武汉市中考数学试卷及答案解析.doc
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2015年湖北省武汉市中考数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)下列各题中均有四个备选答案,其中有且只有一个是正确的,请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.
1.在实数﹣3,0,5,3中,最小的实数是( )
A.
﹣3
B.
0
C.
5
D.
3
2.若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A
x≥﹣2
B.
x>﹣2
C.
x≥2
D.
x≤2
3.把a2﹣2a分解因式,正确的是( )
A.
a(a﹣2)
B.
a(a+2)
C.
a(a2﹣2)
D.
a(2﹣a)
4.一组数据3,8,12,17,40的中位数为( )
A.
3
B.
8
C.
12
D.
17
5.下列计算正确的是( )
A.
2a2﹣4a2=﹣2
B.
3a+a=3a2
C.
3a•a=3a2
D.
4a6÷2a3=2a2
6.(3分)(2015•武汉)如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为( )
A.
(2,1)
B.
(2,0)
C.
(3,3)
D.
(3,1)
7.如图,是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体.其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
8.下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况.根据图中信息,下列说法错误的是( )
A.
4:
00气温最低
B.
6:
00气温为24℃
C.
14:
00气温最高
D.
气温是30℃的时刻为16:
00
9.在反比例函数y=图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),x1<0<x2,y1<y2,则m的取值范围是( )
A.
m>
B.
m<
C.
m≥
D.
m≤
10.如图,△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、FC相交于点M.当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是( )
A.
2﹣
B.
+1
C.
D.
﹣1
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)请将答案填在答题卡对应题号的位置上.
11.计算:
﹣10+(+6)= .
12.中国的领水面积约为370000km2,将数370000用科学记数法表示为 .
13.一组数据2,3,6,8,11的平均数是 .
14.如图所示,购买一种苹果,所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 元.
15.定义运算“*”,规定x*y=ax2+by,其中a、b为常数,且1*2=5,2*1=6,则2*3= .
16.如图,∠AOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是 .
三、解答题(共8小题,共72分)下列各题解答应写出文字说明,证明过程或演算过程.
17.(8分)已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4).
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)求关于x的不等式kx+3≤6的解集.
18.(8分)如图,点B、C、E、F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC=DF.求证:
(1)△ABC≌△DEF;
(2)AB∥DE.
19.(8分)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4.
(1)随机摸取一个小球,直接写出“摸出的小球标号是3”的概率;
(2)随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,直接写出下列结果:
①两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的概率;
②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率.
20.(8分)如图,已知点A(﹣4,2),B(﹣1,﹣2),平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O.
(1)请直接写出点C、D的坐标;
(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程;
(3)直接写出平行四边形ABCD的面积.
21.(8分)如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.
(1)求证:
AT是⊙O的切线;
(2)连接OT交⊙O于点C,连接AC,求tan∠TAC.
22.(10分)已知锐角△ABC中,边BC长为12,高AD长为8.
(1)如图,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上,EF交AD于点K.①求的值;②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式,并求S的最大值;
(2)若AB=AC,正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长.
23.(10分)如图,△ABC中,点E、P在边AB上,且AE=BP,过点E、P作BC的平行线,分别交AC于点F、Q,记△AEF的面积为S1,四边形EFQP的面积为S2,四边形PQCB的面积为S3.
(1)求证:
EF+PQ=BC;
(2)若S1+S3=S2,求的值;
(3)若S3+S1=S2,直接写出的值.
24.(12分)已知抛物线y=x2+c与x轴交于A(﹣1,0),B两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E(m,n)是第二象限内一点,过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F,过点F作FG⊥y轴于点G,连接CE、CF,若∠CEF=∠CFG.求n的值并直接写出m的取值范围(利用图1完成你的探究).
(3)如图2,点P是线段OB上一动点(不包括点O、B),PM⊥x轴交抛物线于点M,
∠OBQ=∠OMP,BQ交直线PM于点Q,设点P的横坐标为t,求△PBQ的周长.
2015年湖北省武汉市中考数学试卷解析版
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)下列各题中均有四个备选答案,其中有且只有一个是正确的,请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.
1.在实数﹣3,0,5,3中,最小的实数是( )
A.
﹣3
B.
0
C.
5
D.
3
考点:
实数大小比较.菁优网版权所有
分析:
正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.
