134角的特殊关系.docx
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134角的特殊关系
1.3.4角的特殊关系
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课标要求
⑴认识一个角的余角和补角,掌握余角和补角的性质;
⑵了解方位角,能确定具体物体的方位。
本节课的重点是认识角的互余、互补关系及其性质,确定方位.通过简单的推理,归纳出余角、补角的性质,并能用规范的语言描述性质是难点。
教材详析
1.互为余角、互为补角
正确理解概念
(1)互为余角的定义:
如果两个角的和等于直角,称这两个角互为余角.
符号表示:
若∠1+∠2=900,那么∠1与∠2叫做互为余角,其中∠1是∠2的余角,∠2也是∠1的余角.
理解这个定义要注意下列三个条件:
①两个角之间的关系;②两个角相加等于900;③只与角的度数有关,与角的位置无关.
(2)互为补角的定义:
如果两个角的和等于平角,称这两个角互为补角
符号表示:
若∠1+∠2=1800,那么∠1与∠2叫做互为补角,其中∠1是∠2的补角,∠2也是∠1的补角.
理解这个定义要注意下列三个条件:
①两个角之间的关系;②两个角相加等于1800;③只与角的度数有关,与角的位置无关.
(3)互为余角与余角、互为补角与补角区别
它们都是不同的概念,互为余角或互为补角是指两角之间的特定的数量关系,余角与补角是一个角相对于另一个角而言的.
(4)同一个角的余角与补角的关系
∠
的余角是90°-∠
;∠
的补角是180°-∠
.一个角的补角比它的余角大90°.
2.余角、补角的性质
(1)同角或等角的余角相等.
推理格式如:
∵∠A+∠1=90°,∠A+∠2=90°,∴∠1=∠2;
∵∠A+∠1=90°,∠B+∠2=90°,∠A=∠B,∴∠1=∠2.
(2)同角或等角的补角相等.
推理格式如:
∵∠A+∠1=180°,∠A+∠2=180°,∴∠1=∠2;
∵∠A+∠1=180°,∠B+∠2=180°,∠A=∠B,∴∠1=∠2.
说明:
同角或等角的余角相等,包含两方面内容:
一是:
同一个角的余角相等;二是相等的角的余角相等.同角或等角的补角相等也是这样理解的.
3.方位角
如图1-3.4-1,画两条互相垂直的直线AB和CD相交于点O,其中一条为水平线,图中四条射线所指方向分别是东西南北四大方向:
向上的射线OA表示正北方向,向下的射线OB表示正南方向,向右的射线OD表示正东方向,向左的射线OC表示正西方向.这四大方向简称为上北下南左西右东.
建立这四方向线后,对于点P,如果点P在射线OA上,则称点P在正北方向;如果点P在射线OB上,则称点P在正南方向;如果点P在射线 OC上,则称点P在正西方向;如果点P在射线OD上,则称点P在正东方向.
如果点P在正北方向线OA与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内,且射线 OP与正北方向线OA的夹角是m°,则称点P在北偏东(或西)m°方向;如果点P在正南方向线OB与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内,且射线OOP与正南方向线OB的夹角为m°,则称点P在南偏东(或西)m°方向.
如图1-3.4-2中的射线OA、OB、OC、OD分别称为:
北偏东40°、北偏西65°、南
偏西45°、南偏东20°.
这里要注意OD不要说成是东偏南70°,同样,OC也不要说成是西偏南45°.
对于偏向45°的方位角,有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向.如图1-3.4-2中的OC,除了说成南偏西45°外,还可以说是西南方向,但不要说成南西方向.
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例题精析
例1已知∠α,用两种不同的方法,画出∠α的余角∠β和∠α的补角∠γ.
图1-3.4-3
分析
(1)作∠α的余角:
①在顶点处作一边的垂线,这条垂线与另一边组成的锐角为∠α的余角;②在顶点处作另一边的垂线,与一边组成的锐角即为∠α的余角.
