西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案.doc
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1
随机过程习题解答
第一章习题解答
1.设随机变量X服从几何分布,即:
。
求X的特征函数,EX及DX。
其中是已知参数。
解
=
又
(其中)
令
则
同理
令则
)
2、
(1)求参数为的分布的特征函数,其概率密度函数为
(2)其期望和方差;
(3)证明对具有相同的参数的b的分布,关于参数p具有可加性。
解
(1)设X服从分布,则
(2)
(4)若则
同理可得:
3、设X是一随机变量,是其分布函数,且是严格单调的,求以下随机变量的特征函数。
(1)
(2)
解
(1)()
在区间[0,1]上服从均匀分布
的特征函数为
(2)
=
=
4、设相互独立,且有相同的几何分布,试求的分布。
解
=
=
=
=
5、试证函数为一特征函数,并求它所对应的随机变量
的分布。
证
(1)
为连续函数
=
=
=
=
非负定
(2)
=
=
()
6、证函数为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。
解
(1)
=()
且连续为特征函数
(2)
=
=
=
7、设相互独立同服从正态分布,试求n维随机向量的分布,并求出其均值向量和协方差矩阵,再求的率密度函数。
解
又的特征函数为:
均值向量为
协方差矩阵为
又
8、设X.Y相互独立,且
(1)分别具有参数为及分布;
(2)分别服从参数为。
求X+Y的分布。
解
(1)
=
=
=
=
则
(2)
9、已知随机向量(X、Y)的概率密度函数为
求其特征函数。
解
=
=
=
10、已知四维随机向量服从正态分布,均值向量为0,协方差矩阵为
解
又
=
其中
11、设相互独立,且都服从,试求随机变量组成的随机向量的特征函数。
解
=
=
=
12、设相互独立,都服正态分布,试求:
(1)随机向量的特征函数。
(2)设,求随机向量的特征函数。
(3)组成的随机向量的特征函数。
解(1)
(2)
=
=
=
(3)
=
=
13、设服从三维正态分布,其中协方差矩阵为,且试求。
解
=
又
同理可得
14、设相互独立同服从分布。
试求的期望。
解
令
则
=
=
15、设X.Y相互独立同分布的随机变量,讨论的独立性。
解
有或
则
又
服从指数分布, 服从柯西分布,且
对有
相互独立。
16、设X.Y相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量,讨论的独立性。
解
(1)
(2)
(3)
对均成立
相互独立
17、设二维随机变量的概率密度函数分别如下,试求
(1)
(2)
证
(1)
=
(2)
18、设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量,X服从区间[0,1]上的均匀分布,Y服从参数为的指数分布。
试求
(1)X与X+Y的联合概率密度;
(2)
解
令则
(2)
19、设是一列随机变量,且,其中K是正常数。
试证:
(1)当。
(2)当均方收敛于0;
(3)当
证令
0
(当,)几乎肯定
收敛于0
当
均方收敛于0
当时,
即
20、设
证
=
第二章习题解答
1.设是独立的随机变量列,且有相同的两点分布,令,试求:
(1)随机过程的一个样本函数;
(2)之值;
(3);
(4)均值函数;
(5)协方差函数;
解:
(1)当时,,
(2)
2 0 -2
当n为奇数时
当n为偶数时
0
(4)
而
(5)
若
即有
2.设,其中A、B是相互独立且有相同的分布的随机变量,是常数,,试求:
(1)X(t)的一个样本函数;
(2)X(t)的一维概率密度函数;
(3)均值函数和协方差函数。
解:
(1)当A=B=1时,
(2)
~
(3)
3.设随机过程。
其中是相互独立的随机变量,且~。
(1)求{X(t)}的均值函数和相关函数;
(2)证明{X(t)}是正态过程。
解:
(1)
(2)
其中,
由n维正态分布的线性性质得
~
因此X(t)是正态过程。
4.设是参数为的Wiener过程,求下列过程的均值函数和相关函数:
(1)
(2)
(3)(4)
解:
(1)
(2)
(3)
(4)
5.设到达某商店的顾客组成强度为的Poisson流,每个顾客购买商品的概率为p,且与其他顾客是否购买商品无关,若是购买商品的顾客流,证明是强度为的Poisson流。
证:
令表示“第个顾客购买商品”,则且。
其中为时间段内到达商店的顾客人数,则的特征函数为
是强度为的Poisson流。
6.在题5中,进一步设是不购买商品的顾客流,试证明与是强度分别为和的相互独立的Poisson流。
证:
(1)
与独立且强度为的Poisson流。
7.设和分别是强度为和的独立Poisson流。
试证明:
(1)是强度为的Poisson流;
(2)在的任一到达时间间隔内,恰有k个时间发生的概率为
证:
(1)
是强度为的Poisson流。
(2)令T表示过程任两质点到达的时间间隔。
A表示恰有1个事件发生在的任一到达时间间隔内,则
