轴对称图形典型习题.doc
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轴对称图形
考点1:
轴对称及轴对称图形的意义
一、考点讲解:
1.轴对称:
两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合,我们就说这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做对称点,对应线段叫做对称线段.
2.如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
3.轴对称的性质:
如果两个图形关于某广条直线对称,那以对应线段相等,对应角相等,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应点的连线互相平行或在同一条直线上,对应的线段(或其延长线)相交,交点在对称轴上。
4.简单的轴对称图形:
线段:
有两条对称轴:
线段所在直线和线段中垂线.
角:
有一条对称轴:
该角的平分线所在的直线.
等腰(非等边)三角形:
有一条对称轴,底边中垂线.
等边三角形:
有三条对称轴:
每条边的中垂线.
等腰梯形:
过两底中点的直线
正n边形有n条对称轴
圆有无数条对称轴。
二、基本图形:
A
B
C
D
P
1.已知:
点A、B分别在直线l的同侧,在直线l上找一点P,使PA+PB最短。
A
B
l
A
B
变形1:
正方形ABCD中,点E是AB边上的一点,在对角线AC上找一点P,使PA+PB最短。
变形2:
已知点A(1,6)、点B(6,4),在x轴和y轴上各找一点C、D,使四边形ACDB的周长最短。
三、经典考题剖析:
1.在下面四个图案中,如果不考虑图中的文字和字母,那么不是轴对称图形的是( )
2.下列图形中是轴对称图形的是()。
B
D
C
A
3.下列图形中,是轴对称图形的有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
4.在下列四个图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()
(A)(B)(C)(D)
5.如图,如果直线m是多边形ABCDE的对称轴,其中∠A=1300,
∠B=1100.那么∠BCD的度数等于 ( )
A.400 B.500 C.600 D.700
A.
B.
C.
D.
6.小明在镜中看到身后墙上的时钟,实际时间最接近8时的是下图中的( )
7.如图5,请你画出方格纸中的图形关于点的中心对称图形,并写出整个图形的对称轴的条数.
O
图5
四、针对性训练:
1.从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是,该车的后5位号码实际是。
2.图4是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数,这时的实际时间应该是.
图4
3.请先找出正三边形、正四边形、正五边形等正多边形的对称轴的条数,再猜想正边形对称轴的条数为 .
4.下列图形中,是轴对称图形的为
A B C D
5.下列图案中,不是轴对称图形的是
友情提醒:
观察运动的重要标示,好好观察!
加油!
图片中的文字可忽略不看!
只看大致形状
6.下图形是轴对称图形的是
(A)(B)(C)(D)
7.下列图形中,是轴对称图形的个数为
A.0个B.1个C.2个D.3个
8.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.菱形、正方形、平行四边形 B.矩形、等腰三角形、圆
C.矩形、正方形、等腰梯形 D.菱形、正方形、圆
9.下列汽车标志中既是轴对称又是中心对称图形的是()
大众本田欧宝奥迪
A.B.C.D.
10.如图是一辆汽车车牌在水中的倒影,则该车的牌照号码是……()
A.W17639B.W17936
C.M17639D.M17936
11.如图,在平面直角坐标系中,请按下列要求分别作出变换后的图形(图中每个小正方形的边长为个单位):
(1)向右平移个单位;
(2)关于轴对称;(3)绕点顺时针方向旋转.
(第11题图)
12.
如图,是由半圆和三角形组成的图形,请以为对称轴,作出图形的另一半(用尺规作图,只保留作图痕迹,不写作法和证明)
13.
如图所示,在一笔直的公路的同一旁有两个新开发区,已知千米,直线与公路的夹角,新开发区到公路的距离千米.
(1)求新开发区到公路的距离;
(2)现要在上某点处向新开发区修两条公路,使点到新开发区的距离之和最短.请你用尺规作图在图中找出点的位置(不用证明,不写作法,保留作图痕迹),并求出此时的值.
考点2:
折叠问题
一、考点讲解:
常见的折叠问题有两种类型:
一种是将一个图形沿着某一条直线折叠到另一个位置,这时候,这条直线两旁的图形全等;另一种是将一个图形沿着某一条直线折叠,使两个点重合,此时,这折痕所在的直线是这两点连线的垂直平分线。
二、基本图形:
1.将矩形ABCD沿着对角线AC对折,则三角形AFC是三角形。
B
A
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
B`
变形:
若矩形ABCD中,AB=6,AD=3,求三角形AFC的面积。
2.将矩形ABCD沿着EF对折,使点B与点D重合,若AB=8,AD=10,求折痕EF的长。
(第1题)
三、典型例题剖析:
1.(2006宿迁市4分)如图,将矩形ABCD沿AE折叠,若∠BAD′=30°,则∠AED′等于()
A.30° B.45°
C.60° D.75°
2.(2006内江市3分)如图
(1)将矩形纸片ABCD沿AE折叠,使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上,若AB=,则AE的长为()
B′
F
E
G
D
C
B
A
A.B.3C.2D.