(2)作∠α的补角:
①过∠α的一边作其反向延长线,延长线与另一边所组成的角为∠α的补角;②过另一条边作其反向延长线,延长线与一边所组成的钝角即为∠α的补角.
解∠α的余角如图1-3.4-4
(1)、
(2),∠α的补角如图1-3.4-4(3)、(4):
图1-3.4-4
说明一个角的余角与这个角刚好拼成一个直角;一个角的补角与这个角刚好拼成一个平角.
【变式1】下列四个角中,最有可能与70°角互补的是( )
A.B.C.D.
分析先求出70°角的补角,然后结合各选项即可选择.
解70°角的补角=180°-70°=110°,是钝角,
只有D选项是钝角,所以,最有可能与70°角互补的是D选项的角.
故选D.
【变式2】图1-3.4-5中给出的各角中,哪些互为余角?
哪些互为补角?
图1-3.4-5
分析根据余角和补角的定义,读图写出哪些是互为余角(两个角的和是一个直角),哪些是互为补角(两个角的和是一个平角).
解互余:
10°和80°;30°和60°.
互补:
100°和80°;120°和60°;150°和30°;170°和10°.
例2一个角的补角是它的余角的3倍,那么这个角的度数是()
A.60°B.45°C.30°D.15°
分析由于一个角和它的补角的和是平角,与它的余角的和是直角,如果设这个角为∠A,则它的补角是180°-∠A,余角是90°-∠A,由题目中的所给的数量关系列出等式,便可以解决问题.
解设这个角的∠A,则根据题意,得
180°-∠A=3(90°-∠A),所以180°-∠A=270°-3∠A,
所以∠A=45°,选B.
【变式1】互余两个角的差是20°,求这两个角中较小的那个角的补角.
分析“互余两个角的和是90°”,它们的差又是20°,所以设其中一个角为x°,则它的余角是90°-x°,根据已知条件可列方程求这两个角,进而求到较小角的余角.
解设其中一个角是x°,则另一个角是90°-x°,根据题意,得
90°-x°-x°=20°,所以x=35,90°-x°=55°,
所以较小的角的补角是180°-35°=145°.
【变式2】∠α和∠β互余,且∠α:
∠β=1:
5,求∠α和∠β的补角各是多少度?
分析先根据∠α和∠β互余,且∠α:
∠β=1:
5,设∠α=x,则∠β=5x,利用余角的性质求出∠α和∠β的度数,再根据补角的性质即可解答.
解∵∠α和∠β互余,且∠α:
∠β=1:
5,∴设∠α=x,则∠β=5x,∴x+5x=90,解得x=15°,∴∠α=15°,∠β=5×15°=75°,∴∠α的补角是180°-15°=165°,∠β的补角是180°-75°=105°.
例3如图1-3.4-6,直线AB与CD相交于O,OE平分∠AOB,OF平分∠COD.
(1)图中与∠COA互补的角是∠AOD或∠COB
;(把符合条件的所有角都写出来)
(2)如果∠AOC=35°,求∠EOF的度数.
分析
(1)找与∠COA刚好拼成一个平角的角即是∠COA的补角.
(2)根据OE平分∠AOB,OF平分∠COD求得∠AOE=90°,∠COF=90°然后即可求得∠EOF的度数.
图1-3.4-6
解
(1)图中与∠COA互补的角是∠AOD或∠COB.
(2)∵OE平分∠AOB,OF平分∠COD.∴∠AOE=90°,∠COF=90°,
∵∠AOC=35°,∴∠EOF=∠AOE+∠COF-∠AOC=90°+90°-35°=145°.
说明从图形中寻找互余的角和互补的角,是我们必须练就的本领.
【变式1】如图1-3.4-7,O是直线AB上一点,OC为任一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.
