完整同角三角函数的基本关系式.docx
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完整同角三角函数的基本关系式
(完整)同角三角函数的基本关系式
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诱导公式
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
两角和与差的三角函数公式
万能公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tanα+tanβ
tan(α+β)=—-————
1-tanα·tanβ
tanα-tanβ
tan(α-β)=-———-—
1+tanα·tanβ
2tan(α/2)
sinα=——----
1+tan2(α/2)
1-tan2(α/2)
cosα=—--———
1+tan2(α/2)
2tan(α/2)
tanα=——————
1-tan2(α/2)
半角的正弦、余弦和正切公式
三角函数的降幂公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
2tanα
tan2α=—-—-—
1-tan2α
sin3α=3sinα-4sin3α
cos3α=4cos3α-3cosα
3tanα-tan3α
tan3α=-—---—
1-3tan2α
三角函数的和差化积公式
三角函数的积化和差公式
α+β α-β
sinα+sinβ=2sin—--·cos—-—
2 2
α+β α-β
sinα-sinβ=2cos—--·sin—-—
2 2
α+β α-β
cosα+cosβ=2cos---·cos—-—
2 2
α+β α-β
cosα-cosβ=-2sin---·sin--—
2 2
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α—β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)—sin(α—β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α—β)]
sinα·sinβ=—(1/2)[cos(α+β)—cos(α—β)]
化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式)
直角三角定义
它有六种基本函数(初等基本表示):
三角函数数值表
(斜边为r,对边为y,邻边为x。
)
在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为(x,y)有
正弦函数 sinθ=y/r正弦(sin):
角α的对边比斜边
余弦函数 cosθ=x/r余弦(cos):
角α的邻边比斜边
正切函数 tanθ=y/x正切(tan):
角α的对边比邻边
余切函数 cotθ=x/y余切(cot):
角α的邻边比对边
正割函数 secθ=r/x正割(sec):
角α的斜边比邻边
余割函数 cscθ=r/y余割(csc):
角α的斜边比对边
以及两个不常用,已趋于被淘汰的函数:
正矢函数 versinθ=1—cosθ
余矢函数 coversθ=1—sinθ
sinα、cosα、tanα的定义域:
sinα定义域无穷,值域【-1,+1】
cosα定义域无穷,值域【—1,+1】
tanα的定义域(—π/2+kπ,π/2+kπ),k属于整数,值域无穷
单位圆定义
六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。
它也提供了一个图像,把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理,单位圆的等式是:
x^2+y^2=1
图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。
逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角。
设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ,并与单位圆相交.这个交点的 x 和 y 坐标分别等于cos θ 和sin θ.图像中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边且长度为1,所以有sin θ = y/1和cos θ =x/1.单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。
对于大于2π或小于−2π的角度,可直接继续绕单位圆旋转。
在这种方式下,正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数:
对于任何角度 θ 和任何整数 k。
周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”(primitiveperiod).正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆,也就是2π弧度或360度;正切或余切的基本周期是半圆,也就是π弧度或180度.上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的,其他四个三角函数可以定义为:
在正切函数的图像中,在角 kπ附近变化缓慢,而在接近角(k +1/2)π的时候变化迅速。
正切函数的图像在θ=(k +1/2)π有垂直渐近线。
这是因为在θ从左侧接进(k +1/2)π的时候函数接近正无穷,而从右侧接近(k +1/2)π的时候函数接近负无穷.
另一方面,所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义,类似于历史上使用的几何定义。
特别
是,对于这个圆的弦 AB,这里的θ是对向角的一半,sin(θ)是 AC(半弦),这是印度的Aryabhata(AD476–550)介入的定义。
cos(θ)是水平距离 OC,versin(θ)=1−cos(θ)是 CD。
tan(θ)是通过 A 的切线的线段 AE 的长度,所以这个函数才叫正切。
cot(θ)是另一个切线段 AF。
sec(θ)= OE 和csc(θ)= OF 是割线(与圆相交于两点)的线段,所以可以看作 OA 沿着A的切线分别向水平和垂直轴的投影。
DE 是exsec(θ)=sec(θ)−1(正割在圆外的部分)。
通过这些构造,容易看出正割和正切函数在θ接近π/2(90度)的时候发散,而余割和余切在θ接近零的时候发散.
同角三角函数关系式
·平方关系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
cos^2(a)=(1+cos2a)/2
tan^2(α)+1=sec^2(α)
sin^2(a)=(1—cos2a)/2
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系:
sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
·倒数关系:
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
·商的关系:
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·对称性
180度-α的终边和α的终边关于y轴对称.
-α的终边和α的终边关于x轴对称.
