江苏省南通市启东市中考数学一模试卷.doc
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2017年江苏省南通市启东市中考数学一模试卷
一、选择题:
(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(3分)4的倒数是( )
A.4 B.﹣4 C. D.﹣
2.(3分)下列运算正确的是( )
A.(a﹣3)2=a2﹣9 B.a2•a4=a8 C.=±3 D.=﹣2
3.(3分)式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x≥1 B.x≤1 C.x>0 D.x>1
4.(3分)如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差:
甲
乙
丙
丁
平均数(cm)
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
5.(3分)如图,已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65πcm2,扇形的弧长为10πcm,则圆锥母线长是( )
A.5cm B.10cm C.12cm D.13cm
6.(3分)下列语句正确的是( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.矩形的对角线相等
C.有两边及一角对应相等的两个三角形全等
D.平行四边形是轴对称图形
7.(3分)下列说法中,你认为正确的是( )
A.四边形具有稳定性
B.等边三角形是中心对称图形
C.等腰梯形的对角线一定互相垂直
D.任意多边形的外角和是360°
8.(3分)有9名同学参加歌咏比赛,他们的预赛成绩各不相同,现取其中前4名参加决赛,小红同学在知道自己成绩的情况下,要判断自己能否进入决赛,还需要知道这9名同学成绩的( )
A.众数 B.中位数 C.平均数 D.极差
9.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是( )
A. B. C. D.
10.(3分)如图,A、B、C是反比例函数y=(x<0)图象上三点,作直线l,使A、B、C到直线l的距离之比为3:
1:
1,则满足条件的直线l共有( )
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
二、填空题:
(本大题共8小题,每小题2分,共16分.不需写出解答过程.)
11.(2分)方程=1的根是x= .
12.(2分)已知圆锥的底面半径是2,母线长是4,则圆锥的侧面积是 .
13.(2分)如图,△ABC中,D、E分别在AB、AC上,DE∥BC,AD:
AB=1:
3,则△ADE与△ABC的面积之比为 .
14.(2分)一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是 .
15.(2分)如图,点O是⊙O的圆心,点A、B、C在⊙O上,AO∥BC,∠AOB=38°,则∠OAC的度数是 度.
16.(2分)如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°,测角仪高AD为1m,则旗杆高BC为 m(结果保留根号).
17.(2分)如图,在平面直角坐标系中,点A(a,b)为第一象限内一点,且a<b.连结OA,并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA.若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上,则的值等于 .
18.(2分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是 .
三、解答题:
(本大题共8小题,共84分.)
19.计算:
(1)|﹣2|﹣(1+)0+;
(2)(a﹣)÷.
20.
(1)解方程:
+=4.
(2)解不等式组:
.
21.如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD,相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F,求证:
AE=CF.
22.某学校为了解八年级学生的体能状况,从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试,测试结果分为A、B、C、D四个等级,请根据两幅统计图中的信息回答下列问题:
(1)求本次测试共调查了多少名学生?
(2)求本次测试结果为B等级的学生数,并补全条形统计图;
(3)若该中学八年级共有900名学生,请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人?
23.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离.他沿着与直线AB平行的道路EF行走,当行走到点C处,测得∠ACF=45°,再向前行走100米到点D处,测得∠BDF=60°.若直线AB与EF之间的距离为60米,求A、B两点的距离.
24.随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出,全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也大增,商社电器从厂家购进了A,B两种型号的空气净化器,已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元,用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.
(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元?
(2)在销售过程中,A型空气净化器因为净化能力强,噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量,商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售,经市场调查,当B型空气净化器的售价为1800元时,每天可卖出4台,在此基础上,售价每降低50元,每天将多售出1台,如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元,请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元?
25.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,C分别在y轴,x轴上,∠ACB=90°,OA=,抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B(2,),与y轴交于点D.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上?
请说明理由;
(3)延长BA交抛物线于点E,连接ED,试说明ED∥AC的理由.
26.在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”,如图为点P,Q的“相关矩形”示意图.
(1)已知点A的坐标为(1,0),
①若点B的坐标为(3,1),求点A,B的“相关矩形”的面积;
②点C在直线x=3上,若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;
(2)⊙O的半径为,点M的坐标为(m,3),若在⊙O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围.
2017年江苏省南通市启东市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:
(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(3分)(2017•启东市一模)4的倒数是( )
A.4 B.﹣4 C. D.﹣
【解答】解:
由题可得,4的倒数是.
故选:
C.
2.(3分)(2016•昆明)下列运算正确的是( )
A.(a﹣3)2=a2﹣9 B.a2•a4=a8 C.=±3 D.=﹣2
【解答】解:
A、(a﹣3)2=a2﹣6a+9,故错误;
B、a2•a4=a6,故错误;
C、=3,故错误;
D、=﹣2,故正确,
故选D.