_
B
_
D
_
E
_
A
_
C
3、(2006遂宁市3分)如图在梯形ABCD中,∠DCB=900;AB∥CD,
AB=25,BC=24.将该梯形折叠,点A愉好与点D
重合,BE为折痕,那么AD的长度为_________.
4.(2006临汾市3分)将一张菱形纸片,按下图中①,②的方式沿虚线依次对折后,再沿图③中的虚线裁剪,最后将图④中的纸片打开铺平,所得图案应该是( )
①
②
③
④
A.
B.
C.
D.
5.(2006聊城市8分)如图,将一张矩形纸片折叠,使落在边上,然后打开,折痕为,顶点的落点为.你认为四边形是什么特殊四边形?
请说出你的理由.
A
D
C
B
E
F
A
D
C
B
A
D
C
B
第5题图
四、针对性训练:
A
B
C
D
E
F
1
图1
D
A
B
C
F
E
1.(2006梅州市3分)如图1,把矩形沿对折,若,则等于( )
A. B.
C. D.
2.(2006临汾市2分)如图,将矩形纸片沿向上折叠,使点落在边上的点处.若的周长为9,的周长为3,则矩形的周长为________.
4题
3.(2006鸡西市3分)如图,△ABC中,∠B=900,AB=6,BC=8,将△ABC沿DE折叠,使点C落在AB边上的C′处,并且C′D∥BC,则CD的长是()
(A)(B)(C)(D)
4.(2006山西3分)如图,矩形纸片ABCD,AB=2,∠ADB=30°,沿对角线BD折叠(使△ABD和△EBD落在同一平面内),则A、E两点间的距离为____.
5.(2006河北省3分)小宇同学在一次手工制作活动中,先把一张矩形纸片按图9-1的方式进行折叠,使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm;展开后按图9-2的方式再折叠一次,使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm,再展开后,在纸上形成的两条折痕之间的距离
是_______cm.
左
右
左
右
第二次折叠
第一次折叠
图9-1
图9-2
6.(2006汉川市3分)将正方形纸片两次对折,并剪出一个菱形小洞后铺平,得到的图形是
A
B
C
D
7.(2006郴州市10分)如图7,矩形纸片的边长分别为.将纸片任意翻折(如图8),折痕为.(在上),使顶点落在四边形内一点,的延长线交直线于,再将纸片的另一部分翻折,使落在直线上一点,且所在直线与所在直线重合(如图9)折痕为.
(1)猜想两折痕之间的位置关系,并加以证明.
(2)若的角度在每次翻折的过程中保持不变,则每次翻折后,两折痕间的距离有何变化?
请说明理由.
A
M
D
Q
C
P
B
M
D
Q
C
P
A
B
N
M
D
Q
C
P
A
B
N
A
D
C
B
a
b
图7
图8
图9
图10
(3)若的角度在每次翻折的过程中都为(如图10),每次翻折后,非重叠部分的四边形,及四边形的周长与有何关系,为什么?
