长方形.
然后剪下一个边长为6厘米的正方形②.
剩下的部分是一个长、宽分别为6厘米和3厘米的长方形.
最后把剩余的部分剪成两个边长为3厘米的正方形③④.
综上所述,所有正方形的周长之和为9×
4+6×
4+3×
4=84(厘米).
2.有一个长20厘米、宽15厘米的长方形,用2条平行于长方形边界的直线可以将其划分成3个或4个小长方形,这些小长方形周长之和最大是多少厘米?
答案150厘米
解答按两条直线的方向可以有以下3种划分方法:
(1)两条直线均平行于长方形的长,如图1,此时大长方形被分成3个小长方形.
这3个小长方形的长都等于大长方形的长,即20厘米.它们的宽加起来等于大长方形的宽,即15厘米,所以这3个小长方形的周长之和等于20×
6+15×
2=150(厘米).
(2)两条直线均平行于长方形的宽,如图2,此对大长方形也被分成3个小长方形.
同理可求得它们的周长之和等于15×
6+20×
2=130(厘米).
(3)两条直线一条平行于长方形的长,另一条平行于长方形的宽,如图3,此时大长方形被分成4个小长方形.
将左右对应的两个长方形组合在一起,它们的长加起来等于大长方形的长.
同样的上下对应两个长方形的宽之和等于大长方形的宽.
所以这4个小长方形的周长之和等于20×
4+15×
4=140(厘米).
因此,这些小长方形周长之和最大是150厘米.
3.如图22-27,在一个长方形中有一段阴影部分,如果阴影部分恰好是正方形,那么图中大长方形的周长是多少厘米?
答案30厘米
解答如下图所示,线段DG等于9厘米,线段EB等于6厘米.
因为阴影EFGH是正方形,所以AE+AD=DH+HG=DG=9(厘米),BC+CG=EF+FB=
EB=6(厘米),那么两个空白部分的长方形周长是(9+6)×
2=30(厘米).
又大长方形ABCD的周长等于两个空白部分的长方形周长之和,即其周长为30厘米.
4.如图22-28所示,在正方形ABCD中有一个点E,使三角形BCE是正三角形,求∠EAB的大小
答案75
解答∠EBC=180÷
3=60,于是∠ABE=∠ABC-∠EBC=90-60=30.
而在正方形ABCD中,AB=BC;
在正三角形BCE中,EB=BC.
所以AB=EB,于是三角形ABE是一个等腰三角形,所以
∠EAB=∠AEB=(180-∠ABE)÷
2=(180-30)÷
2=75.
5.如图22-29所示,五条线段依次首尾相连组成了一个五角星.问:
么∠∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少度?
答案180
如下图所示,添加辅助线:
∠2+∠5+∠9=180,且∠6+∠7+∠8=180.由于∠8=∠9.所以∠2+∠5=∠6+∠7.
那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=∠1+∠3+∠6+∠7+∠4,而∠1,∠3+∠6,∠7+∠4是一个三角形的三个内角,它们的和等于180.
所以∠l+∠2+∠3+∠4+∠5=180.
∠1等于线段EA绕A点转到BA的角度,∠2等于线段AB绕B点转到CB的角度,∠3等于线段BC绕C点转到DC的角度,∠4等于线段CD绕D点转到ED的角度,∠5等于线段DE绕E点转到AE的角度,而整个过程相当于从线段EA转到AE,即转了180.
所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180.
6.用9个相同的直角三角形可以拼成如图22-30所示的图形,请问:
这种直角三角形的两个锐角分别是多少度?
答案30.60
解答直角三角形的2个锐角并不相等,如下图所示:
中间有3个较大的锐角,另外6个是较小的锐角.设较大角为a,较小的角为b.
因为三角形内角和等于180,所以直角三角形两个锐角的和等于180-90=90,则a+b=90,将这3个a和6个b搭配起来,可以组成3组a+b还多余3个b.
又这9个角的和是一个周角,即360,所以这3个b之和等于360-90×
3=90.
故b=90÷
3=30,a=90-30=60.
7.如图22-31,在一个正六边形的内部有一个正五边形,请求出三角形ABC中角A的度数
答案42
如上图所示,∠A=∠1-∠2-∠3,正五边形的内角和是180×
3=540,可知∠l=540÷
5=108.
∠2通过等腰△ADC和等腰△AEB得,∠2=(180-108)÷
2=36,同理∠3也可通过等腰△AEB得,∠3=(180-120)÷
2=30,所以∠A=108-30-36=42.
8.如图22-32,有一个长22米、宽18兴的迷宫,其中每条道路的宽度都是2米.从A点出发,沿道路的中心线向里走去,一直走到B点,请问:
所走过的路线的长度是多少米?
答案197米
解答把每条线的长度标出来加和即可.
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