3.(3分)(2013•武汉)式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x≥1 B.x≤1 C.x>0 D.x>1
【解答】解:
根据题意得:
x﹣1≥0,即x≥1时,二次根式有意义.
故选:
A.
4.(3分)(2016•河南)如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差:
甲
乙
丙
丁
平均数(cm)
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【解答】解:
∵=>=,
∴从甲和丙中选择一人参加比赛,
∵=<<,
∴选择甲参赛,
故选:
A.
5.(3分)(2010•昆明)如图,已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65πcm2,扇形的弧长为10πcm,则圆锥母线长是( )
A.5cm B.10cm C.12cm D.13cm
【解答】解:
设母线长为R,由题意得:
65π=,解得R=13cm.
故选D.
6.(3分)(2017•启东市一模)下列语句正确的是( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.矩形的对角线相等
C.有两边及一角对应相等的两个三角形全等
D.平行四边形是轴对称图形
【解答】解:
A、对角线互相垂直的四边形是菱形,不正确;
B、矩形的对角线相等,正确;
C、有两边及一角对应相等的两个三角形全等,不正确;
D、平行四边形是轴对称图形,不正确;
故选:
B.
7.(3分)(2017•启东市一模)下列说法中,你认为正确的是( )
A.四边形具有稳定性
B.等边三角形是中心对称图形
C.等腰梯形的对角线一定互相垂直
D.任意多边形的外角和是360°
【解答】解:
A、四边形不具有稳定性,原说法错误,故本选项错误;
B、等边三角形不是中心对称图形,说法错误,故本选项错误;
C、等腰梯形的对角线不一定互相垂直,说法错误,故本选项错误;
D、任意多边形的外角和是360°,说法正确,故本选项正确;
故选D.
8.(3分)(2010•宿迁)有9名同学参加歌咏比赛,他们的预赛成绩各不相同,现取其中前4名参加决赛,小红同学在知道自己成绩的情况下,要判断自己能否进入决赛,还需要知道这9名同学成绩的( )
A.众数 B.中位数 C.平均数 D.极差
【解答】解:
由于总共有9个人,且他们的分数互不相同,第5的成绩是中位数,要判断是否进入前5名,故应知道中位数的多少.
故选B.
9.(3分)(2016•绍兴)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是( )
A. B. C. D.
【解答】解:
如图所示:
设BC=x,
∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,
∴AC=2BC=2x,AB=BC=x,
根据题意得:
AD=BC=x,AE=DE=AB=x,
作EM⊥AD于M,则AM=AD=x,
在Rt△AEM中,cos∠EAD===;
故选:
B.
10.(3分)(2017•启东市一模)如图,A、B、C是反比例函数y=(x<0)图象上三点,作直线l,使A、B、C到直线l的距离之比为3:
1:
1,则满足条件的直线l共有( )
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
【解答】解:
如解答图所示,满足条件的直线有4条,
故选A.
二、填空题:
(本大题共8小题,每小题2分,共16分.不需写出解答过程.)
11.(2分)(2016•湖州)方程=1的根是x= ﹣2 .
【解答】解:
两边都乘以x﹣3,得:
2x﹣1=x﹣3,
解得:
x=﹣2,
检验:
当x=﹣2时,x﹣3=﹣5≠0,
故方程的解为x=﹣2,
故答案为:
﹣2.
12.(2分)(2016•盐城)已知圆锥的底面半径是2,母线长是4,则圆锥的侧面积是 8π .
【解答】解:
底面半径是2,则底面周长=4π,圆锥的侧面积=×4π×4=8π.
13.(2分)(2016•泰州)如图,△ABC中,D、E分别在AB、AC上,DE∥BC,AD:
AB=1:
3,则△ADE与△ABC的面积之比为 1:
9 .
【解答】解:
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC,
∴S△ADE:
S△ABC=(AD:
AB)2=1:
9,
故答案为:
1:
9.
14.(2分)(2017•启东市一模)一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是 ﹣2 .
【解答】解:
设一元二次方程x2+x﹣2=0的两根分别为α,β,
∴αβ=﹣2.
∴一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是﹣2.
故答案为:
﹣2.
15.(2分)(2009•崇左)如图,点O是⊙O的圆心,点A、B、C在⊙O上,AO∥BC,∠AOB=38°,则∠OAC的度数是 19 度.
【解答】解:
∵∠AOB=38°
∴∠C=38°÷2=19°
∵AO∥BC
∴∠OAC=∠C=19°.