(1)指出图中∠AOD的补角,∠BOE的补角;
(2)若∠BOC=68°,求∠COD和∠EOC的度数;
(3)∠COD与∠EOC具有怎样的数量关系?
图1-3.4-7
分析
(1)先找平角;
(2)根据角平分线的定义求出∠COD的度数即可,先求出∠AOC的度数,再根据角平分线的定义解答;(3)根据角平分线的定义表示出∠COD与∠EOC,然后整理即可得解.
解
(1)∠AOD的补角为∠BOD,∠BOE的补角为∠AOE;
(2)∵OD平分∠BOC,∠BOC=68°,∴∠COD=
∠BOC=
×68°=34°,∵∠BOC=68°,∴∠AOC=180°-∠BOC
=180°-68°=112°,∵OE平分∠AOC,∴∠EOC=
∠AOC=
×112°=56°;(3)∵OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,∴∠COD=
∠BOC,∠EOC=
∠AOC,∴∠COD+∠EOC=
(∠BOC+∠AOC)=
×180°=90°,∴∠COD与∠EOC互余.
【变式2】如图1-3.4-8,直线AB、CD相交于点O,OE⊥CD,射线OF平分∠AOE.
(1)请写出图中三对互余的角;
(2)若∠BOD=20°,求∠BOE及∠COF的度数.
图1-3.4-8
分析
(1)由OE⊥CD,得出∠EOD=∠EOC=90°,再根据余角的定义和性质求出三对互余的角即可;
(2)根据
(1)和∠BOD=20°,可直接求出∠BOE及∠COF的度数.
解
(1)∵OE⊥CD,∴∠EOD=∠EOC=90°,∴∠BOE+∠BOD=90°,∠EOF+∠COF=90°,∴∠BOE与∠BOD互为余角;∠EOF与∠COF互为余角;又∵射线OF平分∠AOE.∴∠AOF=∠EOF,∴∠AOF+∠COF=90°,∴∠COF与∠AOF互为余角;
(2)∵∠BOD=20°,∴∠BOE=70°,∴∠EOF+∠AOF=90°+20°=110°,∵∠EOF=∠AOF,∴∠EOF=∠AOF=55°,∴∠COF=55°-20°=35°.
例4如图1-3.4-9,已知∠AOC与∠AOB互为补角,OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线,且∠MON=35°,求∠COB的补角和∠AON的余角.
分析根据角平分线的定义可得∠AOM=
∠AOC,∠AON=
∠AOB,再结合图形表示出∠MON并求出∠AOC-∠AOB的度数,又∠AOC与∠AOB互为补角,两式联立解方程组求出∠AOC与∠AOB的度数,然后求出∠COB,再根据互为补角的和等于180°列式求解得到∠COB的补角;根据角平分线的定义求出∠AON的度数,再根据互为余角的和等于90°列式求解得到∠AON的余角.
图1-3.4-9
解∵OM,ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线,
∴∠AOM=
∠AOC,∠AON=
∠AOB,
∴∠MON=∠AOM-∠AON=
∠AOC-
∠AOB=35°,
∴∠AOC-∠AOB=70°,∵∠AOC与∠AOB互为补角,
∴∠AOC+∠AOB=180°,
解得∠AOC=125°,∠AOB=55°,
∴∠COB=∠AOC-∠AOB=125°-55°=70°,
∴∠COB的补角=180°-70°=110°,
∵∠AON=
∠AOB=
×55°=27.5°,
∴∠AON的余角=90°-27.5°=62.5°.
故∠COB的补角和∠AON的余角依次为:
110°,62.5°.
说明本题考查了互为补角与互为余角的性质,角平分线的定义,准确识图求出用∠AOC-∠AOB表示出∠MON并求出其度数是解题的关键,也是本题的难点
【变式】如图1-3.4-10所示,∠AOB是平角,∠AOC=30°,∠BOD=60°,OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线,∠MON等于度.