考点3:
线段的垂直平分和角的平分线
一、考点讲解:
1.线段垂直分线:
(1)定义:
垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,也叫做中垂线。
(2)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
(3)三角形的三条垂直平分线相交于一点,这一点叫三角形的外心(三角形外接圆的圆心),它的位置可能在三角形的内部、外部或边上,它到三角形三个顶点的距离相等。
2.角的平分线:
(1)角平分线上的点到角两边的距离相等;到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
(2)三角形的三条角平分线相交于一点,这一点叫三角形的内心(三角形内接圆的圆心),它到三角形三条边的距离相等。
二、基本图形:
1.三角形ABC中,DE垂直平分AC,则三角形BCD的周长等于
变形:
三角形ABC中,DF、EG分别垂直平分AB和AC,则三角形AFG的周长等于
A
C
E
B
D
A
B
C
D
E
F
G
2.在中找一点P,使点P到两边的距离相等,并且到M、N两点的距离也相等。
E
D
C
M
N
A
B
C
3.在平面内找一点P,使点P到三条直线的距离相等。
三、典型例题剖析:
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD是∠ABC的平分线,
DE⊥AB,CD=5cm,则DE的长是。
2.如图,△ABC中,DE是AC的垂直平分线,若AC=6,△ABD
的周长是13,,则△ABC的周长是;若△ABC的周长
是30,△ABD的周长是25,则AC=。
若∠C=30°,则
∠ADB=
3.(2006泰州市3分)如图,在10×10的正方形网格纸中,线段AB、CD的长均等于5.则图中到AB和CD所在直线的距离相等的网格点的个数有
A
D
C
B
第3题图
A.2个B.3个C.4个D.5个
考点4:
等腰三角形
一、考点讲解:
1.等腰三角形:
(1)定义:
有两条边相等的三角形是等腰三角形。
(2)性质:
两条腰相等;
两个底角相等;
三线合一:
底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合。
(3)判定:
两条边相等的三角形是等腰三角形。
等角对等边
2.等边三角形:
(1)定义:
三条边相等的三角形是等边三角形。
(2)性质:
三条边相等;三个角都是60度。
(3)判定:
三条边都相等的三角形是等边三角形;
三个角都相等的三角形是等边三角形;
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
3.直角三角形:
(1)定义:
有一个角是直角的三角形是直角三角形。
(2)性质:
两个锐角互余;
两条直角边的平方和等于斜边的平方;
特殊:
斜边上的中线等于斜边的一半;
30度所对的直角边等于斜边的一半;
(3)判定:
有一个角是直角的三角形是直角三角形;
如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形
如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
(说明:
直角三角形本节只是简单说明,没有选择相关的练习。
)
二、基本图形:
1.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与顶角的关系。
变形:
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角与顶角的关系。
2.在三角形ABC中,AB=AC,点P是BC边上的任意一点,PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别为M、N,BD是AC边上的高,则PM+PN=。
A
M
N
B
C
D
A
M
N
B
C
D
P
P
M
N
P
A
B
C
D
E
变形1:
矩形ABCD中,PM⊥BD,PN⊥AC,若AB=3,BC=4,则PM+PN=
变形2:
正方形ABCD中,AB=2,BC=BE,PM⊥BD,PN⊥BC,则PM+PN=
3.△ABC中,BD平分∠ABC,DE∥BC,则△BDE是三角形。
变形1:
BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB,MN∥BC,则BM+CN=
变形2:
BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB的外角,MN∥BC,则BM-CN=
变形3:
BD、CD分别平分∠ABC的外角和∠ACB的外角,MN∥BC,则BM+CN=
三、典型例题剖析:
1.(2006淮安市3分)若等腰三角形底角为72°,则顶角为()
A.108°B.72°C.54°D.36°
变形:
若等腰三角形一个角为72°,则顶角为。
若等腰三角形的一个角是另一个角的2倍少10°,则顶角为。
若等腰三角形的两条边长分别是3、6,则周长是。
2.(2006日照3分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为AC边上一点,且BD=BC=AD,则∠A等于
(A)30o(B)36o(C)45o(D)72o
3.(2006扬州市10分)如图,△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O.给出下列三个条件:
①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.
⑴上述三个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形);
⑵选择第⑴小题中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.
4.(2006常德市8分)如图7,是等边三角形内的一点,连结,以为边作,且,连结.
(1)观察并猜想与之间的大小关系,并证明你的结论.(4分)
(2)若,连结,试判断的形状,并说明理由.(4分)
图7
Q
C
P
A
B
5.(2006河北省8分)
A
B
C
D
E
图9
已知:
如图9,在△ABC中,AB=AC,点D,E在边BC上,且BD=CE.
求证:
AD=AE.
四、针对性训练:
1.(2006威海3分)如图,在△ABC中,∠ACB=100º,AC=AE,BC=BD,则∠DCE的度数为()
(A)20º(B)25º(C)30º(D)40º
2.(2006天津市3分)如图,△DAC和△EBC均是等边三角形,AE、BD分别与CD、CE交于点M、N,有如下结论:
①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN。
其中,正确结论的个数是
(A)3个(B)2个
(C)1个(D)0个
3.(2006天津市6分)如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,则∠ABC的大小
(第3题)
4.(2006徐州市8分)已知:
如图5,△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,过点D作DE∥AB交AC于点E。
求证:
∠C=∠CDE。
5.(郴州市9分)如图12,在中,是上任意一点,过分别向引垂线,垂足分别为是边上的高.
(1)的长之间存在着怎样的等量关系?
并加以证明.
A
G
E
B
D
F
图12
C
(3)若在底边的延长线上,
(1)中的结论还成立吗?