16.(2分)(2016•宁波)如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°,测角仪高AD为1m,则旗杆高BC为 10+1 m(结果保留根号).
【解答】解:
如图,过点A作AE∥DC,交BC于点E,则AE=CD=10m,CE=AD=1m,
∵在Rt△BAE中,∠BAE=60°,
∴BE=AE•tan60°=10(m),
∴BC=CE+BE=10+1(m).
∴旗杆高BC为10+1m.
故答案为:
10+1.
17.(2分)(2017•启东市一模)如图,在平面直角坐标系中,点A(a,b)为第一象限内一点,且a<b.连结OA,并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA.若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上,则的值等于 .
【解答】解:
过A作AE⊥x轴,过B作BD⊥AE,
∵∠OAB=90°,
∴∠OAE+∠BAD=90°,
∵∠AOE+∠OAE=90°,
∴∠BAD=∠AOE,
在△AOE和△BAD中,
,
∴△AOE≌△BAD(AAS),
∴AE=BD=b,OE=AD=a,
∴DE=AE﹣AD=b﹣a,OE+BD=a+b,
则B(a+b,b﹣a);
∵A与B都在反比例图象上,得到ab=(a+b)(b﹣a),
整理得:
b2﹣a2=ab,即()2﹣﹣1=0,
∵△=1+4=5,
∴=,
∵点A(a,b)为第一象限内一点,
∴a>0,b>0,
则=.
故答案为.
18.(2分)(2016•淮安)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是 1.2 .
【解答】解:
如图,延长FP交AB于M,当FP⊥AB时,点P到AB的距离最小.(点P在以F为圆心CF为半径的圆上,当FP⊥AB时,点P到AB的距离最小)
∵∠A=∠A,∠AMF=∠C=90°,
∴△AFM∽△ABC,
∴=,
∵CF=2,AC=6,BC=8,
∴AF=4,AB==10,
∴=,
∴FM=3.2,
∵PF=CF=2,
∴PM=1.2
∴点P到边AB距离的最小值是1.2.
故答案为1.2.
三、解答题:
(本大题共8小题,共84分.)
19.(2009•江苏)计算:
(1)|﹣2|﹣(1+)0+;
(2)(a﹣)÷.
【解答】解:
(1)原式=2﹣1+2=3.
(2)原式=.
20.(2017•启东市一模)
(1)解方程:
+=4.
(2)解不等式组:
.
【解答】解:
(1)去分母得:
x﹣5x=4(2x﹣3),
解得:
x=1,
经检验x=1是分式方程无解;
(2),
∵由①得,x<2,
由②得,x≥﹣1,
∴不等式组的解集是:
﹣1≤x<2.
21.(2017•启东市一模)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD,相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F,求证:
AE=CF.
【解答】证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,OA=OC,
∴∠OAE=∠OCF,
在△OAE和△OCF中,
,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴AE=CF.
22.(2016•龙东地区)某学校为了解八年级学生的体能状况,从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试,测试结果分为A、B、C、D四个等级,请根据两幅统计图中的信息回答下列问题:
(1)求本次测试共调查了多少名学生?
(2)求本次测试结果为B等级的学生数,并补全条形统计图;
(3)若该中学八年级共有900名学生,请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人?
【解答】解:
(1)设本次测试共调查了x名学生.
由题意x•20%=10,
x=50.
∴本次测试共调查了50名学生.
(2)测试结果为B等级的学生数=50﹣10﹣16﹣6=18人.
条形统计图如图所示,
(3)∵本次测试等级为D所占的百分比为=12%,
∴该中学八年级共有900名学生中测试结果为D等级的学生有900×12%=108人.
23.(2016•淮安)小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离.他沿着与直线AB平行的道路EF行走,当行走到点C处,测得∠ACF=45°,再向前行走100米到点D处,测得∠BDF=60°.若直线AB与EF之间的距离为60米,求A、B两点的距离.
【解答】解:
作AM⊥EF于点M,作BN⊥EF于点N,如右图所示,
由题意可得,AM=BN=60米,CD=100米,∠ACF=45°,∠BDF=60°,
∴CM=米,
DN=米,
∴AB=CD+DN﹣CM=100+20﹣60=(40+20)米,
即A、B两点的距离是(40+20)米.
24.(2017•启东市一模)随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出,全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也大增,商社电器从厂家购进了A,B两种型号的空气净化器,已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元,用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.
(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元?
(2)在销售过程中,A型空气净化器因为净化能力强,噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量,商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售,经市场调查,当B型空气净化器的售价为1800元时,每天可卖出4台,在此基础上,售价每降低50元,每天将多售出1台,如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元,请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元?