8.设是Poisson过程,和分别是的第n个事件的到达时间和点间间隔。
试证明:
(1);
(2)。
证:
9.设某电报局接收的电报数组成Poisson流,平均每小时接到3次电报,求:
(1)一上午(8点到12点)没有接到电报的概率;
(2)下午第一个电报的到达时间的分布。
解:
10.设和分别是强度为和的独立Poisson过程,令,求的均值函数与相关函数。
解:
11.设是强度为的Poisson过程,T是服从参数为的指数分布的随机变量,且与独立,求内事件数N的分布律。
解:
由内N的分布律为:
第三章习题解答
1.证明Poisson随机变量序列的均方极限是Poisson随机变量。
证:
令是Poisson随机变量序列,则对
又,其中X为Poisson随机变量。
2.设,是独立同分布的随机变量序列,均值为,方差为1,定义,证明。
证:
。
3.研究下列随机过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。
(1),其中A、B是相互独立的二阶矩随机变量,均值为a、b,方差为;
(2),其中A、B、C是相互独立的二阶矩随机变量,均值为a、b、c,方差为;
(3)是Poisson过程;
(4)是Wiener过程。
解:
(1)
是关于s,t的多项式函数
存在任意阶的偏导数
过程是均方连续,均方可导,均方可积。
(2)
(3)由知Poisson过程是均方连续,均方可积的。
不存在,即均方不可导。
(4)由知Wiener过程是均方连续,均方可积的。
不存在,即均方不可导。
4.试研究上题中过程的均方可导性,当均方可导时,试求均方导数过程的均值函数和相关函数。
解:
(1)均方可导
又
均方可微。
(2)均方可导,且
(3)Poisson过程均方不可导。
(4)Wiener过程均方不可导。
5.求下列随机过程的均值函数和相关函数,从而判断其均方连续性和均方可微性。
(1),其中是常数,服从上的均匀分布;
(2),其中参数为1的Wiener过程;
(3),其中参数为的Wiener过程。
解:
(1)。
(2)
当,
均方连续,但均方不可微,均方可积。
(3)
均方连续,但均方不可微,均方可积。
6.均值函数为、相关函数为的随机过程输入微分电路,该电路输出随机过程,试求的均值函数和相关函数、和的互相关函数。
解:
7.试求第3题中可积过程的如下积分:
的均值函数和相关函数。
解:
(1)
又
(2)
(3)
当时
当
当时
(4)
8.设随机过程,其中是均值为5、方差为1的随机变量,试求随机过程的均值函数、相关函数、协方差函数与方差函数。
解:
9.设是参数为的Wiener过程,求下列随机过程的均值函数和相关函数。
(1);
(2);
(3)
解:
(1)
(2)
(3)
10.求一阶线性随机微分方程的解及解的均值函数、相关函数及解的一维概率密度函数,其中是均值为0、方差为的正态随机变量。
解:
(1)
解过程为:
(2)
11.求一阶线性随机微分方程的解及解的均值函数、相关函数。
(1),其中是一已知的二阶均方连续过程,是与独立的均值为、方差为的随机变量。
(2),其中是一已知的均值函数为、相关函数为的二阶均方连续过程。
解:
(1)
即方程的解为:
(2)均方解为:
(当时)
第四章习题解答
1.随机过程,其中A具有Rayleigh分布,即其概率密度函数为
式中服从区间上的均匀分布,且、相互独立,试研究X是否为平稳过程。
解:
是平稳过程.
2、X是一平稳过程,且满足,称X为周期平稳过程,T为其周期,试求X的相关函数也是以T为周期的周期函数。
解:
是平稳过程,
又
以T为周期.
3、设X、Y是两个相互独立的实平稳过程,试证明也是平稳过程。
解
也是平稳过程
4、设是n阶均方可微的平稳过程,证明是平稳过程,且
解:
利用归纳法可得
平稳过程
5、设是一均值为0的平稳时间序列,证明:
(1)扔是一平稳时间序列;
(2)若数列绝对收敛,即,则扔是一平稳时间序列;
(3)若是一白噪声,试求的相关函数及其谱函数。
解
(1)
=
=
是一平稳时间序列
(2)
(又)
仍是一平稳时间序列
(3)
(注:
白噪声过程X的谱密度为,其中
)
6、设是雷达在时的发射信号,遇目标返回接收的微弱信号是,,是信号返回时间,由于接收到的信号总是伴有噪声的,记噪声为,于是接收机收到的全信号为:
,若X、Y是平稳相关的平稳过程,试求;进而,若的均值为0,且与相互独立,试求。
解:
(1)
(2)
7设,其中是服从区间上均匀分布的随机变量,试证:
(1)是一平稳时间序列;
(2)不是平稳过程。
解:
(1)
是一平稳时间序列
(2)
不是平稳过程
8、设为零均值的正交增量过程,,试证是一平稳过程。
解:
是一平稳过程。
9、设是一平稳过程,均值,相关函数为,若
(1)
(2)
令,T是固定的正数,分别计算的相关函数。
解:
(1)
当时,
(2)
当时
当时
当时
当时
当时
10、设平稳过程的相关函数为,这里为常数。
(1)判断X是否均方可导,说明理由;
(2)计算
解
(1)
在处可导
当时,
当时,
又
在处存在二阶可导数
故在处存在二阶可导数
由归纳可知在处存在n阶可导.
