《概率论与数理统计》期末考试试题及解答.doc
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一、填空题(每小题3分,共15分)
1.设事件仅发生一个的概率为0.3,且,则至少有一个不发生的概率为__________.
答案:
0.3
解:
即
所以
.
2.设随机变量服从泊松分布,且,则______.
答案:
解答:
由知
即解得,故
3.设随机变量在区间上服从均匀分布,则随机变量在区间内的概率密度为_________.
答案:
解答:
设的分布函数为的分布函数为,密度为则
因为,所以,即
故
另解在上函数严格单调,反函数为
所以
4.设随机变量相互独立,且均服从参数为的指数分布,,则_________,=_________.
答案:
,
解答:
,故
.
5.设总体的概率密度为
.
是来自的样本,则未知参数的极大似然估计量为_________.
答案:
解答:
似然函数为
解似然方程得的极大似然估计为
.
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设为三个事件,且相互独立,则以下结论中不正确的是
(A)若,则与也独立.
(B)若,则与也独立.
(C)若,则与也独立.
(D)若,则与也独立.()
答案:
(D).
解答:
因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立,所以(A),(B),(C)都是正确的,只能选(D).
S
A
B
C
事实上由图可见A与C不独立.
2.设随机变量的分布函数为,则的值为
(A).(B).
(C).(D).()
答案:
(A)
解答:
所以
应选(A).
3.设随机变量和不相关,则下列结论中正确的是
(A)与独立.(B).
(C).(D).()
答案:
(B)
解答:
由不相关的等价条件知,
应选(B).
4.设离散型随机变量和的联合概率分布为
若独立,则的值为
(A).(A).
(C)(D).()
答案:
(A)
解答:
若独立则有
Y
X
,
故应选(A).
5.设总体的数学期望为为来自的样本,则下列结论中
正确的是
(A)是的无偏估计量.(B)是的极大似然估计量.
(C)是的相合(一致)估计量.(D)不是的估计量.()
答案:
(A)
解答:
,所以是的无偏估计,应选(A).
三、(7分)已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,
求
(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率;
(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解:
设‘任取一产品,经检验认为是合格品’
‘任取一产品确是合格品’
则
(1)
(2).
四、(12分)
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2/5.设为途中遇到红灯的次数,
求的分布列、分布函数、数学期望和方差.
解:
的概率分布为
即
的分布函数为
.
五、(10分)设二维随机变量在区域上服从均匀分布.求
(1)关于的边缘概率密度;
(2)的分布函数与概率密度.
1
D
0
1
z
x
y
x+y=1
x+y=z
D1
解:
(1)的概率密度为
(2)利用公式
其中
当或时
x
z
z=x
时
故的概率密度为
的分布函数为
或利用分布函数法
六、(10分)向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标和纵坐标相互独立,且均服从分布.求
(1)命中环形区域的概率;
(2)命中点到目标中心距离的数学期望.
x
y
0
1
2
解:
(1)
;
(2)
.
七、(11分)设某机器生产的零件长度(单位:
cm),今抽取容量为16的样本,测得样本均值,样本方差.
(1)求的置信度为0.95的置信区间;
(2)检验假设(显著性水平为0.05).
(附注)
解:
(1)的置信度为下的置信区间为
所以的置信度为0.95的置信区间为(9.7868,10.2132)
(2)的拒绝域为.
,
因为,所以接受.
《概率论与数理统计》期末考试试题(A)
专业、班级:
姓名:
学号:
一、单项选择题(每题3分共18分)
1.D2.A3.B4.A5.A6.B
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
总成绩
得分
一、单项选择题(每题3分共18分)
(1)
(2)设随机变量X其概率分布为X-1012
P0.20.30.10.4
则()。
(A)0.6(B)1(C)0(D)
(3)
设事件与同时发生必导致事件发生,则下列结论正确的是()
(A)(B)
(C)(D)
(4)
(5)设为正态总体的一个简单随机样本,其中
未知,则()是一个统计量。
(A)(B)
(C)(D)
(6)设样本来自总体未知。
统计假设
为则所用统计量为()
(A)(B)
(C)(D)
二、填空题(每空3分共15分)
(1)如果,则.
(2)设随机变量的分布函数为
则的密度函数,.
(3)
(4)设总体和相互独立,且都服从,是来自总体的
样本,是来自总体的样本,则统计量
服从分布(要求给出自由度)。
二、填空题(每空3分共15分)
1.2.,3.4.
三、(6分)设相互独立,,,求.
