几何最值与函数最值Word文档格式.doc
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几何最值与函数最值Word文档格式.doc
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1.(四川)如图,A(-1,0),点B在直线上运动,当线段AB最短时,B的坐标为【】
A.(0,0)B.(,)C.(,)D.(,)
2.(莱芜)在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,则BP的最小值是
3.(乐山)如图,△ABC中,∠C=90°
,AC=BC=4,D是AB中点,E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合),且AE=CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,有下列结论:
①△DFE是等腰直角三角形;
②四边形CEDF不可能为正方形;
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化;
④点C到线段EF的最大距离为.
其中正确结论的个数是【】 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.(自贡)如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°
,△AEF为正三角形,
点E、F分别在菱形的边BC.CD上滑动,且E、F不与B.C.D重合.
(1)证明不论E、F在BC.CD上如何滑动,总有BE=CF;
(2)当点E、F在BC.CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化?
如果不变,求出这个定值;
如果变化,求出最大(或最小)值.
三、应用轴对称的性质求最值:
1.(青岛)如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最
短距离为cm.
四、应用一次函数、二次函数求最值:
1.某校运动会需购买A、B两种奖品.若购买A种奖品3件和B种奖品2件,共需60元;
若购买A种奖品5件和B种奖品3件,共需95元.
(1)求A、B两种奖品单价各是多少元?
(2)学校计划购买A、B两种奖品共100件,购买费用不超过1150元,
且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍.设购买A种奖品m件,购买费用为W元,
写出W(元)与m(件)之间的函数关系式,求出自变量m的取值范围,并确定最少费用W的值.
2.端午节期间,某校“慈善小组”筹集到1240元善款,全部用于购买水果和粽子,然后到福利院送给老人,决定购买大枣粽子和普通粽子共20盒,剩下的钱用于购买水果,要求购买水果的钱数不少于180元但不超过240元.已知大枣粽子比普通粽子每盒贵15元,若用300元恰好可以买到2盒大枣粽子和4盒普通粽子.
(1)请求出两种口味的粽子每盒的价格;
(2)设买大枣粽子x盒,买水果共用了w元.
请求出w关于x的函数关系式;
求出购买两种粽子的可能方案,并说明哪一种方案使购买水果的钱数最多.
3.(自贡)正方形ABCD的边长为1cm,M、N分别是BC.CD上两个动点,且始终保持AM⊥MN,
当BM=cm时,四边形ABCN的面积最大,最大面积为cm2.
4.(扬州)如图,线段AB的长为2,C为AB上一个动点,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE,那么DE长的最小值是 .
5.(宁夏)在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是BC上的任意一点(P与B、C不重合),
过点P作AP⊥PE,垂足为P,PE交CD于点E.
(1)连接AE,当△APE与△ADE全等时,求BP的长;
(2)设BP为x,CE为y,试确定y与x的函数关系式。
当x取何值时,y值最大?
最大值是多少?
(3)若PE∥BD,试求出此时BP的长.
6.(湖南)如图,A(8,0)、B(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动,
速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作匀速直线运动,
速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t(0<t<)秒.解答如下问题:
(1)当t为何值时,PQ∥BO?
(2)设△AQP的面积为S,
①求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;
②若我们规定:
点P、Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则新坐标(x2﹣x1,y2﹣y1)称为“向量PQ”的坐标.当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标.
7.(宜宾)如图,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动,△ABC不动,△DEF运动,并满足:
点E在边BC上沿B到C的方向运动,且DE、始终经过点A,EF与AC交于M点.
(1)求证:
△ABE∽△ECM;
(2)探究:
在△DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?
若能,求出BE的长;
若不能,请说明理由;
(3)当线段AM最短时,求重叠部分的面积.
8.(南充)在Rt△POQ中,OP=OQ=4,M是PQ中点,把一三角尺的直角顶点放在点M处,以M为旋转中心,旋转三角尺,三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B,
MA=MB
(2)连接AB,探究:
在旋转三角尺的过程中,△AOB的周长是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在。
请说明理由。
9.(南昌)如图,⊙O的半径为2,弦BC=2,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外).
(1)求∠BAC的度数;
(2)求△ABC面积的最大值.(参考数据:
,,.)