(2)
11、过程的相关函数为,对满足随机微分方程的宽平稳过程解。
(1)求X的均值函数,自相关函数和功率谱函数;
(2)求X与Y的互相关函数和互功率谱函数。
解:
(1)令,则,代入,有
又
Y是平稳过程
又平稳
(2)
当时,
当时,
12、设是均值为0的平稳的正态过程,且二阶均方可导。
求证:
对任意,与相互独立,但与不相互独立,并求。
证:
(1)由定理3.6.3()知,也是正态过程
由定理4.2.3知,也是平稳过程
又
又实平稳过程,为偶函数
,
则不相关,由正态变量的性质知
独立
(2)易知也是正态平稳过程
又
不独立
13、设是均方可导实平稳的正态过程,相关函数为,求其导数过程的一维、二维概率密度函数。
解:
由定理3.6.3()知仍为正态过程,而且
,
的一维概率密度函数为:
的二维概率密度函数为:
其中
14.已知平稳过程的相关函数
(1)
(2)
(3)求谱密度。
解:
(或由傅氏变换可得)
(2)
(3)
15、已知平稳过程(参数连续)谱密度
(1)
(2)
(3)
求相关函数和平均功率。
解,平均功率
(1)
(2)
(3)
16、设X、Y是两平稳相关过程,且,
试证,也是平稳过程。
又若X、Y的谱密度函数存在,试用X、Y的谱密度及互谱密度表出Z的谱密度。
证:
其中
是平稳过程
又
17、设,其中为常数,是特征函数为的实随机变量,证明X为平稳过程充要条件为。
证:
又
平稳,
18、设X为平稳正态过程,,是其相关函数,试证是一平稳过程,且其标准相关函数为
证:
易证Y也是一平稳过程。
对于二维正态分布X,Y,若它们均值为0,相关函数r,则有结论
,,其中,,
所以
19、设是平稳过程,为其谱密度函数。
试证:
对任意的是平稳过程(即平稳过程具有平稳增量),并求Y的谱函数。
证
是平稳过程
又
20、设是均值为0,相关函数为实正态平稳过程,证明也是平稳过程,并求其均值及相关函数。
证:
令则
()
也是平稳过程
21.设二阶矩过程的均值函数为,相关函数为,其中都为常数。
证明是一平稳过程,并求其均值及相关函数。
证:
是一平稳过程
22、设是白噪声序列,试证明
是平稳时间序列,并求其相关函数及谱密度。
证:
是平稳时间序列。
23、设为均方连续的平稳过程,具有谱密度,试证对每个是平稳序列,并用表出的谱密度。
证:
令,
则
平稳序列
24.设是两个相互独立的实随机变量,的分布函数是,试证明:
为平稳过程,且其谱函数就是。
证:
为平稳过程,且
的谱函数为。
25.设是均方可导的平稳过程,是其谱密度,试证:
(1)
(2)
均为平稳过程,并求它们的谱密度。
证:
(1)
为平稳过程。
(其中)
(2)
又存在谱函数,可知
26.设Y是均方二次可导的平稳过程,X是均方连续的平稳过程,且满足:
,试用X的谱函数表示Y的谱函数及X与Y的互谱函数。
解:
(1)取,并代入上式得
(2)
27.已知如图所示的系统,其输入X为一零均值的平稳正态过程,通过实验测得Z的功率谱密度为
试证Y也为平稳的,且;
利用
(1)的结论分别求X和Y的自相关函数与功率谱密度。
证
(1)类似第20题
(2)
令则
28.设线性时不变系统的脉冲响应,其中为常数,为单位阶跃函数,系统的输入X是自相关函数为的平稳过程。
试求:
(1)系统输入与输出的互相关函数;
(2)输出的功率谱密度和自相关函数。
解
当时;
当时;
29.设随机过程,其中A和B是相互独立的零均值随机变量,且。
试研究X的均值和相关函数是否具有各态历经性。
解:
是平稳过程。
又
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