考研高数三角函数复习.doc
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考研三角函数复习
1、任意角的三角函数(划红线内容重点学习,其余部分建议学习)
(1)任意角的三角函数的定义:
角α的终边上任意一点p的坐标是(x,y),它与原点的距离是r(r>0),那么角α的正弦、余弦、正切、余切分别是
(2)三角函数值的符号
正弦值与余割值对于第一、二象限的角是正的,而对于第三、四象限的角是负的.余弦值与正割值对于第一、四象限的角是正的,而对于第二、三象限的角是负的.
正切值与余切值对于第一、三象限的角是正的,而对于第二、四象限角是负的,也可以按正的在各象限的函数来记,即“一全、二正弦,三切、四余弦”(正割、余割分别与余弦、正弦符号相同)
2.同角三角函数的基本关系式
(1)倒数关系:
sinαcsc=1 cosαsecα= tanαcotα=1
(3)平方关系:
sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α
3.诱导公式
(1)k·2π+α(k∈Z),-α,π±a,2π-α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α角看成锐角时原函数值的符号,即
sin(k·2π+α)=sinα,cos(k·2π+α)=cosα,tan(k·2π+α)=tanα,cot(k·2π+α)=cotα(k∈Z)
sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,cot(-α)=-tanα
sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα
sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα
sin(2π-α)=-sinα,cos(2π-α)=cosα,tan(2π-α)=-tanα,cot(2π-α)=-cotα
sin(-a)=cosa,cos(-a)=sina,sin(+a)=cosa,cos(+a)=-sina
(2)90°±α,270°±α的三角函数值等于α的余名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,例如sin(90°+α)=cosα,tan(270°+α)=-cotα
综上,诱导公式可概括为k·90°±α(k∈Z)的三角函数值,等于α的同名(k为偶数时)或余名(k为奇数时)的函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简称之为“奇余偶不变,符号看象限”.
4.三角函数的图象和性质
(1)三角函数线
以原点为圆心,以单位长为半径的圆叫做单位圆,如图2—3,设角α的终边与单位圆的交点为p,过p作PM垂直于x轴,垂足为M,A(1,0)、B(0,1),过A、B点作单位的切线AT、BS分别与角α的终边或其反向延长线交于T、S则有向线及MP、OM、AT、BS、OT、OS分别叫作角α的正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割线、余割线.
(2)三角函数的图象
正弦函数 y=sinx 余弦函数 y=cosx(如图2—4)
正切函数 y=tanx 余切函数 y=cotx(如图2—5)
(3)三角函数的周期
①周期函数
对于函数y=f(x),如果存在着一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期.
②最小正周期:
对于一个周期函数来说、如果在所有的周期中存在着一个最小正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期.教科书上所指三角函数的周期均为最小正周期.
(4)三角函数的性质
5、积化和差
sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]
cosacosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]
sinacosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]
cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]
6、和差化积
sina+sinb=2sincos,sina-sinb=2cossin
cosa+cosb=2coscos,cosa-cosb=-2sinsin
tana+tanb=
(1)积化和差与和差化积各有四个公式,它们实质是一类公式的正用或逆用,即积化和差公式的逆用就是和差化积公式。
这些公式既是重点,又是难点,只有掌握准确,才能熟练应用。
(2)积化和差公式是运用两角和、两角差的三角函数公式推导出来的,推导中用了“解方程组”的思想。
和差化积公式是从三角函数的积化和差的公式逆推出来的。
推导中用了“换元”的思想。
我们要熟悉推导过程,掌握推导方法,这既有助于对公式的充分理解,又有助于运用公式解决问题。
(3)要注意寻找公式特征,掌握它们的异同点:
即角、函数名称、函数间的运算、系数等方面的异同点。
①只有系数绝对值相同的同名函数的和与差,才能运用公式化成和的形式。
②如果是一正弦与一余弦的和或差,可先用诱导公式化成积的形式。
例如:
(4)对三角函数的和差化积,常因所采取的途径不同,而导致结果在形式上的差异,但结果实际上是一致的(如上例)。
“和差化积”不能只注意到化成“三角函数的积”,而忽略了答案的最简形式。
例如,解如下习题:
把sin2α-sin2β化成积的形式。
解 sin2α-sin2β
=sin(α+β)·sin(α-β)
最后一步,往往会忽略丢掉,应予充分注意。
(5)把三角函数式化成积的形式,有时需要把某些数当成三角函
(6)将asinα+bcosα型的三角函数式化成积的形式,即asinα+
它为研究函数y=asinx+bcosx的性质提供了一条途径。
辅助角φ终边所在
(7)所谓三角函数的和差化积是指:
把“多项式”化为“单项式”而不影响原式的值的变形。
因此四个和差化积公式的运用可分为以下几种类型:
①直接运用公式;
②经过简单变形后就可运用公式;
③设置辅助角,对形如asinx+bcosx型的三角函数式进行和差化积;
④“三项式”的和差化积问题,如把1+sinθ+cosθ化成积的形式。
6.5、两角和与差的三角函数
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=
tan(A-B)=
cot(A+B)=
cot(A-B)=
7、二倍角的正弦、余弦、正切
sin2α=2sinαcosα
1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα-cos2αsinα=3sinα-4sin3α
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=4cos3α-3cosα
8、半角的正弦、余弦、正切
-2α的半角等.
三角函数.
备用知识
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:
其中R表示三角形的外接圆半径
余弦定理b2=a2+c2-2accosB注:
角B是边a和边c的夹角
正切定理:
[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注:
(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注:
D2+E2-4F>0
抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py
直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h
正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2
圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r
锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积V=S'L注:
其中,S'是直截面面积,L是侧棱长
柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h
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