高等数学等价无穷小替换极限的计算Word格式.docx
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下面我们用
x>
*表示上述七种的某一种趋近方式,即
*x_x—x、-:
x-x0x-Xqx-x0_;
定义:
当在给定的x>
*下,f(x)以零为极限,则称f(x)是x>
*下的无
穷小,即xmf(x)=o。
例如,VIXmosinx=o,二函数sinx是当xt0时的无穷小.
lim-=0^函数-是当x—•时的无穷小.
x—xx
■■■lim。
^=0,数列{-^―^}是当n—;
二时的无穷小.
—nn
【注意】不能把无穷小与很小的数混淆;
零是可以作为无穷小的唯一的数,任何非零常量都不是无穷小。
当在给定的X—.*下,fx无限增大,则称fx是X—.*下的无
穷大,即lim*f(x)=°
°
。
显然,nT血时,n、n2、n3、…都是无穷大量,
【注意】不能把无穷大与很大的数混淆;
无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的,在不同的极限形式下,同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大,如
limex=0,limex:
Xx:
.
所以ex当x>
时为无穷小,当x、时为无穷大。
2•无穷小与无穷大的关系:
在自变量的同一变化过程中,如果fx为无穷
大,
则丄为无穷小;
反之,如果fx为无穷小,且fx=0,则丄为无穷大。
fXfX
小结:
无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是无穷大量,任何非零常量都不是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时,首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系:
定理1limf(x)=A?
f(x)A+>
(x),其中〉(x)是自变量在同一变化过
X?
X)
x
程x_x0(或x—)中的无穷小.
证:
(必要性)设limf(x)=A令:
(x)=f(x)-A,则有lim(x)=0,
冷x?
^0
f(x)=A:
(x).
(充分性)设f(x)=A+:
(x),其中:
(x)是当X?
Xo时的无穷小,则
limf(x)=lim(A+:
(x))二Alim:
(x)=A
【意义】
(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
(2)给出了函数f(x)在xo附近的近似表达式f(x)?
A,误差为〉(x).
3.无穷小的运算性质
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如,n》二时丄是无穷小,但n个1之和为1不是无穷小.
nn
定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
111
如:
lim(-1)n0,limxsin0,limsinx=0
n7xx护x
推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
1
例如,当x?
0时,x,x2,sinx,x2sin都是无穷小,观察各极限:
x2
lim—=0,x2比3x要快得多;
x爭3x
limsinx=1,sinx与x大致相同;
x_Qx
x^in1
极限不同,反映了趋向于零的快慢”程度不同.
1.定义:
设〉「是自变量在同一变化过程中的两个无穷小,且-10.
B
(1)如果lim—=0,就说:
是比〉高阶的无穷小,记作:
=0(〉);
(2)如果lim「二C(C=0),就说[与〉是同阶的无穷小;
特殊地如果lim=1,则称:
与:
•是等价的无穷小,记作〉~
Ct
(3)如果li^T=C(C?
0,k0),就说[是〉的k阶的无穷小.
(4)
(2)原极限=迎
2
~2
例1证明:
当x—;
0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.
2.
常用等价无穷小
:
当x>
0时,
(1)
sinx〜
x;
(2)arcsinx〜x;
(3)tanx〜
(4)
arctanx
〜x;
(5)ln(1x)〜x;
(6)ex-1〜
⑺
1_cosx〜x2
(8)(1X)、j〜Jx
(9)ax-1〜
Ina*x
例4求卿坦詩
正解:
当X—0时,sin2x~2x,tanx-sinx二tanx(1-cosx)x3,
1x3
故原极限=规話冷
【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换,只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
tan5x-cosx1
例5求lim.
Tsin3x
1解:
tanx=5xo(x),sin3x=3xo(x),1-cosx=尹2o(x2).
5.型1x叱
x2x
3o(x)
三、极限的简单计算
1.
2x5—3x4+2x+1
即为其极限,例如㈣2X3x33:
2x;
1
2;
若fXo不存在,我们也能知道属
9
代入法:
直接将XTXo的Xo代入所求极限的函数中去,若f(xo)存在,
于哪种未定式,便于我们选择不同的方法。
例如,就代不进去了,但我们看出了这是一个0型未定式,我们可以用以下的方法来求解。
2.分解因式,消去零因子法
x2_g
例如,lim=limx3=6。
xyx_3t
3.分子(分母)有理化法
X25一3X25一3X2532x15
,火急+1-J5黒(J2x+1-Q‘2x十1+V5対X2+5十3)
=加4
x22x-4
X辽2x_2
又如,
limx21-x=lim0
x—x—x21x
4.
化无穷大为无穷小法
解:
x=0是函数的分段点,两个单侧极限为
左右极限存在且相等,故四彳厲/.
y(x))=2k二2,当k充分大时,y(xo)M.无界,
⑵取x(k=0,1,2,3,)
2k兀
当k充分大时,Xk”:
:
,但y(Xk)=2k二sin2k二=0”:
M.不是无穷大.
结论:
无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
思考题2:
若f(x)>
0,且帔林刈=人,问:
能否保证有A>
0的结论?
试举例说明.
1i
不能保证.例f(x)二一_x0,f(x)二一•0一f(x)二
limA=0.
x》:
思考题3:
任何两个无穷小量都可以比较吗?
不能•例如当x》=时f(x)=丄,g(x)二沁都是无穷小量
xx
但lim岀二limsinx不存在且不为无穷大,故当―:
时f(x)和g(x)不能比
X》:
f(x)J:
较•
【课堂练习】求下列函数的极限
解:
原极限=limex5二lim亡1lim匕妙二1
(5)
x-2
xTx7x7
【分析】“0”型,拆项。
⑶lim5x554x43x2
2x5—4x+1
【分析】“抓大头法”,用于二型
Q0
【分析】:
」:
型,是不定型,四则运算法则无法应用,需先通分,后计算
【分析】“0”型,是不定型,四则运算法则失效,使用分母有理化消零因子。
x2x293
2=6x
12n
(7)求lim(冷刍」)•nYnnn
马)“im12n
n2n厂
n2
1n(n1)=lim-——2——n忙:
lim-(V-^-.
n「2n2
n-•时,是无穷小之先变形再求极限.
【内容小结】
一、无穷小(大)的概念
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容:
两个定义;
四个定理;
三个推论.
2、几点注意:
(1)无穷小(大)是变量,不能与很小(大)的数混淆,零是唯一的无穷小的数;
(2)无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小.
(3)无界变量未必是无穷大.
二、无穷小的比较:
1.反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较。
高(低)阶无穷小;
等价无穷小;
无穷小的阶。
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法,注意适用条件.
三、极限求法(不同类型的未定式的不同解法);
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限.
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