若不成立,又存在怎样的关系?
请说明理由.
6.(2006青岛市3分)如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,
PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P'AB,则
点P与点P'之间的距离为_______,∠APB=______°.
7.(2006日照8分)
如图,已知,等腰Rt△OAB中,∠AOB=90o,等腰Rt△EOF中,∠EOF=90o,连结AE、BF.
求证:
(1)AE=BF;
(2)AE⊥BF.
考点5:
等腰梯形
一、考点讲解:
1.梯形:
(1)定义:
只有一组对边平行的四边形是梯形。
(2)分类:
等腰梯形和直角梯形。
2.等腰梯形:
(1)定义:
两腰相等的梯形是等腰梯形。
(2)性质:
两腰相等;
同一底上的两个角相等;
对角线相等;
(3)判定:
两腰相等的梯形是等腰梯形;
同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;
对角线相等的梯形是等腰梯形。
二、基本图形:
1.等腰梯形中,∠B=,则BC=AD+AB
2.等腰梯形中,若AB=AD=CD,则BD平分∠ABC
三、典型例题剖析:
1.(2006新疆维吾尔自治区3分)如图,等腰梯形下底与上底的差恰好等于腰长,.则等于( )
A. B. C. D.
第7题
图2
2.(2006徐州市2分)如图2,用四个全等的等腰梯形拼成四边形ABCD,则∠A=
A
D
B
C
图7
3.(2006深圳市7分)如图7,在梯形ABCD中,AD∥BC,,
.
(1)(3分)求证:
(2)(4分)若,求梯形ABCD的面积.
3.(2006钦州市8分)已知:
如图,在等腰梯形中,中,点分别在上,且.求证:
.
A
B
F
C
D
E
4.(2006贵州黔南10分)如图,梯形中,,,为梯形外一点,分别交线段于点,且.
(1)写出图中三对你认为全等的三角形(不再添加辅助线)
(2)选择你在
(1)中写出全等三角形中任意一对进行证明.
四、针对性训练:
A
D
B
C
第1题
1.(2006长沙市3分)如图,已知等腰梯形中,,,
,则此等腰梯形的周长为( )
A.19 B.20
C.21 D.22
2.(2006临沂市3分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2,BC=4,∠B=45º,则该梯形的面积是
A.2-1 B.4- C.8-4 D.4-2
3.(2006绍兴市3分)如图,设M,N分别是直角梯形ABCD两腰AD,CB的中点,DE上AB于点E,将△ADE沿DE翻折,M与N恰好重合,则AE:
BE等于()
A.2:
1B.1:
2C.3:
2D.2:
3
4.(2006河南省9分)如图,梯形ABCD中,AD//BC,AB=AD=DC,点E为底边BC的中点,且DE//AB.试判断△ADE的形状,并给出证明.
5.(2006宜昌市6分)已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD。
(1)利用尺规作AD的中点E;(保留作图痕迹,不写作法和证明)
A
D
B
C
第5题
(2)连接EB、EC。
求证:
∠ABE=∠DCE
6.(2006宁波市3分)如图,剪四刀把等腰直角三角形分成五块,请用这五块拼成一个平行四边形或梯形:
(请按1:
1的比例画出所拼成的图形)
。
(第6题图)
★★★(II)备考训练★★★
1.(2006扬州市4分)如图,这是小亮制作的风筝,为了平衡做成轴对称图形,已知OC是对称轴,∠A=35°,∠ACO=30°,那么∠BOC=°.
2.(2006烟台3分)如图1,三角形纸片ABC中,∠A=65°,∠B=75°,将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内,若∠1=20°,则∠2的度数为______.
3.(2006威海3分)如图,梯形纸片ABCD,已知AB∥CD,AD=BC,AB=6,CD=3.将该梯形纸片沿对角线AC折叠,点D恰与AB边上的E点重合,则∠B= .
D.直角三角形
C.平行四边形
B.直角梯形
4.(2006厦门市3分)下面几种图形,一定是轴对称图形的是
A.等腰梯形
(第5题图)
5.(2006龙岩市3分)如图,小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形,则图中的度数是( )
A. B.
C. D.
6、(2006成都市3分)把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在或的延长线上,那么∠EMF的度数是()
A、85° B、90° C、95° D、100°
A
E
B
D
C
7、(2006淄博市3分)将一矩形纸片按如图方式折叠,BC、BD为折痕,折叠后与在同一条直线上,则∠CBD的度数
A
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- 轴对称 图形 典型 习题