解:
0.88=
=(因为相互独立)……..2分
=…………3分
则………….4分
…………6分
四、(6分)某宾馆大楼有4部电梯,通过调查,知道在某时刻T,各电梯在
运行的概率均为0.7,求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。
解:
用表示时刻运行的电梯数,则~………...2分
所求概率…………4分
=0.9919………….6分
五、(6分)设随机变量X的概率密度为,
求随机变量Y=2X+1的概率密度。
解:
因为是单调可导的,故可用公式法计算………….1分
当时,………….2分
由,得…………4分
从而的密度函数为…………..5分
=…………..6分
五、(6分)设随机变量X的概率密度为,
求随机变量Y=2X+1的概率密度。
解:
因为是单调可导的,故可用公式法计算………….1分
当时,………….2分
由,得…………4分
从而的密度函数为…………..5分
=…………..6分
六、(8分)已知随机变量和的概率分布为
而且.
(1)求随机变量和的联合分布;
(2)判断与是否相互独立?
解:
因为,所以
(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出
-101
0
1
0
0
0
………….4分
(2)因为
所以与不相互独立
…………8分
七、(8分)设二维随机变量的联合密度函数为
求:
(1);
(2)求的边缘密度。
解:
(1)…………..2分
=
=[]………….4分
(2)…………..6分
……………..8分
八、(6分)一工厂生产的某种设备的寿命(以年计)服从参数为的指数分布。
工厂规定,出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。
若工厂售出一台设备盈利100元,调换一台设备厂方需花费300元,求工厂出售一台设备净盈利的期望。
解:
因为得………….2分
用表示出售一台设备的净盈利
…………3分
则
………..4分
所以
(元)………..6分
九、(8分)设随机变量与的数学期望分别为和2,方差分别为1和4,而相关系数为,求。
解:
已知
则……….4分
……….5分
……….6分
=12…………..8分
十、(7分)设供电站供应某地区1000户居民用电,各户用电情况相互独立。
已知每户每日用电量(单位:
度)服从[0,20]上的均匀分布,利用中心极限定理求这1000户居民每日用电量超过10100度的概率。
(所求概率用标准正态分布函数的值表示).
解:
用表示第户居民的用电量,则
………2分
则1000户居民的用电量为,由独立同分布中心极限定理
………3分
=………4分
……….6分
=………7分
十一、(7分)设是取自总体的一组样本值,的密度函数为
其中未知,求的最大似然估计。
解:
最大似然函数为
……….2分
=……….3分
则
………..4分
令………..5分
于是的最大似然估计:
。
……….7分
十二、(5分)某商店每天每百元投资的利润率服从正态分布,均值为,长期以来方差稳定为1,现随机抽取的100天的利润,样本均值为,试求的置信水平为95%的置信区间。
()
解:
因为已知,且…………1分
故…………2分
依题意
则的置信水平为95%的置信区间为
…………4分
即为[4.801,5.199]…………5分
《概率论与数理统计》课程期末考试试题(B)
专业、班级:
姓名:
学号:
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
总成绩
得分
一、单项选择题(每题3分共15分)
(1)
(2)
(3)
连续随机变量X的概率密度为
则随机变量X落在区间(0.4,1.2)内的概率为().
(A)0.64;(B)0.6;(C)0.5;(D)0.42.
(4)
(5)
二、填空题(每空2分共12分)
(1)
(2)
(3)
(4)
三、(7分)已知,条件概率.
四、(9分).设随机变量的分布函数为,
求:
(1)常数,;
(2);(3)随机变量的密度函数。
五、(6分)某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第1车间的次品率为0.15,第2车间的次品率为0.12.两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中,假设1、2车间生产的成品比例为2:
3,今有一客户从成品仓库中随机提台产品,求该产品合格的概率.
六、(8分)已知甲、乙两箱装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品,从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求乙箱中次品件数的分布律及分布函数.
七、(7分)设随机变量的密度函数为
求随机变量的函数的密度函数。
八、(6分)现有一批钢材,其中80%的长度不小于3m,现从钢材中随机取出100根,试用中心极限定理求小于3m的钢材不超过30的概率。
(计算结果用标准正态分布函数值表示)
九、(10分)设二维随机变量的联合密度函数为
求:
(1);
(2)求,的边缘密度;(3)判断与是否相互独立
十、(8分).设随机变量()的联合密度函数为
求,进一步判别与是否不相关。
十一、(7分).设是来自总体的一个简单随机样本,总体的密度函数为
求的矩估计量。
十二、(5分)总体测得样本容量为100的样本均值,求的
数学期望的置信度等于0.95的置信区间。
(
一、单项选择题:
(15分)
1、D
2、D
3、B
4、A
5、C
二、填空题:
(12分)
1、;
2、-1
3、更
4、,;
三、(7分)
解:
四、(9分)
解:
(1)由
得
(2)
(3)
五、(6分)
六、(8分)
解:
设用表示乙箱中次品件数,则的分布律为
的分布函数为
七、(7分)
解:
八、(6分)
解:
九、(10分)
解:
(1)=
=
(2)关于的边缘分布:
=
同理关于的边缘分布:
=
(3)因为
所以与相互独立。
十、(8分)
解:
因为,所以与是相关的。
十一、(7分)
解:
十二、(5分)
解:
共8页第8页
30
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