解答:
解:
根据实数比较大小的方法,可得
﹣3<0<3<5,
所以在实数﹣3,0,5,3中,最小的实数是﹣3.
故选:
A.
2.若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.
x≥﹣2
B.
x>﹣2
C.
x≥2
D.
x≤2
考点:
二次根式有意义的条件.菁优网版权所有
分析:
根据二次根式的性质,被开方数大于等于0,就可以求解.
解答:
解:
根据题意得:
x﹣2≥0,
解得x≥2.
故选:
C.
3.把a2﹣2a分解因式,正确的是( )
A.
a(a﹣2)
B.
a(a+2)
C.
a(a2﹣2)
D.
a(2﹣a)
考点:
因式分解-提公因式法.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
原式提取公因式得到结果,即可做出判断.
解答:
解:
原式=a(a﹣2),
故选A.
4.一组数据3,8,12,17,40的中位数为( )
A.
3
B.
8
C.
12
D.
17
考点:
中位数的含义和求法的应用.菁优网版权所有
分析:
首先把这组数据3,8,12,17,40从小到大排列,然后判断出中间的数是多少,即可判断出这组数据的中位数为多少.
解答:
解:
把3,8,12,17,40从小到大排列,可得3,8,12,17,40,
所以这组数据3,8,12,17,40的中位数为12.故选:
C.
5.(下列计算正确的是( )
A.
2a2﹣4a2=﹣2
B.
3a+a=3a2
C.
3a•a=3a2
D.
4a6÷2a3=2a2
考点:
整式的除法;合并同类项;单项式乘单项式.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
A、原式合并同类项得到结果,即可做出判断;
B、原式合并同类项得到结果,即可做出判断;
C、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果,即可做出判断;
D、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果,即可做出判断.
解答:
解:
A、原式=﹣2a2,错误;
B、原式=4a,错误;
C、原式=3a2,正确;
D、原式=2a3,错误.
故选C.
6.(3分)(2015•武汉)如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为( )
A.
(2,1)
B.
(2,0)
C.
(3,3)
D.
(3,1)
考点:
位似变换;坐标与图形性质.菁优网版权所有
分析:
根据位似变换的性质可知,△ODC∽△OBA,相似比是,根据已知数据可以求出点C的坐标.
解答:
解:
由题意得,△ODC∽△OBA,相似比是,
∴=,又OB=6,AB=3,
∴OD=2,CD=1,
∴点C的坐标为:
(2,1),
故选:
A.
7.如图,是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体.其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
简单组合体的三视图.菁优网版权所有
分析:
根据主视图是从正面看得到的视图,可得答案.
解答:
解:
从正面看下面是一个比较长的矩形,上面是一个比较宽的矩形.
故选:
B.
8.下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况.根据图中信息,下列说法错误的是( )
A.
4:
00气温最低
B.
6:
00气温为24℃
C.
14:
00气温最高
D.
气温是30℃的时刻为16:
00
考点:
折线统计图.菁优网版权所有
分析:
根据观察函数图象的横坐标,可得时间,根据观察函数图象的纵坐标,可得气温.
解答:
解:
A、由横坐标看出4:
00气温最低是24℃,故A正确;
B、由纵坐标看出6:
00气温为24℃,故B正确;
C、由横坐标看出14:
00气温最高31℃;
D、由横坐标看出气温是30℃的时刻是12:
00,16:
00,故D错误;
故选:
D.
9.在反比例函数y=图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),x1<0<x2,y1<y2,则m的取值范围是( )
A.
m>
B.
m<
C.
m≥
D.
m≤
考点:
反比例函数图象上点的坐标特征.菁优网版权所有
分析:
首先根据当x1<0<x2时,有y1<y2则判断函数图象所在象限,再根据所在象限判断1﹣3m的取值范围.
解答:
解:
∵x1<0<x2时,y1<y2,
∴反比例函数图象在第一,三象限,
∴1﹣3m>0,解得:
m<.故选B.
10.如图,△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、FC相交于点M.当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是( )
A.
2﹣
B.
+1
C.
D.
﹣1
考点:
旋转的性质;四点共圆;线段的性质:
两点之间线段最短;等边三角形的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
分析:
连接AD、DG、BO、OM,如图,易证△DAG∽△DCF,则有∠DAG=∠DCF,从而可得A、D、C、M四点共圆,根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM,即BM≥BO﹣OM,当M在线段BO与该圆的交点处时,线段BM最小,只需求出BO、OM的值,就可解决问题.