10.如图,直线y=x+1与y轴交于A,与x轴交于D,抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E,
与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P;
(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使|AM﹣MC|的值最大,求出点M的坐标.
参考答案
一、应用两点间线段最短的公理(含应用三角形的三边关系)求最值
1.要使△PBG的周长最小,而BG=1一定,只要使BP+PG最短即可,如图:
连接AG交EF于M,
因为等边△ABC,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,
所以AG⊥BC,EF∥BC,则AG⊥EF,AM=MG,
A、G关于EF对称,
即当P和E重合时,此时BP+PG最小,即△PBG的周长最小,
AP=PG,BP=BE,
最小值是:
PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3.故答案为:
3.
2解:
如下图所示,
∵正方形是轴对称图形,点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点
∴连接BNBD,则直线AC即为BD的垂直平分线
∴BN=ND∴DN+MN=BN+MN
连接BM交AC于点P∵点N为AC上的动点,
由三角形两边和大于第三边知当点N运动到点P时,
BN+MN=BP+PM=BM,BN+MN的最小值为BM的长度。
∵四边形ABCD为正方形
∴BC=CD=8,CM=8-2=6,BCM=90°
BM=即DN十MN的最小值为10。
3.解∵MN=20,∴⊙O的半径=10。
连接OA、OB,
在Rt△OBD中,OB=10,BD=6,∴OD===8。
同理,在Rt△AOC中,OA=10,AC=8,∴OC===6。
∴CD=8+6=14。
作点B关于MN的对称点B′,连接AB′,
则AB′即为PA+PB的最小值,B′D=BD=6,过点B′
作AC的垂线,交AC的延长线于点E。
在Rt△AB′E中,∵AE=AC+CE=8+6=14,B′E=CD=14,
∴AB′===14。
4.如图,作点A关于直线a的对称点A′,连接A′B交直线b与点N,
过点N作NM⊥直线a,连接AM,
∵A到直线a的距离为2,a与b之间的距离为4,∴AA′=MN=4。
∴四边形AA′NM是平行四边形。
∴AM+NB=A′N+NB=A′B。
由两点之间线段最短,可得此时AM+NB的值最小。
过点B作BE⊥AA′,交AA′于点E,
易得AE=2+4+3=9,AB=,A′E=2+3=5,
在Rt△AEB中,,
在Rt△A′EB中,。
故选 B.
1.B
2..解:
如图,根据垂直线段最短的性质,当BP′⊥AC时,BP取得最小值。
设AP′=x,则由AB=AC=5得CP′=5-x,
又∵BC=6,∴在Rt△ABP′和Rt△CBP′中应用勾股定理,得
。
∴,即,解得。
∴,即BP的最小值是。
3.解:
①连接CD(如图1)。
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠DCB=∠A=45°
,CD=AD=DB。
∵AE=CF,∴△ADE≌△CDF(SAS)。
∴ED=DF,∠CDF=∠EDA。
∵∠ADE+∠EDC=90°
,
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°
∴△DFE是等腰直角三角形。
故此结论正确。
②当E、F分别为AC、BC中点时,
∵由三角形中位线定理,DE平行且等于BC。
∴四边形CEDF是平行四边形。
又∵E、F分别为AC、BC中点,AC=BC,
∴四边形CEDF是菱形。
又∵∠C=90°
∴四边形CEDF是正方形。
故此结论错误。
③如图2,分别过点D,作DM⊥AC,DN⊥BC,于点M,N,
由②,知四边形CMDN是正方形,∴DM=DN。
由①,知△DFE是等腰直角三角形,∴DE=DF。
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)。
∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。
∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。
故此结论错误。
④由①,△DEF是等腰直角三角形,∴DE=EF。
当DF与BC垂直,即DF最小时,EF取最小值2。
此时点C到线段EF的最大距离为。
故正确的有2个:
①④。
故选B。
4.解:
(1)证明:
如图,连接AC
∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°
∠BAE+∠EAC=60°
,∠FAC+∠EAC=60°
∴∠BAE=∠FAC。
∵∠BAD=120°
,∴∠ABF=60°
∴△ABC和△ACD为等边三角形。
∴∠ACF=60°
,AC=AB。
∴∠ABE=∠AFC。
∴在△ABE和△ACF中,
∵∠BAE=∠FAC,AB=AC,∠ABE=∠AFC,
∴△ABE≌△ACF(ASA)。
∴BE=CF。
(2)四边形AECF的面积不变,△CEF的面积发生变化。
理由如下:
由
(1)得△ABE≌△ACF,则S△ABE=S△ACF。
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC,是定值。
作AH⊥BC于H点,则BH=2,。
由“垂线段最短”可知:
当正三角形AEF的边AE与BC垂直时,边AE最短.
