中考二次函数压轴题解题通法(2018.4).doc
- 文档编号:4580436
- 上传时间:2023-05-07
- 格式:DOC
- 页数:27
- 大小:756.50KB
中考二次函数压轴题解题通法(2018.4).doc
《中考二次函数压轴题解题通法(2018.4).doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考二次函数压轴题解题通法(2018.4).doc(27页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
中考二次函数压轴题———解题通法研究
几个自定义概念:
① 三角形基本模型:
有一边在X轴或Y上,或有一边平行于X轴或Y轴的三角形称为三角形基本模型。
② 动点(或不确定点)坐标“一母示”:
借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式,用一个字母把该点坐标表示出来,简称“设横表纵”。
如:
动点P在y=2x+1上,就可设P(t,2t+1).若动点P在y=,则可设为P(t,)当然若动点M在X轴上,则设为(t,0).若动点M在Y轴上,设为(0,t).
③ 动三角形:
至少有一边的长度是不确定的,是运动变化的。
或至少有一个顶点是运动,变化的三角形称为动三角形。
④ 动线段:
其长度是运动,变化,不确定的线段称为动线段。
⑤ 定三角形:
三边的长度固定,或三个顶点固定的三角形称为定三角形。
⑥ 定直线:
其函数关系式是确定的,不含参数的直线称为定直线。
如:
y=3x-6。
⑦ X标,Y标:
为了记忆和阐述某些问题的方便,我们把横坐标称为x标,纵坐标称为y标。
⑧ 直接动点:
相关平面图形(如三角形,四边形,梯形等)上的动点称为直接动点,与之共线的问题中的点叫间接动点。
动点坐标“一母示”是针对直接动点坐标而言的。
1.求证“两线段相等”的问题:
借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来;
然后看两线段的长度是什么距离(即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x轴(y轴)的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等。
2、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题:
由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t),借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y轴的线段长度计算公式,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。
3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题:
先用点斜式(或称K点法)求出过已知点,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可。
4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题:
(方法1)先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式(注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率(k)相等),再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y消掉,得到一个关于x的的一元二次方程,由题有△=-4ac=0(因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以-4ac=0)从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x、y的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离。
(方法2)该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离。
(方法3)先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。
5.常数问题:
(1)点到直线的距离中的常数问题:
“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题:
先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
(2)三角形面积中的常数问题:
“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题:
先求出定线段的长度,再表示出动点(其坐标需用一个字母表示)到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
(3)几条线段的齐次幂的商为常数的问题:
用K点法设出直线方程,求出与抛物线(或其它直线)的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可。
6.“在定直线(常为抛物线的对称轴,或x轴或y轴或其它的定直线)上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题:
先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出(利用求交点坐标的方法)。
7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题:
① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题(简称“一边固定两边动的问题):
由于有两个定点,所以该三角形有一定边(其长度可利用两点间距离公式计算),只需另两边的和最小即可。
② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题(简称“三边均动的问题):
在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解。
8.三角形面积的最大值问题:
① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题(简称“一边固定两边动的问题”):
(方法1)先利用两点间的距离公式求出定线段的长度;然后再利用上面3的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。
最后利用三角形的面积公式底·高。
即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点。
(方法2)过动点向y轴作平行线找到与定线段(或所在直线)的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值。
② “三边均动的动三角形面积最大”的问题(简称“三边均动”的问题):
先把动三角形分割成两个基本模型的三角形(有一边在x轴或y轴上的三角形,或者有一边平行于x轴或y轴的三角形,称为基本模型的三角形)面积之差,设出动点在x轴或y轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似(常为图中最大的那一个三角形)。
利用相似三角形的性质(对应边的比等于对应高的比)可表示出分割后的一个三角形的高。
从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了。
9.“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”:
由于该四边形有三个定点,从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形(连结两个定点,即可得到一个定三角形)的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。
10、“定四边形面积的求解”问题:
有两种常见解决的方案:
方案
(一):
连接一条对角线,分成两个三角形面积之和;
方案
(二):
过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点,向x轴(或y轴)作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形(常为直角梯形)和一些三角形的面积之和(或差),或几个基本模型的三角形面积的和(差)
11.“两个三角形相似”的问题:
两个定三角形是否相似:
(1)已知有一个角相等的情形:
运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例?
若成比例,则相似;否则不相似。
(2)不知道是否有一个角相等的情形:
运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例?
若成比例,则相似;否则不相似。
一个定三角形和动三角形相似:
(1)已知有一个角相等的情形:
先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来(一母示),然后把两个目标三角形(题中要相似的那两个三角形)中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例(要注意是否有两种情况),列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点。
(2)不知道是否有一个角相等的情形:
这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例?
若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在。
简称“找特角,求(动)点标,再验证”。
或称为“一找角,二求标,三验证”。
12.、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题:
首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。
(若某边底,则只有一种情况;若某边为腰,有两种情况;若只说该三点构成等腰三角形,则有三种情况)。
先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标(一母示),按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程。
解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点(就是不能构成三角形这个题意)。
13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题:
这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标(若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标),任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线(显然最多有3条),此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可。
进一步有:
① 若是否存在这样的动点构成矩形呢?
