华东师大数学分析习题解答2.doc
- 文档编号:4708873
- 上传时间:2023-05-07
- 格式:DOC
- 页数:11
- 大小:976KB
华东师大数学分析习题解答2.doc
《华东师大数学分析习题解答2.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《华东师大数学分析习题解答2.doc(11页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
《数学分析选论》习题解答
第二章 连 续 性
1.设,证明:
.
证 由向量模的定义,
. □
. 设到集合的距离定义为
.
证明:
(1)若是闭集,,则;
(2)若(称为的闭包),则
.
证 (1)倘若,则由的定义,,使得
.
因,故,于是必为的聚点;又因是闭集,故,这就导致矛盾.所以证得.
(2).若,则显然成立.若,则(即为的聚点),由聚点定义,,因此同样有
.
反之,凡是满足的点,不可能是的外点(若为外点,则存在正数,使,这导致,与相矛盾).从而只能是的聚点或孤立点.若为聚点,则;若为孤立点,则.所以这样的点必定属于.
综上,证得成立. □
3.证明:
对任何,必为闭集.
证 如图所示,设为的任一聚点,
欲证,即亦为的聚点.
这是因为由聚点定义,,使得
.
再由为的聚点,,有
.
于是又有,所以为的聚点,即,亦即为闭集. □
4.证明:
对任何,必为闭集.
证 如图所示,设为的任一聚点,欲证,即亦为的界点.
由聚点定义,,使
.
再由为界点的定义,,
在内既有的内点,又有的外点.由此证得在内既有的内点,又有的外点,所以为的界点,即必为闭集. □
5.设,为的任一内点,为的任一外点.证明:
联结与的直线段必与至少有一交点.
证 如图所示,把直线段置于一实轴上,并
为叙述方便起见,约定此实轴上的点与其坐标用同一字
母表示.下面用区间套方法来证明.
记.若,
则结论成立;若为的内点,则取;若为的外点,则取.一般地,用逐次二等分法构造区间套:
记(不妨设),并取
.
此区间套的特征是:
其中每个闭区间的左端点恒为的内点,右端点恒为的外点.现设,下面证明.
由区间套定理的推论,,当足够大时,,因此在中既含有的内点(例如),又含有的外点(例如),所以上的点必是的界点. □
6.证明聚点定理的推论2和推论3.
(1)推论2 中的无限点集为有界集的充要条件是:
的任一无限子集必
有聚点.
证 [必要性]当为有界集时,的任一无限子集亦为有界集,由聚点定理直接
推知结论成立.
[充分性]用反证法来证明.倘若为无界集,则必能求得一个点列,
使得.这个作为的一个无限子集不存在聚点,与条件矛盾.故为有界集. □
(2)推论3 中的无限点集为有界闭集的充要条件是:
为列紧集,即
的任一无限子集必有属于的聚点.
证 [必要性]因有界,故的任一无限子集亦有界,由聚点定理,这种无限子集必有聚点.又因子集的聚点也是的聚点,而为闭集,故子集的聚点必属于.
[充分性]由上面(1)的充分性证明,已知必为有界集.下面用反证法再来证明为闭集.
.据题设条件,的惟一聚点应属于,故又导致矛盾.所以的所有聚点都属于,即为闭集. □
7.设.证明:
(1);
(2);
(3)若为一一映射,则.
证 (1).若;
若.所以,当.这表示
.
反之,.若;若,于是.这表示,亦即
.
综上,结论得证.
(2).因且,故
,
即,亦即.
然而此式反过来不一定成立.例如,则有
;
.
可见在一般情形下,.
(3),,使.当为
一一映射时,只能是,于是,故得
.
联系(2),便证得当为一一映射时,等式成立. □
8.设,且
.
证明:
(1)时可逆;
(2).
证 设
,
.
利用向量函数极限与其分量函数极限的等价形式,知道
.
(1).
当时,由于,因此由,推知
,即得.
(2)类似地有
□
9.设.试证:
若存在证数,对任何满足
,
则在上连续,且一致连续.
证 这里只需直接证明在上一致连续即可.
,对任何,只要满足,便有
.
由于这里的只与有关,故由一致连续的柯西准则(充分性),证得在上一致连续. □
10.设.试证:
若在点连续,则在近旁局部有界.
证 由在点连续的定义,对于,,当时,满足
,
所以在近旁局部有界. □
11.设为连续函数,为任一开集,为任一闭集.试问是否必为开集?
是否必为闭集?
为什么?
解 不一定为开集.例如
.
这里为开集,但却为闭集.
当为有界闭集时,由连续函数的性质知道必为闭集且有界.但当为无界
闭集时,就不一定为闭集,例如
.
这里可看作一闭集,而却为一开集. □
12.设.试举例说明:
(1)仅有,不一定为一压缩映射;
(2)仅有存在,使对任何,满足
,
此时也不一定为一压缩映射.
解 (1)例如.这里为一闭域,它虽然满足,但因,所以不是压缩映射.(注:
这也可根据压缩映射原理来说明,由无解,即没有不动点,故不是压缩映射.)
(2)例如.它虽然满足
,
但因,故此仍不是一个压缩映射. □
13.讨论取怎样的值时,能使下列函数在指定的区间上成为一个压缩映射:
(1); (2);
(3); (4).
解 (1)由,可知对任何,在上都不可能是压缩映射.
(2)首先,只有当时,才能使
.
其次,由于对任何都有
,
因此只要取,即,就能保证在上为一压缩映射.
(3)由,可知.再由
,
又可求得,即.所以,当取时,就能保证在上为一压缩映射.
(4)由于,因此可由
,
解出(即),.
再由,可见只要,就能保证在上为一压缩映射. □
14.试用不动点方法证明方程在区间上有惟一解;并用迭代法求出这个解(精确到四位有效数字).
解 若直接取,则因
,
可知在上不是压缩映射.为此把方程改写成,并设
.
由于在上,且
,
所以在上为一压缩映射,且在上有惟一不动点.
取,按迭代计算如下:
所以,方程即的解(精确到四位有效数字)为
. □
15.设,其中为一个维闭球(球心为).试证:
若存在正数,使对一切,都有
,
,
则在中有惟一的不动点.
证 显然,只需证得了,连同条件便知在上为一压缩映射,从而有惟一的不动点.现证明如下:
.由,以及题设条件的两个不等式,得到
这表示,即. □
19
19
0
1
2
3
0.5
0.6065
0.5452
0.5797
4
5
6
7
0.5601
0.5712
0.5649
0.5684
15
16
17
0.5672
0.5671
0.5671
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 华东师大 数学 分析 习题 解答