电动力学习题解答3.doc
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电动力学习题解答3.doc
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电动力学习题解答
第三章静磁场
1.试用表示一个沿z方向的均匀恒定磁场,写出的两种不同表示式,证明二者之差为无旋场。
解:
是沿z方向的均匀恒定磁场,即,由矢势定义得
;;
三个方程组成的方程组有无数多解,如:
,即:
;
,即:
解与解之差为
则
这说明两者之差是无旋场
2.均匀无穷长直圆柱形螺线管,每单位长度线圈匝数为n,电流强度I,试用唯一性定理求管内外磁感应强度。
解:
根据题意,取螺线管的中轴线为z轴。
本题给定了空间中的电流分布,故可由
求解磁场分布,又J只分布于导线上,所以
dl
1)螺线管内部:
由于螺线管是无限长r
理想螺线管,所以其内部磁场是Oz
均匀强磁场,故只须求出其中轴
线上的磁感应强度,即可知道管
内磁场。
由其无限长的特性,不I
妨取场点为坐标原点建立柱坐标系。
,
取的一小段,此段上分布有电流
2)螺线管外部:
由于螺线管无限长,不妨就在过原点而垂直于轴线的平面上任取一点为场点,其中。
3.设有无限长的线电流I沿z轴流动,在z<0空间充满磁导率为的均匀介质,z>0区域为真空,试用唯一性定理求磁感应强度,然后求出磁化电流分布。
解:
设z>0区域磁感应强度和磁场强度为,;z<0区域为,,由对称性可知和均沿方向。
由于的切向分量连续,所以。
由此得到,满足边值关系,由唯一性定理可知,该结果为唯一正确的解。
以z轴上任意一点为圆心,以r为半径作一圆周,则圆周上各点的大小相等。
根据安培环路定理得:
,即,,(z>0);
,(z<0)。
在介质中
所以,介质界面上的磁化电流密度为:
总的感应电流:
,
电流在z<0区域内,沿z轴流向介质分界面。
4.设x<0半空间充满磁导率为的均匀介质,x>0空间为真空,今有线电流I沿z轴流动,求磁感应强度和磁化电流分布。
解:
假设本题中的磁场分布仍呈轴对称,则可写作
它满足边界条件:
及。
由此可得介质中:
由得:
在x<0的介质中,
则:
再由可得,所以
,(沿z轴)
5.某空间区域内有轴对称磁场。
在柱坐标原点附近已知,其中为常量。
试求该处的。
提示:
用,并验证所得结果满足。
解:
由于B具有对称性,设,其中
,,即:
,
(常数)。
当时,为有限,所以;,即:
(1)
因为,,所以,即
(2)
直接验证可知,
(1)式能使
(2)式成立,所以,(c为常数)
6.两个半径为a的同轴圆形线圈,位于面上。
每个线圈上载有同方向的电流I。
(1)求轴线上的磁感应强度。
(2)求在中心区域产生最接近于均匀常常时的L和a的关系。
提示:
用条件
解:
1)由毕—萨定律,L处线圈在轴线上z处产生的磁感应强度为
,
同理,-L处线圈在轴线上z处产生的磁感应强度为:
,。
所以,轴线上的磁感应强度:
(1)
2)因为,所以;
又因为,所以,。
代入
(1)式并化简得:
将z=0带入上式得:
,
7.半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流均匀分布于截面上,试解矢势的微分方程。
设导体的磁导率为,导体外的磁导率为。
解:
矢势所满足的方程为:
自然边界条件:
时,有限。
边值关系:
;
选取柱坐标系,该问题具有轴对称性,且解与z无关。
令
,,
代入微分方程得:
;
解得:
;
由自然边界条件得,
由得:
,
由并令其为零,得:
,。
;
8.假设存在磁单极子,其磁荷为,它的磁场强度为。
给出它的矢势的一个可能的表示式,并讨论它的奇异性。
解:
由得:
(1)