先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否?
若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在。
② 若是否存在这样的动点构成棱形呢?
先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否?
若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在。
③ 若是否存在这样的动点构成正方形呢?
先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等?
和两条对角线是否相等?
若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在。
14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题:
(此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形。
)
先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示(如果图形是动图形就只能表示出其面积)或计算(如果图形是定图形就计算出它的具体面积),然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可。
(注意去掉不合题意的点),如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可。
15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题:
若夹直角的两边与y轴都不平行:
先设出动点坐标(一母示),视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线(没有与y轴平行的直线)垂直的斜率结论(两直线的斜率相乘等于-1),得到一个方程,解之即可。
若夹直角的两边中有一边与y轴平行,此时不能使用斜率公式。
补救措施是:
过余下的那一个点(没在平行于y轴的那条直线上的点)直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定。
16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题。
① 若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式(如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程),利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否?
若等,该交点合题,反之不合题,舍去。
② 若动点为直角顶点:
先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1?
若为-1,则就说明所求交点合题;反之,舍去。
17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题:
题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。
18.“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形(常为动三角形或动四边形)的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题:
(此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形。
)
先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形(有一边在x轴或y轴上,或者有一边平行于x轴或y轴)面积的和或差,设出相关点的坐标(一母示),按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可。
一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点(动点)标,图形转化(分割),列出面积方程”。
19.“在相关函数解析式不确定(系数中还含有某一个参数字母)的情况下,题中又含有动图形(常为动三角形或动四边形)的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题:
此为“双动问题”(即动解析式和动图形相结合的问题)。
如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割(转化或分割后的图形须为基本模型),设出动点坐标(一母示),利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程(或方程组)。
解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标(注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉)。
再注意图中另一个点与该点的位置关系(或其它关系,方法是常由已知或利用
(2)问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可。
如果动图形是基本模型,就无须分割(或转化)了,直接先设出动点坐标(一母式),然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同。
一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化(分割),设点标,建方程,再代入,得结论”。
常用公式或结论:
(1)横线段的长=横标之差的绝对值==
纵线段的长=纵标之差的绝对值==
(2)点轴距离:
点P(,)到X轴的距离为,到Y轴的距离为。
(3)两点间的距离公式:
若A(),B(),则AB=
(4)点到直线的距离:
点P()到直线Ax+By+C=0(其中常数A,B,C最好化为整系数,也方便计算)的距离为:
或
(5)中点坐标公式:
若A(),B(),则线段AB的中点坐标为()
(6)直线的斜率公式:
若A(),B(),则直线AB的斜率为:
(7)两直线平行的结论:
已知直线
① 若
② 若
(8)两直线垂直的结论:
已知直线
① 若
② 若
(9)由特殊数据得到或猜想的结论:
① 已知点的坐标或线段的长度中若含有等敏感数字信息,那很可能有特殊角出现。
② 在抛物线的解析式求出后,要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状,若有特殊角出现,那很多问题就好解决。