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化,且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最小,
又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF,则此时△CEF的面积就会最大.
∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF。
∴△CEF的面积的最大值是。
1.解:
圆柱形玻璃杯展开(沿点A竖直剖开)后侧面是一个长18宽12的矩形,作点A关于杯上沿MN的对称点B,连接BC交MN于点P,连接BM,过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。
由轴对称的性质和三角形三边关系知AP+PC为蚂蚁到达蜂蜜
的最短距离,且AP=BP。
由已知和矩形的性质,得DC=9,BD=12。
在Rt△BCD中,由勾股定理得。
∴AP+PC=BP+PC=BC=15,即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15cm。
典型例题:
1.解:
(1)设A、B两种奖品单价分别为元、元,由题意,得
,解得:
.答:
A、B两种奖品单价分别为10元、15元.
由题意,得
由,解得:
.
因为m为整数,所以m的值为70、71、72、73、74、75
由一次函数w=1500-5m可知,w随m增大而减小
当m=75时,W最小,最小为w=1500-5✕75=1125(元)
2.解:
(1)设大枣粽子每盒x元,普通粽子每盒y元,根据题意得
解得:
答:
大枣粽子每盒60元,普通粽子每盒45元.
(2)解:
①W=1240-60x-45(20-x)=-15x+340
②根据题意,得解得≤x≤
∵x是整数∴x取7,8,9,10∴20-x取13,12,11,10共有四种购买方案:
方案:
①购买大枣粽子7盒,普通粽子13盒②购买大枣粽子8盒,普通粽子12盒
③购买大枣粽子9盒,普通粽子11盒④购买大枣粽子10盒,普通粽子10盒
根据一次函数性质,∵∴W随x的减小而增大∴x=7时W有最大值
∴购买大枣粽子7盒,普通粽子13盒时,购买水果的钱数最多.
3.解:
设BM=xcm,则MC=1﹣xcm,
∵∠AMN=90°
,∠AMB+∠NMC=90°
,∠NMC+∠MNC=90°
,∴∠AMB=90°
﹣∠NMC=∠MNC。
∴△ABM∽△MCN,∴,即,解得CN=x(1﹣x)。
∴。
∵<0,∴当x=cm时,S四边形ABCN最大,最大值是cm2。
设AC=x,则BC=2-x,∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,
∴∠DCA=45°
,∠ECB=45°
,DC=,CE=。
∴∠DCE=90°
∴DE2=DC2+CE2=()2+[]2=x2-2x+2=(x-1)2+1。
∴当x=1时,DE2取得最小值,DE也取得最小值,最小值为1。
5.解:
(1)∵△APE≌△ADE,∴AP=AD=3。
在Rt△ABP中,AB=2,∴BP=。
(2)∵AP⊥PE,∴Rt△ABP∽Rt△PCE。
∴,即。
∵∴当时,y的值最大,最大值是。
(3)设BP=x,由
(2)得。
∵PE∥BD,,∴△CPE∽△CBD。
∴,即,化简得。
解得或(不合题意,舍去)。
∴当BP=时,PE∥BD。
6.解:
(1)∵A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),则OB=6,OA=8。
如图①,当PQ∥BO时,AQ=2t,BP=3t,则AP=10﹣3t。
∵PQ∥BO,∴,即,解得t=。
∴当t=秒时,PQ∥BO。
(2)由
(1)知:
OA=8,OB=6,AB=10.
①如图②所示,过点P作PD⊥x轴于点D,则PD∥BO。
∴△APD∽△ABO。
∴,即,解得PD=6﹣t。
∴S与t之间的函数关系式为:
S=(0<t<)。
∴当t=秒时,S取得最大值,最大值为5(平方单位)。
②如图②所示,当S取最大值时,t=,∴PD=6﹣t=3,∴PD=BO。
又PD∥BO,∴此时PD为△OAB的中位线,则OD=OA=4。
∴P(4,3)。
又AQ=2t=,∴OQ=OA﹣AQ=,∴Q(,0)。
依题意,“向量PQ”的坐标为(﹣4,0﹣3),即(,﹣3).