令,得:
(2)
显然满足
(1)式,所以磁单极子产生的矢势
讨论:
当时,;
当时,;
当时,,故的表达式在具有奇异性,此时不合理。
9.将一磁导率为,半径为的球体,放入均匀磁场内,求总磁感应强度和诱导磁矩m。
(对比P49静电场的例子。
)
解:
根据题意,以球心为原点建立球坐标,取H0的方向为,此球体被外加磁场磁化后,产生一个附加磁场,并与外加均匀场相互作用,最后达到平衡,呈现轴对称。
本题所满足的微分方程为:
(1)
自然边界条件:
为有限;。
衔接条件:
在处满足及
由自然边界条件可确定方程组
(1)的解为:
;
由两个衔接条件,有:
比较的系数,解得:
;
;,
即:
,()
,()
在R 10.有一个内外半径为和的空心球,位于均匀外磁场内,球的磁导率为,求空腔内的场,讨论时的磁屏蔽作用。 解: 根据题意,以球心为原点,取球坐标,选取H0的方向为,在外场H0的作用下,空心球被磁化,产生一个附加磁场,并与原场相互作用,最后达到平衡,B的分布呈现轴对称。 磁标势的微分方程为: ;; 自然边界条件: 为有限;。 衔接条件: ;; ; 由轴对称性及两个自然边界条件,可写出三个泛定方程的解的形式为: ;; 因为泛定方程的解是把产生磁场的源H0做频谱分解而得出的,分解所选取的基本函数系是其本征函数系。 在本题中源的表示是: 所以上面的解中,, 解的形式简化为: ; ; 代入衔接条件得: ,, ,。 解方程组得: , , , 。 从而,空间各点磁标势均可确定。 空腔内: 当时,,所以。 即空腔中无磁场,类似于静电场中的静电屏蔽。 11.设理想铁磁体的磁化规律为,其中是恒定的与无关的量。 今将一个理想铁磁体做成的均匀磁化球(为常值)浸入磁导率为的无限介质中,求磁感应强度和磁化电流分布。 解: 根据题意,取球心为原点,建立球坐标系,以M0的方向为,本题具有轴对称的磁场分布,磁标势的微分方程为: ; 自然边界条件: 为有限;。 衔接条件: ; ; 由轴对称性及两个自然边界条件,可写出拉普拉斯方程通解的形式为: ;; 代入衔接条件,比较各项的系数,得: ,;; , , 由此 又,(其中)将B的表达式代入,得: 12.将上题的永磁球置入均匀外磁场中,结果如何? 解: 根据题意假设均匀外场的方向与M0的方向相同,定为坐标z轴方向。 磁标势的微分方程为: ; 自然边界条件: 为有限;。 衔接条件: ; ; 解得满足自然边界条件的解是: , , 代入衔接条件,得: 解得: , , , , 其中 , 13.有一个均匀带电的薄导体壳其半径为,总电荷为,今使球壳绕自身某一直径以角速度转动,求球内外的磁场。 提示: 本题通过解或的方程都可以解决,也可以比较本题与§5例2的电流分布得到结果。 解: 根据题意,取球体自转轴为z轴,建立球坐标系。 磁标势的微分方程为: ; 自然边界条件: 为有限;。 衔接条件: ; ; 其中是球壳表面自由面电流密度。 解得满足自然边界条件的解是: , , 代入衔接条件,得: ; 解得: , , , , , 其中 , 14.电荷按体均匀分布的刚性小球,其总电荷为,半径为,它以角速度绕自身某一直径转动,求 (1)它的磁矩; (2)它的磁矩与自转角动量之比(设质量M0是均匀分布的)。 解: 1)磁矩 又, 又 2)自转动量矩: 15.有一块磁矩为m的小永磁体,位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中,求作用在小永磁体上的力。 解: 根据题意,因为无穷大平面的µ很大,则在平面上所有的H均和平面垂直,类比于静电场,构造磁矩m关于平面的镜像,则外场为: 而 m受力为: 第9页
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