武汉理工大学数值分析考试试题及答案.docx
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武汉理工大学数值分析考试试题及答案
1、①工程中数值方法的主要思想
答:
工程总,把理论与实际情况相结合,用数值方法直接求解较少简化的模型,及忽略一些无关的因素求出近似值,又使得到的景近似解满足程变得要求
2数值方法中误差产生的原因
答:
当数值模型不能得到精确解释,通常要用数值方法求接触他的近似解,七近似解与精确解之间的误差称为截断误差。
当用计算机做数值计算时,由于计算机的字长有限,原始数据在计算机上表示会产生误差,计算过程总中有产生误差,这种误差称为舍入误差。
b5E2RGbCAP
3数值方法应用对象
由数学模型给出的数值计算方法,以及根据计算方法编制的法
程序
2、取x=1、2、2时fvx)=2、0、1,计算f(x>在x=1处得近似解
Xi
1
2
3
f 2 0 1 解: 二次拉格朗日插值多项式为 2 L k=0 lo (x0_x1)(x0_x2)(1_2)(1_3)2 12 (X2_X0)(X2_xi)(3_1)(3_2)2 2 贝UL k卫 11 =- 22 3213 =—x-x+7 22 所以L<1)=3XV1)2-空XV1)+7 22222 =33 8 即f(X>在X=1处得景近似解为33 28 3、f f: : ,f1与f2 解f f'x>=4 所以f fh=4空却f(x)=maxf(—1),f (1)} =max16,0=16 f|1=jf(x)|dx=L(x-1)4dx 1(x-5)5 5 1 32 --l|fL=^(x-1)4dx|2=『: (x—1)8d」2 29 19 =_9(xT) 1 16、2 1的正交多 4、对权函数r(x)J—x,区间[—1,1],试求首项系数为项式n(x),n=0,123. 解: 若珥X)=1—X2,则区间[-1,1]上内积为 1 (f,g)jf(x)g(x”(x)dx 定义o(X)=1,则 : n1(X)=(X—宀): : n(X)—: n: n」(X) 其中 ■n=(X;(X),n(X))/(,X),「n(X)) : n=(「n(X),「n(X))/(2(X),心(幼 : 0=(X,1)/(1,1) 12 」x(1x2)dx =~2 』x2)dx =0 】(x)二x 2 M=(x,x)/(x,x): x3(1x2)dxJ;x2(1+x2)dx =0 S=(x,x”(1,1) ]x2(1+x2)dx z3222\〃2222\ : -2=(xx,x)/(x,x) 5555 132222 (X3一匚x)(x2一匚)(1x2)dx 55 : 心2)(宀5)(1 -0 x2)dx ■2=(X2-|,X2-|)/(x,x) 55 122222 1(x^-)(x^-)(rx2)dx」55 一1~22 」X2(1x2)dx 解: : f(x)=ex,x0,11.f(x)=ex,f(x)=ex0 af(b)-f(a)e1 a1e-1 b-a ex2二e-1x2-ln(eT) f(x2)=ex2=eT a0= f(a)f(X2) 2 f(b)-f% b—a ax2 2 1(e_1) 2 -(e-1) In(e-1) 2 =*ln(e-1) 于是得f(x)的最佳一次逼近多项式为 e1 R(x)=t+(e-1)[x—n(e-1)] 22 1 =(e-1)x—[e-(e-1)ln(e-1)] 2 6、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分: 1 1(1-e')2 (2)dx,n=10; 0x ⑶1xdx,n=4; ⑷06*4-sin2「d「,n=6; ji 解: 1x (1)n=8,a=0,b=1,h,f(x)2 84+x 复化梯形公式为 h7 T8二一[f(a)2f(xjf(b)]=0.11140 2k吕 复化辛普森公式为 h77 S8「[f(a)4、f(x「)2'f(xjf(b)]=0.11157 6k=0k2k=1 1 1(1一「)2 ⑵n=10,a=0,b=1,h,f(x)= 10x 复化梯形公式为 h9 人0蔦[f(a)2、f(xjf(b)]=1.39148 2k±i 复化辛普森公式为 h99 S0二[f(a)4、f(x「)2、f(xQf(b)]=1.45471 6k£2k# 复化梯形公式为 3 T4 —[f(a)2f(xQf(b)]=17.22774 2k4 —3 「6[f(a)4: 严 复化辛普森公式为 