大学概率论与数理统计公式全集.doc
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大学概率论与数理统计公式全集
一、随机事件和概率
1、随机事件及其概率
运算律名称
表达式
交换律
结合律
分配律
德摩根律
2、概率的定义及其计算
公式名称
公式表达式
求逆公式
加法公式
条件概率公式
乘法公式
全概率公式
贝叶斯公式
(逆概率公式)
伯努利概型公式
两件事件相互独立相应公式
;;;;
二、随机变量及其分布
1、分布函数性质
2、离散型随机变量
分布名称
分布律
0–1分布
二项分布
泊松分布
几何分布
超几何分布
3、连续型随机变量
分布名称
密度函数
分布函数
均匀分布
指数分布
正态分布
标准正态分布
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量边缘分布
2、离散型二维随机变量条件分布
3、连续型二维随机变量(X,Y)的联合分布函数
4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数
边缘分布函数:
边缘密度函数:
5、二维随机变量的条件分布
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
离散型随机变量:
连续型随机变量:
2、数学期望的性质
(1)
(2)
(3)若XY相互独立则:
(4)
3、方差:
4、方差的性质
(1)
(2)若XY相互独立则:
5、协方差:
若XY相互独立则:
6、相关系数:
若XY相互独立则:
即XY不相关
7、协方差和相关系数的性质
(1)
(2)
8、常见数学分布的期望和方差
分布
数学期望
方差
0-1分布
二行分布
泊松分布
几何分布
超几何分布
均匀分布
正态分布
指数分布
五、大数定律和中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若对于任意有或
2、大数定律:
若相互独立且时,
(1)若相互独立,且则:
(2)若相互独立同分布,且则当时:
3、中心极限定理
(1)独立同分布的中心极限定理:
均值为,方差为的独立同分布时,当n充分大时有:
(2)拉普拉斯定理:
随机变量则对任意x有:
(3)近似计算:
六、数理统计
1、总体和样本
总体的分布函数样本的联合分布为
2、统计量
(1)样本平均值:
(2)样本方差:
(3)样本标准差:
(4)样本阶原点距:
(5)样本阶中心距:
(6)次序统计量:
设样本的观察值,将按照由小到大的次序重新排列,得到,记取值为的样本分量为,则称为样本的次序统计量。
为最小次序统计量;为最大次序统计量。
3、三大抽样分布
(1)分布:
设随机变量相互独立,且都服从标准正态分布,则随机变量所服从的分布称为自由度为的分布,记为
性质:
①②设且相互独立,则
(2)分布:
设随机变量,且X与Y独立,则随机变量:
所服从的分布称为自由度的的分布,记为
性质:
①②
(3)分布:
设随机变量,且与独立,则随机变量所服从的分布称为自由度的分布,记为
性质:
设,则
七、参数估计
1、参数估计
(1)定义:
用估计总体参数,称为的估计量,相应的为总体的估计值。
(2)当总体是正态分布时,未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值
2、点估计中的矩估计法:
(总体矩=样本矩)
离散型样本均值:
连续型样本均值:
离散型参数:
3、点估计中的最大似然估计
最大似然估计法:
取自的样本,设则可得到概率密度:
基本步骤:
①似然函数:
②取对数:
③解方程:
最后得:
8
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