180度+α的终边和α的终边关于原点对称。
180度—α的终边关于y=x对称。
·诱导公式
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(kπ+α)=tanα
cot(kπ+α)=cotα
公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:
任意角α与-α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六:
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈Z)
补充:
6×9=54种诱导公式的表格以及推导方法(定名法则和定号法则)
f(β)→
f(β)=↘
β↓
sinβ
cosβ
tanβ
cotβ
secβ
cscβ
360k+α
sinα
cosα
tanα
cotα
secα
cscα
90°—α
cosα
sinα
cotα
tanα
cscα
secα
90°+α
cosα
-sinα
—cotα
—tanα
—cscα
secα
180°-α
sinα
—cosα
-tanα
-cotα
—secα
cscα
180°+α
-sinα
—cosα
tanα
cotα
-secα
—cscα
270°-α
—cosα
-sinα
cotα
tanα
-cscα
—secα
270°+α
-cosα
sinα
-cotα
-tanα
cscα
—secα
360°—α
-sinα
cosα
-tanα
-cotα
secα
—cscα
﹣α
—sinα
cosα
-tanα
—cotα
secα
-cscα
定名法则
90°的奇数倍+α的三角函数,其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数.90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。
也就是“奇余偶同,奇变偶不变”
定号法则
将α看做锐角(注意是“看做”),按所得的角的象限,取三角函数的符号。
也就是“象限定号,符号看象限"。
(或为“奇变偶不变,符号看象限”
2在Kπ/中如果K为奇数时函数名不变,若为偶数时函数名变为相反的函数名。
正负号看原函数中α所在象限的正负号。
关于正负号有可口诀;一全二正弦,三切四余弦,即第一象限全部为正,第二象限角正弦为正,第三为正切为正,第四象限余弦为正.)
比如:
90°+α。
定名:
90°是90°的奇数倍,所以应取余函数;定号:
将α看做锐角,那么90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦为正,余弦为负。
所以sin(90°+α)=cosα,cos(90°+α)=-sinα这个非常神奇,屡试不爽~
还有一个口诀“纵变横不变,符号看象限”,例如:
sin(90°+α),90°的终边在纵轴上,所以函数名变为相反的函数名,即cos,将α看做锐角,那么90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦为正,所以sin(90°+α)=cosα
·两角和与差的三角函数
cos(α+β)=cosα·cosβ—sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α—β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·和差化积公式:
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α—β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=—2sin[(α+β)/2]sin[(α—β)/2]
·积化和差公式:
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α—β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α—β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α—β)]
sinα·sinβ=—(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·倍角公式:
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=(cosα)^2—(sinα)^2=2(cosα)^2—1=1—2(sinα)^2
tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)
·三倍角公式:
sin(3α)=3sinα—4sin^3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°—α)
cos(3α)=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α)=(3tanα-tan^3α)/(1—3tan^2α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3—α)
·半角公式:
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1—cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·辅助角公式:
Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+arctan(B/A)),其中
sint=B/√(A^2+B^2)
cost=A/√(A^2+B^2)
tant=B/A
Asinα-Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-t),tant=A/B
·万能公式
sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)=(2tan(a/2))/(1—tan^2(a/2))
·降幂公式
sin^2α=(1—cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2α=(1—cos(2α))/(1+cos(2α))
·万能公式:
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2;(α/2)]
cosα=[1-tan^2;(α/2)]/[1+tan^2;(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1—tan^2;(α/2)]
·三角和的三角函数:
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ—sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ—tanβ·tanγ—tanγ·tanα)
·其它公式
a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)[其中,tan(c)=b/a]
a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)[其中,tan(c)=a/b]
1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^21—sin(a)=(sin(a/2)—cos(a/2))^2其他非重点三角函数
csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)
cos30=sin60
sin30=cos60
·推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1—cos2α=2sin^2α
1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2
·其他[及证明]:
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n—1)/n]=0
以及
sin^2(α)+sin^2(α—2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
cosx+cos2x+..。
+cosnx=[sin(n+1)x+sinnx—sinx]/2sinx
证明:
左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx
=[sin2x-0+sin3x—sinx+sin4x—sin2x+...+sinnx—sin(n—2)x+sin(n+1)x—sin(n-1)x]/2sinx(积化和差)
=[sin(n+1)x+sinnx—sinx]/2sinx=右边
等式得证
sinx+sin2x+。
.。
+sinnx=-[cos(n+1)x+cosnx—cosx-1]/2sinx
证明:
左边=—2sinx[sinx+sin2x+.。
。
+sinnx]/(-2sinx)
=[cos2x—cos0+cos3x-cosx+。
。
.+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x—cos(n-1)x]/(-2sinx)
=-[cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边
等式得证
三倍角公式推导
sin3a
=sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina—4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos^2a—1)cosa—2(1—cos^2a)cosa
=4cos^3a—3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4—sin^2a)
=4sina[(√3/2)^2-sin^2a]
=4sina(sin^260°—sin^2a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°—sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°—a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°+a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos^3a—3cosa
=4cosa(cos^2a—3/4)
=4cosa[cos^2a—(√3/2)^2]
=4cosa(cos^2a-cos^230°)
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa—cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{—2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=—4cosasin[90°-(60°—a)]sin[-90°+(60°+a)]
=—4cosacos(60°—a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°—a)tan(60°+a)
幂级数
c0+c1x+c2x2+。
..+cnxn+.。
。
=∑cnxn(n=0。
。
∞)
c0+c1(x—a)+c2(x—a)2+。
。
。
+cn(x—a)n+.。
。
=∑cn(x—a)n(n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,.。
.及a都是常数,这种级数称为幂级数。
泰勒展开式(幂级数展开法):
f(x)=f(a)+f’(a)/1!
*(x-a)+f’’(a)/2!
*(x—a)2+..。
f(n)(a)/n!
*(x-a)n+.。
。
实用幂级数:
ex=1+x+x2/2!
+x3/3!
+。
。
。
+xn/n!
+。
。
。
ln(1+x)=x—x2/3+x3/3—.。
.(-1)k—1*xk/k+。
.。
(|x|〈1)
sinx=x-x3/3!
+x5/5!
-。
。
.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!
+.。
。
(—∞ cosx=1—x2/2! +x4/4! -...
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