∴当S取最大值时,“向量PQ”的坐标为(,﹣3)。
7.
(1)证明:
∵AB=AC,∴∠B=∠C。
∵△ABC≌△DEF,∴∠AEF=∠B。
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE,∴∠CEM=∠BAE。
∴△ABE∽△ECM。
能。
∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,∴∠AME>∠AEF。
∴AE≠AM。
当AE=EM时,则△ABE≌△ECM(SAS)。
∴CE=AB=5。
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1。
当AM=EM时,则∠MAE=∠MEA。
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,即∠CAB=∠CEA。
又∵∠C=∠C,∴△CAE∽△CBA,∴,∴。
∴BE=BC﹣EC=6﹣。
综上所述,当BE=1或时,重叠部分能构成等腰三角形。
(3)解:
设BE=x,则CE=6-x
∵△ABE∽△ECM,∴,即:
,∴。
∴当x=3时,AM最短为。
又∵当BE=x=3=BC时,点E为BC的中点,∴AE⊥BC。
此时,EF⊥AC,∴。
∴当线段AM最短时,重叠部分的面积为。
8.解:
连接OM。
∵Rt△POQ中,OP=OQ=4,M是PQ的中点,
∴PQ=4,OM=PM=PQ=2,∠POM=∠BOM=∠P=450。
∵∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO,∴∠PMA=∠OMB。
∴△PMA≌△OMB(ASA)。
∴MA=MB。
(2)△AOB的周长存在最小值。
理由如下:
∵△PMA≌△OMB,∴PA=OB。
∴OA+OB=OA+PA=OP=4。
令OA=x,AB=y,则y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8≥8。
∴当x=2时y2有最小值8,从而y的最小值为2。
∴△AOB的周长存在最小值,其最小值是4+2。
9.解:
(1)连接BO并延长,交⊙O于点D,连接CD。
∵BD是直径,∴BD=4,。
在Rt△DBC中,,
∴,∴。
(2)因为△ABC的边BC的长不变,
所以当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A落在优弧BC的中点处。
过O作OE⊥BC于E,延长EO交⊙O于点A,则A为优弧BC的中点.连接AB,AC,
则AB=AC,。
在Rt△ABE中,
∵,
∴S△ABC=。
答:
△ABC面积的最大值是。
10.10.解:
(1)将A(0,1)、B(1,0)坐标代入y=x2+bx+c
得,解得,∴抛物线的解折式为y=x2﹣x+1;
(2)设点E的横坐标为m,则它的纵坐标为m2﹣m+1,即E点的坐标(m,m2﹣m+1),
又∵点E在直线y=x+1上,
m2﹣m+1=m+1解得m1=0(舍去),m2=4,
∴E的坐标为(4,3).
①当A为直角顶点时,过A作AP1⊥DE交x轴于P1点,
设P1(a,0)易知D点坐标为(﹣2,0),
由Rt△AOD∽Rt△P1OA得即,∴a=,∴P1(,0).
②同理,当E为直角顶点时,过E作EP2⊥DE交x轴于P2点,
由Rt△AOD∽Rt△P2ED得,即=,
∴EP2=,DP2==
∴a=﹣2=,P2点坐标为(,0).
③当P为直角顶点时,过E作EF⊥x轴于F,设P3(b、0),由∠OPA+∠FPE=90°
得∠OPA=∠FEP,Rt△AOP∽Rt△PFE,
由得,解得b1=3,b2=1,∴此时的点P3的坐标为(1,0)或(3,0),
综上所述,满足条件的点P的坐标为(,0)或(1,0)或(3,0)或(,0);
(3)抛物线的对称轴为,B、C关于x=对称,∴MC=MB,
要使|AM﹣MC|最大,即是使|AM﹣MB|最大,
由三角形两边之差小于第三边得,当A、B、M在同一直线上时|AM﹣MB|的值最大.
易知直线AB的解折式为y=﹣x+1
由,得,∴M(,﹣).
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