图1-3.4-10
分析根据平角和角平分线的定义求得.
解∵∠AOB是平角,∠AOC=30°,∠BOD=60°,
∴∠COD=90°(互为补角)
∵OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线,
∴∠MOC+∠NOD=
(30°+60°)=45°(角平分线定义)
∴∠MON=90°+45°=135°.
例5将一张长方形纸ABCD的两个角按如图1-3.4-11所示方式折叠,且BE与EC的一部分重合,请问,∠α与∠β是有什么关系的两个角,并说明理由.
图1-3.4-11图1-3.4-12
分析由折叠的性质知,∠B′EF=∠BEF,∠GEC′=∠CEG,则这四个角的和为180°进而求解得∠α+∠β的值.
解互余(即∠α+∠β=90°),理由:
由折叠可知∠B′EF=∠α,∠GEC′=∠β,
而∠BEC=180°,
所以∠α+∠FEB′+∠GEC+∠GEC′=180°,
即2∠α+2∠β=180°,
所以∠α+∠β=90°.
说明本题利用了:
①折叠的性质:
折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等;②一个平角是180度.
【变式】如图1-3.4-12所示,将书面折过去,该角顶点A落在A′处,BC为折痕,BD为∠A′BE的平分线,则∠CBD等于多少度?
试着说明其中的道理.
分析根据角平分线的定义得到∠A′BC=
∠A′BA,∠A′BD=
∠A′BE,∴∠CBD=∠A′BC+∠A′BD=
(∠A′BA+∠A′BE),(∠A′BA+∠A′BE)是平角180°,这样就可求出∠CBD的度数.
解∠CBD=90°,理由如下:
由折线的过程可知,∵∠A′BC=
∠A′BA,∠A′BD=
∠A′BE,
∴∠CBD=∠A′BC+∠A′BD=
(∠A′BA+∠A′BE)=
×180°=90度.
故∠CBD为90°.
例6如图1-3.4-13所示,OA是表示北偏东30°方向的一条射线,依照这条射线,画出表示下列方向的射线.
(1)南偏东25°;
(2)北偏西60°.
分析由图
(1)可知,点O的左边是西,右边是东,上边表示北,下边表示南.南偏东25°即是从正南方向的射线绕点O向东旋转25°后的位置,北偏西60°则是从正北方向的射线绕点O向西旋转60°后的位置.
解如图(20所示.
(1)射线OB表示南偏东25°方向;
(2)射线OC表示北偏西60°方向.
说明
(1)方向是针对某一具体点来说的,东、南、西、北也是针对这一点而言的,这一点也是射线的端点;
(2)画表示某一方向(相对于这一点)的射线时,首先要找准端点、基准线,然后再根据射线的偏向(偏东或偏西)和方位角的度数画图.
【变式】如图1-3.4-14,下列说法中错误的是()
A.OA方向是北偏东40°B.OB方向是北偏西15°
C.OC方向是南偏西30°D.OD方向是东南方向
分析图中OA偏离正东方向40°,故射线OA绕点A从正北向东旋转90°-40°=50°,即射线OA表示北偏东50°的方向而不是北偏东40°方向.A的说法是错误的,选A.
说明
(1)方位角是表示方向的射线与正北(或正南)方向的夹角,如B中射线OB与正北方向的夹角为90°-75°=15°,故它表示北偏西15°的方向;射线OD与正南方向的夹角为90°-45°=45°,故它表示南偏东45°即东南方向.
(2)东南方向表示南偏东45°方向,东北方向表示北偏东45°方向,西南方向表示南偏西45°方向,西北方向表示北偏西45°方向.
为什么错
1.理解错误
例7如果∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,则图1-3.4-15中互补的角有6
对.
错解∵∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,∴图中互补的角有7对,∠AOC与∠COB,∠AOC与∠AOD,∠AOD与∠COD,∠BOC与∠COD,∠BOD与∠AOD,∠BOD与∠COB,∠AOC、∠COD与∠BOD.