解答:
解:
连接AD、DG、BO、OM,如图.
∵△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,
∴AD⊥BC,GD⊥EF,DA=DG,DC=DF,
∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC,=,
∴△DAG∽△DCF,
∴∠DAG=∠DCF.
∴A、D、C、M四点共圆.
根据两点之间线段最短可得:
BO≤BM+OM,即BM≥BO﹣OM,
当M在线段BO与该圆的交点处时,线段BM最小,
此时,BO===,OM=AC=1,
则BM=BO﹣OM=﹣1.
故选D.
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)请将答案填在答题卡对应题号的位置上.
11.计算:
﹣10+(+6)= ﹣4 .
考点:
有理数的加法.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果.
解答:
解:
原式=﹣(10﹣6)=﹣4.故答案为:
﹣4.
12.中国的领水面积约为370000km2,将数370000用科学记数法表示为 3.7×105 .
考点:
科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
分析:
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.确定a×10n(1≤|a|<10,n为整数)中n的值,由于370000有6位,所以可以确定n=6﹣1=5.
解答:
解:
370000=3.7×105,故答案为:
3.7×105.
13.一组数据2,3,6,8,11的平均数是 6 .
考点:
算术平均数.菁优网版权所有
分析:
首先求出2,3,6,8,11的和是多少;然后用2,3,6,8,11的和除以5,求出一组数据2,3,6,8,11的平均数是多少即可.
解答:
解:
(2+3+6+8+11)÷5
=30÷5
=6
所以一组数据2,3,6,8,11的平均数是6.
故答案为:
6.
点评:
此题主要考查了算术平均数的含义和求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
对于n个数x1,x2,…,xn,则=(x1+x2+…+xn)就叫做这n个数的算术平均数.
14.如图所示,购买一种苹果,所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 2 元.
考点:
一次函数的应用.菁优网版权所有
分析:
根据函数图象,分别求出线段OA和射线AB的函数解析式,即可解答.
解答:
解:
由线段OA的图象可知,当0<x<2时,y=10x,
1千克苹果的价钱为:
y=10,
设射线AB的解析式为y=kx+b(x≥2),
把(2,20),(4,36)代入得:
,
解得:
,
∴y=8x+4,
当x=3时,y=8×3+4=28.
当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时,所花钱为:
10×3=30(元),
30﹣28=2(元).
则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元.
15.定义运算“*”,规定x*y=ax2+by,其中a、b为常数,且1*2=5,2*1=6,则2*3=10 .
考点:
解二元一次方程组.菁优网版权所有
专题:
新定义.
分析:
已知等式利用新定义化简,求出a与b的值,即可求出所求式子的值.
解答:
解:
根据题中的新定义化简已知等式得:
,
解得:
a=1,b=2,
则2*3=4a+3b=4+6=10,
故答案为:
10.
16.如图,∠AOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是 .
考点:
轴对称-最短路线问题.菁优网版权所有
分析:
作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值.
解答:
解:
作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,
连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值.
根据轴对称的定义可知:
∠N′OQ=∠M′OB=30°,∠ONN′=60°,
∴△ONN′为等边三角形,△OMM′为等边三角形,
∴∠N′OM′=90°,
∴在Rt△M′ON′中,
M′N′==.
故答案为.
三、解答题(共8小题,共72分)下列各题解答应写出文字说明,证明过程或演算过程.
17.(8分)已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4).
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)求关于x的不等式kx+3≤6的解集.
考点:
待定系数法求一次函数解析式;一次函数与一元一次不等式.菁优网版权所有
分析:
(1)把x=1,y=4代入y=kx+3,求出k的值是多少,即可求出这个一次函数的解析式.
(2)首先把
(1)中求出的k的值代入kx+3≤6,然后根据一元一次不等式的解法,求出关于x的不等式kx+3≤6的解集即可.
解答:
解:
(1)∵一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4),
∴4=k+3,
∴k=1,
∴这个一次函数的解析式是:
y=x+3.
(2)∵k=1,
∴x+3≤6,
∴x≤3,
即关于x的不等式kx+3≤6的解集是:
x≤3.
点评:
(1)此题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确待定系数法求一次函数解析式一般步骤是:
①先设出函数的一般形式,如求一次函数的解析式时,先设y=kx+b;②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式,得到关于待定系数的方程或方程组;③解方程或方程组,求出待定系数的值,进而写出函数解析式.
