第二学期微积分期末试卷及答案bus.doc
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2008-2009学年第二学期微积分期末考试试卷答案
(MA00224BUS)
(课程编号MA00224,考试时间:
2小时)
一.填空题(每小题6分,共36分)
1.求点到平面的距离是__________.(6’)
2.过点且垂直于平面的直线方程是.(6’)
3.若,则,(3’).(3’)
4.设,其中为连续函数,区域由抛物线及直线,所围成,则此二重积分化为二次积分为______________________________.
5.设级数均收敛,级数发散,则
级数_______________;级数_________________.(填写“收敛”或“发散”)
6.幂级数的收敛半径是(3’);收敛域是(3’).
二.微分学解答题
7.(8分)设函数,
(1)写出的定义域,并画出的图形;
(2)求.
解:
(1)函数的定义域为,即:
。
(2’)。
画出图形(2’).
(2)(4’)
8.(8分)设其中函数具有一阶连续偏导数,证明:
9.(10分)求函数在圆域上的最大值和最小值.
三.积分学解答题
10.(8分)求二重积分,为由轴和上半圆周所围成的平面区域。
11.(8分)设立体由椭圆抛物面与围成,求的体积.
解:
解得两旋转抛物面的交线为,从而积分区域为。
(2’)
的体积为(3’)
(3’)
12.(8分)设球面含在柱面()内部分的面积恰为全球面积的一半,求的取值.(半径为的球面面积为.)
解:
上半球面由方程,确定,从而。
(2’)
根据题意,上半球面含在柱面()内部分的面积为全球面积的,由
(2’)
;(3’)
又,从而有:
,即,(1’)
四.级数
13.(6分)级数是绝对收敛还是条件收敛或是发散的?
说明理由.
答:
绝对收敛。
(3’),而级数收敛。
(3’)
14.(8分)将函数展开为的幂级数,并写出展开式成立的区间.
解:
因为,(2’),所以
(3’)
,即。
(2’)
于是,
即.(1’)
参考答案(修改前的答案)
2
1.,
2.,
3.,
4.,
5.,.
6.;
7.
8. ,,, 最大值:
.
9. .
10.
11.
12.
(1),即,,;
(2)
13.绝对收敛
14.,
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