分析错解对互补的概念理解出现偏差,互余与互补都是针对两个角而言的,没有三个及以上的角互余和互补的说法.
正解图中互补的角有6对,∠AOC与∠COB,∠AOC与∠AOD,∠AOD与∠COD,∠BOC与∠COD,∠BOD与∠AOD,∠BOD与∠COB.
图1-3.4-15图1-3.4-16
2.识图错误
例8如图1-3.4-16,已知∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°,问图中是否有与∠COE互补的角?
错解观察图形可知,图中没有与∠COE互补的角.
分析图中真的没有与∠COE互补的角吗?
由∠AOC=90°可知,∠AOD与∠COD互为余角;由∠DOE=90°可知,∠COE与∠COD互为余角,根据“同角的余角相等”得∠COE=∠AOD.可见,要找与∠COE互补的角,可转化为找与∠AOD互补的角,观察图形知,∠BOD与∠AOD互为补角,因此与∠COE互补的角是∠BOD.由上可知,在识图时,我们不单单要认真观察图形,而且还要仔细分析题设条件,这样才能作出正确的判断.
正解图中有与∠COE互补的角,它是∠BOD.
探究平台
例9如图1-3.4-17是一个由16个小正方形拼成的大正方形,则∠1+∠2+∠3+…∠16的度数是( )
A.840°B.720°C.675°D.630°
图1-3.4-17
分析把正方形沿对角线对折,就会发现这些角分8对,每对中的两个角拼成一个直角,如:
∠1+∠16=90°;而对角线上的每个角都是45°。
解由图可得∠1+∠16=90°,∠2+∠12=90°,∠3+∠8=90°,∠5+∠15=90°,∠6+∠11=90°,∠9+∠14=90°,又∠4=∠7=∠10=∠13=45°,
∴∠1+∠2+∠3+…∠16=90°×6+45°×4=720°.
故选B.
说明运用折叠的方法可以探求角的关系.
【变式】如图1-3.4-18,先找到长方形纸的宽DC的中点E,将∠C过E点折起任意一个角,折痕是EF,再将∠D过E点折起,使DE和CE重合,折痕是GE,请探索下列问题:
(1)∠FEC和∠GEC互为余角吗?
为什么?
(2)∠GEF是直角吗?
为什么?
(3)在上述折纸图形中,还有哪些互为余角?
还有哪些互为补角?
解
(1)由折纸实验,知∠3=∠1,∠4=∠2,而∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
所以∠1+∠2=90°,即∠FEC+∠GEC=90°,故∠FEC和∠GEC互为余角.
(2)因为∠GEF=∠1+∠2=90°,所以∠GEF是直角.
(3)∠3和∠4,∠1和∠EFG互为余角,∠AGF和∠DGF、∠CEC和∠DEC互为补角等等(同学们还可以举出一些例子).
例10如图1-3.4-19所示,在一张城市的地图上,有学校、医院、图书馆三地,但被墨迹污染,图书馆的具体位置看不清楚,现已知道图书馆在学校的东北方向,在医院的南偏西60°方向.请你确定图书馆位置.
分析图书馆在学校的东北方向即是在学校的北偏东45°方向,又在医院的南偏西60°方向,故只需画出表示这两个方向的射线,它们的交点处就是图书馆位置.
解如图1-3.4-19所示,图中两条射线的交点处就是图书馆位置.
说明东北方向和南偏西60°方向分别是相对于学校与医院来说的,故表示这两个方向的射线的端点应分别为学校与医院(甲在乙的某一方向上是相对于乙而言的,故表示方向的射线的端点应为乙;反之,乙在甲的某一方向上是相对于甲而言的,表示方向的射线的端点应为甲),这是本题的难点,也是易错动点,请同学们仔细体会.
