上海海事大学研究生12-13数值分析试A卷答案.doc
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上海海事大学2012---2013学年第2学期
研究生数值分析课程考试试卷A (答案)
学生姓名:
学号:
专业:
一.填空题(每小格2分共28分)
1.利用Seidel迭代法求解Ax=b时,其迭代矩阵是;
当系数矩阵A满足严格对角占优时,Seidel迭代法收敛。
x01
2.已知函数有数据
f19
则其线性Lagrange插值多项式为插值余项为
3.求解常微分方程初值问题
的Euler二步法公式为,它是2阶方法。
4.设则差商3
0
5.5个节点的Newton-Cotes数值求积公式的代数精度至少具有5次,其最高代数精度为9
6.对于非线性方程的Newton迭代法公式为,它在方程根附近是平方阶收敛的方法。
7.反幂法是求可逆矩阵按模最小特征值和特征向量的计算方法.
QR法是计算可逆矩阵的所有特征值和特征向量的计算方法
8.
二.求在上的一次最佳一致逼近多项式,并估计误差。
(已知)
(7分)
解:
上不变号,所以二端点为交错点组点。
故:
而,所以
所以
误差
三.用代数精度确定求积公式的求积系数,并指出其具有的代数精度。
(7分)
已知,证明求积公式余项为:
解:
具有二次代数精度。
以作Hermite二次插值,得余项
四.设方程组系数矩阵可逆,其扰动方程组为
证明:
当时,有
和成立
(6分)
解:
由得
故
又,
五.设是关于互异节点的Lagrange插值基函数,试证明:
(7分)
解:
设的n+1阶导数存在,则有:
当时(),
所以
六.设方程组Ax=b有唯一解,其等价变形构造的迭代格式为,如矩阵谱半径,但B有一个特征值满足,求证:
存在初始向量,使得迭代产生的序列收敛于。
(7分)
证明:
由,
对于B的一个特征值满足,特征向量设为,
故取初始向量,有
,所以收敛于
七.在[0,2]上具有五阶连续导数,已知,,,试用基函数构造法求Hermite插值多项式,使其满足上列插值条件,并估计误差。
(7分)
解:
解:
;
插值余项:
,,
,由得
又=,
八.给定函数函数,对于一切,存在,且,
证明对于范围内的任意定数,迭代过程均收敛于的根。
(7分)
解:
,,单调,根存在条件下必唯一。
迭代函数
,
有条件,可得
故:
所以所以
九.设,
1.证明:
中矩形求积公式截断误差
2.又设,试以此构造复合求积公式,并说明该复合求积公式是收敛的。
(9分)
解:
1.令f(x)=1,x等式成立。
所以是1阶代数精度
因此:
;
故:
=
2.又:
分划[a,b]2n等分,得:
,k=1,2,…n,
得复合公式:
所以:
=
其中:
有:
十.初值问题的解为,是由Euler法得出的数值解证明:
整体误差,并说明其收敛性。
(7分)
解:
对任意固定值x>0,取,所以,由Euler法
=
所以,
对任意固定点,的所以收敛。
十一.对于初值问题,试利用数值积分导出梯形公式,证明公式是具有是二阶精度的。
对于梯形公式求常微分方程数值解时,当试验方程,,为保证数值方法的绝对稳定性,确定其步长的限制范围。
(8分)
解:
因为,所以
略去余项得
。
又
当时,
因为,当时,
所以是二阶精度。
因为:
因,所以即
故梯形公式是无条件绝对稳定的。
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