③ 还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率K的值,若,则直线与X轴的夹角为;若;则直线与X轴的夹角为;若,则直线与X轴的夹角为。
这对计算线段长度或或点的坐标或三角形相似等问题创造条件。
二次函数基本公式训练:
_______________破解函数难题的基石
(1)横线段的长度计算:
【特点:
两端点的y标相等,长度=】。
① 若A(2,0),B(10,0),则AB=————。
② 若A(-2,0),B(-4,0),则AB=————。
③ 若M(-3,0),N(10,0),则MN=—————。
④ 若O(0,0),A(6,0),则OA=——————。
⑤ 若O(0,0),A(-4,0),则OA=——————。
⑥ 若O(0,0),A(t,0),且A在O的右端,则OA=——。
⑦ 若O(0,0),A(t,0),且A在O的右端,则OA=——。
⑧ 若A(-2t,6),B(3t,6),且A在B的右端,则AB=——。
⑨ 若A(4t,m),B(1-2t,m),且B在A的左端,则AB=——————。
⑩ 若P(2m+3,a),M(1-m,a),且P在B的右端,则PM=——————。
注意:
横线段上任意两点的y标是相等的,反之y标相等的任意两个点都在横线段上。
(2)纵线段的长度计算:
【特点:
两端点的x标相等,长度=】。
① (若A(0,5),B(0,7),则AB=——————。
② 若A(0,-4),B(0,-8),,则AB=——————。
③ 若A(0,2),B(0,-6),则AB=——————。
④ 若A(0,0),B(0,-9),则AB=——————。
⑤ 若A(0,0),B(0,-6),则AB=——————。
⑥ 若O(0,0),A(0,t),且A在O的上端,则OA=——。
⑦ 若O(0,0),A(0,t),且A在O的下端,则OA=——。
⑧ 若A(6,-4t),B(6,3t),且A在B的上端,则AB=——————。
⑨ 若M(m,1-2t),N(m,3-4t),且M在N的下端,则MN=——。
⑩ 若P(t,3n+2),M(t,1-2n),且P在M的上端,则PM=——。
注意:
纵线段上任意两点的x标是相等的,反之x标相等的任意两个点都在纵线段上。
(3)点轴距离:
一个点到x轴的的距离等于该点的y标的绝对值(即),到y轴的距离等于该点的x标的绝对值(即)。
① 点(-4,-3)到x轴的距离为————,到y轴的距离为————。
② 若点A(1-2t,)在第一象限,则点A到x轴的距离为————,到y轴的距离为__________。
③ 若点M(t,)在第二象限,则点M到x轴的距离为——,到y轴的距离为——————。
④ 若点A(-t,2t-1)在第三象限,则点A到x轴的距离为——————,到y轴的距离为—————。
⑤ 若点N(t,)点在第四象限,则点N到x轴的距离为———,到y轴的距离为———。
⑥ 若点P(t,)在x轴上方,则点P到x轴的距离为——————。
⑦ 若点Q(t,)在x轴下方,则点Q到x轴的距离为————————。
⑧ 若点D(t,)在y轴左侧,则点Q到y轴的距离为————————。
⑨ 若点E(n,2n+6)在y轴的右侧,则点E到y轴的距离为————————。
⑩ 若动点P(t,)在x轴上方,且在y轴的左侧,则点P到x轴的距离为——————,到y轴的距离为————————。
⑪ 若动点P(t,)在x轴上方,且在y轴的右侧,则点P到x轴的距离为——————,到y轴的距离为——————。
⑫ 若动点P(t,)在x轴下方,且在y轴的左侧,则点P到x轴的距离为——————,到y轴的距离为————————。
⑬ 若动点P(t,)在x轴下方,且在y轴的右侧,则点P到x轴的距离为——————,到y轴的距离为————————。
注意:
在涉及抛物线,直线,双曲线等上的动点问题中,在动点坐标“一母示”后,还要高度关注动点运动变化的区域(例如:
动点P在抛物线y=上位于x轴下方,y轴右侧的图象上运动),以便准确写出动点坐标中参数字母的取值范围,以及点轴距离是等于相应的相反数,还是其本身。
(4)中点坐标的计算:
若【A(),B(),则线段AB的中点坐标为()】
① 若A(-4,3),B(6,7),则AB中点为——————。
② 若M(0,-6),N(6,-4),则MN的中点坐标为————————。
③ 若P(),Q(),则PQ的中点坐标为————————。
④ 若A(1,2),B(-3,4),且B为AM的中点,则M点的坐标为——————。
⑤ 若A(-1,3),B(0,2),且A为BP中点,则P点坐标为——————————。
⑥ 点P(-5,0)关于直线x=2的对称点的坐标为————————。
⑦ 点P(6,0)关于直线x=1的对称点的坐标为__.
⑧ 点P(6,2)关于直线x=3的对称点的坐标为___________。
⑨ 点Q(-4,3)关于直线x=-3的对称点的坐标为——————。
⑩ 点M(-4,-2)关于直线x=2的对称点的坐标为——————。
⑪ 点P(4,-3)关于直线x=-1的对称点的坐标为——————。
⑫ 点M(-4,2)关于直线y=-1的对称点的坐标为————————。
⑬ 点T(4,-3)关于直线y=1的对称点的坐标为————————。
⑭ 点Q(0,-3)关于x轴的对称点的坐标为——————————。
⑮ 点N(4,0)关于y轴的对称点的坐标为————。
(5)由两直线平行或垂直,求直线解析式。
【两直线平行,则两个k值相等;两直线垂直,则两个k值之积为-1.】
① 某直线与直线y=2x+3平行,且过点(1,-1),求此直线的解析式。
② 某直线与直线y=x+1平行,且过点(2,3),求此直线的解析式。
③ 某直线与直线y=平行,且过点(-3,0),求此直线的解析式。
④ 某直线与y轴交于点P(0,3),且与直线y=平行,求此直线的解析式。
⑤ 某直线与x轴交于点P(-2,0),且与直线y=平行,求此直线的解析式。
⑥ 某直线与直线y=2x-1垂直,且过点(2,1),求此直线的解析式。
⑦ 某直线与直线y=-3x+2垂直,且过点(3,2),求此直线的解析式。
⑧ 某直线与直线y=垂直,且过点(2,-1),求此直线的解析式。
⑨ 某直线与直线y=垂直,且过点(1,-2),求此直线的解析式。
⑩ 某直线与x轴交于点P(-4,0),且与直线y=垂直,求此直线的解析式。
(6)两点间的距离公式:
则AB=
① 若A(-2,0),B(0,3),则AB=——————。
② 若P(-2,3),Q(1,-1),则PQ=————————。
③ 若M(0,2),N(-2,5),则MN=————————。
④ 若P(),Q(),则PQ=————————。
⑤ 若A(),B(-1,),则AB=——————————。
⑥ 若P(),B(),则PB=————————。
⑦ 若P(),B(),则PB=——————————。
⑧ 若P(),M(),则PM=——————。
⑨ 若A(),B(),则AB=———
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中考 二次 函数 压轴 题解 题通法 2018.4