【变式】淘气有一张地图,图1-3.4-20所示,有A、B、C三地,但地图被墨迹污染,C地具体位置看不清楚了,但知道C地在A地的北偏东30度,在B地的南偏东45度,你能帮淘气确定C地的位置吗?
图1-3.4-20图1-3.4-21
分析根据方位角的概念画出:
A地的北偏东30度,B地的南偏东45度两条射线,两射线的交点就是C.
解如图1-3.4-21的点C即是。
【智能分级演练】
知识达标
1.选择题
(1)已知∠α=35°,则∠α的余角是( )
A.35°B.55°C.65°D.145°
(2)已知α=70°,则∠α的补角是( )
A.20°B.30°C.110°D.130°
(3)已知∠α=35°19′,则∠α的余角等于( )
A.144°41′B.144°81′C.54°41′D.54°81′
(4)若∠α=79°25′,则∠α的补角是( )
A.100°35′B.11°35′C.100°75′D.101°45′
(5)已知一个角的余角等于40°,则这个角的补角等于( )
A.140°B.130°C.120°D.50°
(6)∠A的补角为125°12′,则它的余角为( )
A.54°18′B.35°12′C.35°48′D.以上都不对
(7)若一个角的余角比这个角大30°,则这个角的补角是( )
A.30°B.150°C.60°D.155°
(8)下列各图中,射线OA表示北偏东42°方向的是( )
A.B.C.D.
(9)如图1-3.4-22,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠COB,若∠EOB=55°,则∠BOD的度数是( )
A.35°B.55°C.70°D.110°
图1-3.4-22图1-3.4-23
(10)如图1-3.4-23,甲从A点出发向北偏东70°方向走50m至点B,乙从A出发向南偏西15°方向走80m至点C,则∠BAC的度数是( )
A.85°B.160°C.125°D.105°
2.填空题
(1)已知∠A=50°,则∠A的补角是_____.
(2)8.已知∠α=63°,那么它的余角等于度.
(3)如果一个角的补角是150°,那么这个角的余角是______.
(4)若∠a=13°37′48″,则∠a的补角的大小是度.
(5)若角α与角β互补,且α-β=30°,则角α=度.
(6)一个角的余角比它的补角的
还少40°,则这个角的度数为度.
(7)如图1-3.4-24所示2×2正方形格中,连接AB,AC,AD,则∠1+∠2+∠3的度数
度.
图1-3.4-24图1-3.4-25
(8)如图1-3.4-25,要将角钢(图①)弯成145°(图②)的钢架,在角钢上截去的缺口(图①中的虚线)应为度.
(9)如果一个角与它的余角之比为1:
2,那么这个角与它的补角之比为.
(10)比萨斜塔建成于12世纪,从建成之日起就一直倾斜.目前,它与地面所成的较小的角是85度,它与地面所成的较大的角是度.
3.已知如图1-3.4-26,∠AOB是平角,∠AOD、∠EOC都是直角,写出∠EOD的余角,∠DOC的补角,∠AOE的邻补角和补角.
图1-3.4-27图1-3.4-28
4.一个角的余角比它的2倍角的补角还少15°,求这个角的度数.
5.已知一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍,求这个角的余角.
6.一个角的补角比这个角的余角的3倍小24°,求这个角.
7.一个角与它的余角以及它的一个补角的和是直角的
倍,求这个角的补角.
8.已知两个角互补,且它们的度数之比为4:
5,求这两个角的度数分别为多少?
9.如图,已知直线AB和CD相交于O点,∠COE是直角,OF平分∠AOE,∠COF=34°,求∠BOD的度数.
10.如图1-3.4-28,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D,仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线.
能力挑战
11.如图1-3.4-29所示,∠AOE=∠EOB=∠DOC=90°,则下列说法不正确的是( )
A.∠1与∠2,∠3与∠4互为余角
B.∠4=∠3,∠2=∠4
C.∠
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- 134 角的特殊关系 特殊 关系