【解答】解:
(1)设每台B型空气净化器为x元,A型净化器为(x+300)元,
由题意得,=,
解得:
x=1200,
经检验x=1200是原方程的根,
则x+300=1500,
答:
每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元,1500元;
(2)设B型空气净化器的售价为x元,根据题意得;(x﹣1200)(4+)=3200,
解得:
x=1600,
答:
如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元,请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元.
25.(2014•烟台)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,C分别在y轴,x轴上,∠ACB=90°,OA=,抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B(2,),与y轴交于点D.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上?
请说明理由;
(3)延长BA交抛物线于点E,连接ED,试说明ED∥AC的理由.
【解答】方法一:
解:
(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式,得=a×22﹣2a﹣a,
解得a=,
∴抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣.
(2)连接CD,过点B作BF⊥x轴于点F,则∠BCF+∠CBF=90°
∵∠ACB=90°,
∴∠ACO+∠BCF=90°,
∴∠ACO=∠CBF,
∵∠AOC=∠CFB=90°,
∴△AOC∽△CFB,
∴=,
设OC=m,则CF=2﹣m,则有=,
解得m1=m2=1,
∴OC=CF=1,
当x=0时,y=﹣,
∴OD=,
∴BF=OD,
∵∠DOC=∠BFC=90°,
∴△OCD≌△FCB,
∴DC=CB,∠OCD=∠FCB,
∴点B、C、D在同一直线上,
∴点B与点D关于直线AC对称,
∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上.
(3)过点E作EG⊥y轴于点G,设直线AB的表达式为y=kx+b,则,
解得k=﹣,
∴y=﹣x+,代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣.
解得x=2或x=﹣2,
当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×(﹣2)+=,
∴点E的坐标为(﹣2,),
∵tan∠EDG===,
∴∠EDG=30°
∵tan∠OAC===,
∴∠OAC=30°,
∴∠OAC=∠EDG,
∴ED∥AC.
方法二:
(1)略.
(2)设C点坐标为(t,0),B点关于直线AC的对称点为B′,
∵∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,
∴KAC×KBC=﹣1,
∵OA=,∴A(0,),B(2,),C(t,0),
∴=﹣1,
∴t(t﹣2)=﹣1,
∴t=1,C(1,0),
∴,,
∴B′x=0,B′Y=﹣,
∴B关于直线AC的对称点即为点D.
(3)∵A(0,),B(2,),
∴,
解得:
x1=2(舍),x2=﹣2,
∴E(﹣2,),D(0,﹣),A(0,),C(1,0),
∴KED=,KAC=,
∴KED=KAC,
∴ED∥AC.
26.(2016•北京)在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,若P,Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”,如图为点P,Q的“相关矩形”示意图.
(1)已知点A的坐标为(1,0),
①若点B的坐标为(3,1),求点A,B的“相关矩形”的面积;
②点C在直线x=3上,若点A,C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;
(2)⊙O的半径为,点M的坐标为(m,3),若在⊙O上存在一点N,使得点M,N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围.
【解答】解:
(1)①∵A(1,0),B(3,1)
由定义可知:
点A,B的“相关矩形”的底与高分别为2和1,
∴点A,B的“相关矩形”的面积为2×1=2;
②由定义可知:
AC是点A,C的“相关矩形”的对角线,
又∵点A,C的“相关矩形”为正方形
∴直线AC与x轴的夹角为45°,
设直线AC的解析为:
y=x+m或y=﹣x+n
把(1,0)分别y=x+m,
∴m=﹣1,
∴直线AC的解析为:
y=x﹣1,
把(1,0)代入y=﹣x+n,
∴n=1,
∴y=﹣x+1,
综上所述,若点A,C的“相关矩形”为正方形,直线AC的表达式为y=x﹣1或y=﹣x+1;
(2)设直线MN的解析式为y=kx+b,
∵点M,N的“相关矩形”为正方形,
∴由定义可知:
直线MN与x轴的夹角为45°,
∴k=±1,
∵点N在⊙O上,
∴当直线MN与⊙O有交点时,点M,N的“相关矩形”为正方形,
当k=1时,
作⊙O的切线AD和BC,且与直线MN平行,
其中A、C为⊙O的切点,直线AD与y轴交于点D,直线BC与y轴交于点B,
连接OA,OC,
把M(m,3)代入y=x+b,
∴b=3﹣m,
∴直线MN的解析式为:
y=x+3﹣m
∵∠ADO=45°,∠OAD=90°,
∴OD=OA=2,
∴D(0,2)
同理可得:
B(0,﹣2),
∴令x=0代入y=x+3﹣m,
∴y=3﹣m,
∴﹣2≤3﹣m≤2,
∴1≤m≤5,
当k=﹣1时,把M(
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