长方形的椅子能在凹凸不平的地面上放稳吗?Word文档下载推荐.docx
- 文档编号:4646749
- 上传时间:2023-05-03
- 格式:DOCX
- 页数:3
- 大小:35.79KB
长方形的椅子能在凹凸不平的地面上放稳吗?Word文档下载推荐.docx
《长方形的椅子能在凹凸不平的地面上放稳吗?Word文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《长方形的椅子能在凹凸不平的地面上放稳吗?Word文档下载推荐.docx(3页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只要稍挪动几次,就可以四脚着地,放稳了。
以下用数学语言证明。
二、问题分析
该模型看似与数学与数学无关,但我们可以用数学语言给予表述,并用数学工具来证明,经过分析,我们可以一元变量θ表示椅子的位置,用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的距离,进而把模型假设和椅子同时着地的结论用简单、精确的数学语言表达出来,构成了这个实际问题的数学模型。
三、模型假设
为了明确问题,对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下,做出如下假设:
(1)椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触处视为一点,四脚的连线呈长方形.
(2)地面高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断
(没有像台阶那样的情况),即从数学的角度看,地面是连续曲面.
(3)椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.为保证这一点,要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言,地面是相对平坦的.因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内,如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的),此时三只脚是无法同时着地的.
四、模型建立
在上述假设下,解决问题的关键在于选择合适的变量,把椅子四只脚同时着地表示出来.
首先,引入合适的变量来表示椅子位置的挪动.要把椅子通过挪动放稳,通常有拖动或转动椅子两种办法,也就是数学上所说的平移与旋转变换.然而,平移椅子后问题的条件没有发生本质变化,所以用平移的办法是不能解决问题的.于是可尝试将椅子就地旋转,并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形.
椅脚连线呈长方形,长方形是中心对称图形,绕它的对称中心旋转180度后,椅子仍在原地.把长方形绕它的对称中心O旋转,这可以表示椅子位置的改变。
于是,旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置.为此,在平面上建立直角坐标系来解决问题.
如下图所示,设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC所在的直线为x轴,对称中心O为原点,建立平面直角坐标系.椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后,长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置,这样就可以用旋转角θ(0≤θ≤π)表示出椅子绕点O旋转θ后的位置.
其次,把椅脚是否着地用数学形式表示出来.
我们知道,当椅脚与地面的竖直距离为零时,椅脚就着地了,而当这个距离大于零时,椅脚不着地.由于椅子在不同的位置是θ的函数,因此,椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数.
由于椅子有四只脚,因而椅脚与地面的竖直距离有四个,它们都是θ的函数.而由假设(3)可知,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地,即这四个函数对于任意的θ,其函数值至少有三个同时为0.因此,只需引入两个距离函数即可.考虑到长方形ABCD是中心对称图形,绕其对称中心
O沿逆时针方向旋转180°
后,长方形位置不变,但A,C和B,D对换了.因此,记
A,B两脚与地面竖直距离是之和为f(θ),C、D两脚与地面的竖直距离之和为g(θ),其中θϵ[0,π],从而将原问题转化成数学问题,
数学模型:
已知f(θ)和g(θ)是非负的连续函数,对于任意的θ,有f(θ)·
g(θ)=0.证明存在某个θ0ϵ[0,π],使得f(θ0)=g(θ0)=0成立.
五、模型求解
如果f(0)=g(0)=0,那么结论成立。
如果f(0)=g(0)不同时为零;
不妨设f(0)>
0,g(0)=0.这时,将长方形ABCD绕O点逆时针旋转180度,点A,B分别与C,D互换,但长方形ABCD在地面上所处的位置不变,由此可知f(π)=g(0),g(π)=f(0).而由f(0)>
0,g(0)=0.得g(π)>
0,f(π)=0.令h(θ)=f(θ)-g(θ),由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数又h(0)=f(0)-g(0)>
0,h(π)=f(π)-g(π)<
0,根据连续函数介值定理,必存在θ0ϵ(0,π)使得h(θ0)=0,即f(θ0)=g(θ0);
又因为有f(θ0)·
g(θ0)=0,所以
f(θ0)=g(θ0)=0.
于是长方形的椅子在不平的地面上站稳了.
闫海超王倩唐倩
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 长方形 椅子 凹凸不平 地面上 放稳吗