3 ! )2、f(Xk)f(b)]=17.32222 2k4 2.. (4)n=6,a“,b,—,f(x"4-sin 636 复化梯形公式为 —5 T6二一[f(a)2、f(xk)f(b)]=1.03562 2y 复化辛普森公式为 —55 £二—[f(a)4、f(xJ2、f(xQf(b)]=1.03577 6心k占心 1 8.628283心0^ -4.446923X0』 因此I: 0 (3)I=0x一1x2dx k T0(k) * T(k) 12 T3(k) T(k) I4 T(k) T5 0 14.2302 495 1 11.1713 10.1517 699 434 2 10.4437 10.2018 10.2045 969 725 744 3 10.2663 10.2072 10.2076 10.2076 672 240 207 691 4 10.2222 10.2075 10.2075 10.2075 10.2075 702 712 943 939 936 5 10.2112 10.2075 10.2075 10.2075 10.2075 10.2075 607 909 922 922 922 922 因此匕I10.2075922 7、对f(x),g(x)C1[a,b],定义 b (1)(f,g)=Lf[x)g(x)dx b (2)(f,g)二af(x)g(x)dxf(a)g(a) 问它们是否构成内积。 解: (1)令f(x)=C 则f(x)=0 而(f,f)=[f(x)f(x)dx 这与当且仅当f三0时,(f,f)=0矛盾 -不能构成C1[a,b]上的内积。 ⑵若(f,g)=ff(x)g(x)dx+f(a)g(a),贝U a b (g,f)二ag(x)f(x)dxg(a)f(a)=(f,g),-: K b (af,g)=: [[af(x)]g(x)dx+af(a)g(a) b =: [f(x)g(x)dxf(a)g(a)] a 「(f,g) -h•C1[a,b],则 b (f+g,h)=[[f(x)+g(x)]h(x)dx+[f(a)g(a)]h(a) bb f(x)h(x)dxf(a)h(a)亠! f(x)h(x)dxg(a)h(a) aa =(f,h)(h,g) b22 (f,f)=[[f'(x)]dx+f(ap0 若(f,f)=0,则 f[f(x)]2dx=0,且f2(a)=0 f(x)三0,f(a)=0 .f(x)三0即当且仅当f=0时,(f,f)=0. 故可以构成C1[a,b]上的内积。 8已知一组实验数据如表,求它的拟合曲线。 Xi 1 2 3 4 5 f 4 3 5 4 2 Wi 1 1 2 1 1 4 : o,: 0八Wi=6. 7; 解: 设拟合曲线平p 44 0,1二'Wi: 0(x)1(X)='WiXi=18 i^0i二0 44 2 •: 1,1八Wi: 1(X): 1(X)二'wi: 1=64 i=0i=0 44 「0,fwif(xi)=23;r,f='wixif(xi)=66 i=0i=0 n 由法方程(L[)6=dj,k=0,1得线性方程组口 '71 ra0— 6a0+18^=23;15 '=3 18a°+64a1=66a1=— J01,10 于是所求拟合曲线 P 1510 9、求解x2-x-1, (1)牛顿法,<2)二分法 解: 牛顿法: 设f Xk1=Xk f(xk),k=1,2,3取x0__1,f'(x)=2x_1 f'(Xk) 此方法算得的f(xk)越来越趋近于零。 二分法: f 1f<-1)f<1)<0的实根在1-1,11之内 2设a=-1,b=1,取a,b啲中点x。 =0,而f(0)=-1<0rf(x)的实根在 1-1,01之内,则令a^i=a=-1,6=b=1,P1EanqFDPw 3取a1,b11的中点X1二一丄而f(--)=-丄<0,f(x)的实根在-1,丄之内, 2,24]2」 1 则令a2=a--1,b2=b= ……如此反复下去,当x—Xk£E,kX1的整数,功预定的精度 由此便可求得符合精度要求的解 10、写出线性方程组 ⑴雅克比行列式⑵高斯一赛德尔迭代法DXDiTa9E3d 解: 见课本187到190 申明: 所有资料为本人收集整理,仅限个人学习使用,勿做商业用 l)=(x-x0)(x-xl2)=(x-1)(x-3)=-vx-1)vx-3) (XI—X0)(X1—X2)(2—1)(2—3)
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