(2)此题还考查了一元一次不等式的解法,要熟练掌握,基本操作方法与解一元一次方程基本相同,都有如下步骤:
①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1.
18.(8分)如图,点B、C、E、F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC=DF.求证:
(1)△ABC≌△DEF;
(2)AB∥DE.
考点:
全等三角形的判定与性质;平行线的判定.菁优网版权所有
专题:
证明题.
分析:
(1)由SAS容易证明△ABC≌△DEF;
(2)由△ABC≌△DEF,得出对应角相等∠B=∠DEF,即可得出结论.
解答:
证明:
(1)∵AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,
∴∠ACB=∠DFE=90°,
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(SAS);
(2)∵△ABC≌△DEF,
∴∠B=∠DEF,
∴AB∥DE.
19.(8分)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4.
(1)随机摸取一个小球,直接写出“摸出的小球标号是3”的概率;
(2)随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,直接写出下列结果:
①两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的概率;
②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率.
考点:
列表法与树状图法;概率公式.菁优网版权所有
分析:
(1)由一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4直接利用概率公式求解即可求得答案;
(2)①首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的情况,再利用概率公式求解即可求得答案;
②由树状图即可求得第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
解答:
解:
(1)∵一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4,
∴随机摸取一个小球,直接写出“摸出的小球标号是3”的概率为:
;
(2)画树状图得:
则共有16种等可能的结果;
①∵两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的有2种情况,
∴两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的概率为:
=;
②∵第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的只有1种情况,
∴第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率为:
.
20.(8分)如图,已知点A(﹣4,2),B(﹣1,﹣2),平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O.
(1)请直接写出点C、D的坐标;
(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程;
(3)直接写出平行四边形ABCD的面积.
考点:
平行四边形的性质;坐标与图形性质;平移的性质.菁优网版权所有
分析:
(1)利用中心对称图形的性质得出C,D两点坐标;
(2)利用平行四边形的性质以及结合平移的性质得出即可;
(3)利用SABCD的可以转化为边长为;5和4的矩形面积,进而求出即可.
解答:
解:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD关于O中心对称,
∵A(﹣4,2),B(﹣1,﹣2),
∴C(4,﹣2),D(1,2);
(2)线段AB到线段CD的变换过程是:
绕点O旋转180°;
(3)由
(1)得:
A到y轴距离为:
4,D到y轴距离为:
1,
A到x轴距离为:
2,B到x轴距离为:
2,
∴SABCD的可以转化为边长为;5和4的矩形面积,
∴SABCD=5×4=20.
21.(8分)如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.
(1)求证:
AT是⊙O的切线;
(2)连接OT交⊙O于点C,连接AC,求tan∠TAC.
考点:
切线的判定;解直角三角形.菁优网版权所有
分析:
(1)根据等腰三角形的性质求得∠TAB=90°,得出TA⊥AB,从而证得AT是⊙O的切线;
(2)作CD⊥AT于D,设OA=x,则AT=2x,根据勾股定理得出OT=x,TC=(﹣1)x,由CD⊥AT,TA⊥AB得出CD∥AB,根据平行线分线段成比例定理得出==,即==,从而求得CD=(1﹣)x,AD=2x﹣2(1﹣)x=x,然后解正切函数即可求得.
解答:
解:
(1)∵∠ABT=45°,AT=AB.
∴∠TAB=90°,
∴TA⊥AB,
∴AT是⊙O的切线;
(2)作CD⊥AT于D,
∵TA⊥AB,TA=AB=2OA,
设OA=x,则AT=2x,
∴OT=x,
∴TC=(﹣1)x,
∵CD⊥AT,TA⊥AB
∴CD∥AB,
∴==,即==,
∴CD=(1﹣)x,TD=2(1﹣)x,
∴AD=2x﹣2(1﹣)x=x,
∴tan∠TAC===.
22.(10分)已知锐角△ABC中,边BC长为12,高AD长为8.
(1)如图,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上,EF交AD于点K.①求的值;②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式,并求S的最大值;
(2)若AB=AC,正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长.
考点:
相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;矩形的性质;正方形的性质.菁优网版权所有
分析:
(1)①根据EF∥BC,可得,所以,据此求出的值是多少即可.
②首先根据EH=x,求出AK=8
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