常州市2001-2012年中考数学试题分类解析专题6:函数的图像与性质.doc
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2001-2012年江苏常州中考数学试题分类解析汇编(12专题)
专题6:
函数的图象与性质
锦元数学工作室编辑
一、选择题
1.(2001江苏常州2分)下列图形中,表示一次函数y=mx+n与正比例y=mnx(m,n是常数,且mn≠0)图象的是【 】
A. B. C. D.
【答案】A。
【考点】一次函数(正比例函数)和系数与的关系。
【分析】根据“两数相乘,同号得正,异号得负”判断出m、n的符号,再根据一次函数的性质进行判断:
①当mn>0,m,n同号,y=mnx的图象经过1,3象限;
同正时y=mx+n的图象过1,3,2象限,同负时过2,4,3象限。
②当mn<0时,m,n异号,y=mnx的图象经过2,4象限;
则y=mx+n的图象过1,3,4象限或2,4,1象限。
结合所给图象,只有选项A符合当mn<0时,m,n异号,y=mnx的图象经过2,4象限,y=mx+n的图象过2,4,1象限。
故选A。
2.(2001江苏常州2分)已知反比例函数y=(k<0)的图象上两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2,则
y1-y2的值是【 】
A.正数 B.负数 C.非正数 D.不能确定
【答案】D。
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。
【分析】∵自变量所在象限不定,∴在x1<x2时,相应函数值的大小也不定。
若x1、x2同号,则y1-y2<0;若x1、x2异号,则y1-y2>0。
故选D。
3.(江苏省常州市2002年2分)若抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上,则c的值是【】
A.9B.3C.-9D.0
【答案】A。
【考点】二次函数的性质。
【分析】当抛物线顶点在x轴上时,顶点纵坐标为0,根据顶点纵坐标公式求解即可:
∵抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上,a=1,b=-6,c=c,
∴顶点纵坐标为0,即,解得c=9。
故选A。
4.(江苏省常州市2002年2分)已知一次函数y=k1+b,y随x的增大而减小,且b>0,反比例函数y=中的k2与k1值相等,则它们在同一坐标系中的图像只可能是【】
ABCD
【答案】C。
【考点】反比例函数和一次函数的性质。
【分析】根据一次函数的性质,y随x的增大而减小,则k1<0,且b>0与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴一次函数图象过一、二、四象限,故A和B错误;又∵反比例函数y=中的k2与k1值相等,k2<0,∴反比例函数图象位于二、四象限。
故选C。
5.(江苏省常州市2003年2分)已知圆柱的侧面积是,若圆柱底面半径为,高为,则关于的函数图象大致是【】
【答案】
【考点】反比例函数的应用。
【分析】根据题意有:
,化简可得,故与之间的函数图象为反比例函数,且根据实际意义与应大于0,其图象在第一象限。
故选B。
6.(江苏省常州市2004年2分)关于函数,下列结论正确的是【】
(A)图象必经过点(﹣2,1)(B)图象经过第一、二、三象限
(C)当时,(D)随的增大而增大
【答案】C。
【考点】一次函数的性质。
【分析】将四个选项分别验证即可得出结论:
A、将(-2,1)代入中得左边=1,右边=-2×(-2)+1=5≠左边,选项错误;
B、根据正比例函数的性质,时,图象经过一、二、四象限,选项错误;
C、直线与轴的交点为(,0),当>时,<0,选项正确;
D、根据一次函数的性质,,随的增大而增减小,选项错误。
故选C。
7.(江苏省常州市2007年2分)若二次函数(为常数)的图象如下,则的值为【】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】由图象可知:
抛物线与y轴的交于原点,∴a2+2=0,解得a=±。
由抛物线的开口向上,得a>0。
∴a=。
故选D。
8.(江苏省常州市2008年2分)若反比例函数的图象在其每个象限内,y随x的增大而减小,
则k的值可以是【 】
A.-1 B.3 C.0 D.-3
【答案】B。
【考点】反比例函数的性质。
【分析】根据题意列出不等式确定k的范围,再找出符合范围的选项:
根据题意k-1>0,则k>1。
故选B。
9.(江苏省常州市2010年2分)函数的图象经过的点是【】
A.(2,1)B.(2,-1)C.(2,4)D.
【答案】A。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】在曲线上的点的坐标一定会使方程(函数关系式)的左右两边相等,反之不在曲线上。
因此,满足的只有(2,1)。
故选A。
10.(江苏省常州市2010年2分)如图,一次函数的图象上有两点A、B,A点的横坐标为
2,B点的横坐标为a(0<a<4且a≠2),过点A、B分别作x轴的垂线,垂足为C、D,△AOC、△BOD
的面积分别为S1、S2,S1与S2的大小关系是【】
A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.无法确定
【答案】A。
【考点】直线上点的坐标与方程的关系,直角三角形面积公式,代数式大小比较。
【分析】代数式比较大小,可以采用求差法,求商法、求倒法等,本题采用求差法,求出S1和S2,求差即可:
∵A点在一次函数的图象上,且它的横坐标为a,∴它的纵坐标为1。
∴S1=×2×1=1。
又∵B点在一次函数的图象上,且它的横坐标为a(0<a<4且a≠2),
∴它的纵坐标为。
∴S2=a(-a+2)=-a2+a。
∴S1-S2=(a-2)2。
∵0<a<4且a≠2,∴S1-S2=(a-2)2>0。
∴S1>S2。
。
故选A。
11.(2011江苏常州2分)已知二次函数,当自变量取时对应的值大于0,当自变量分别取、时对应的函数值为、,则、必须满足【】
A.>0、>0B.<0、<0C.<0、>0D.>0、<0
【答案】B.
【考点】二次函数,不等式。
故选B。
12.(2012江苏常州2分)已知二次函数,当自变量x分别取,3,0时,对应的值分别为,则的大小关系正确的是【】
A.B.C.D.
【答案】B。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】由二次函数知,
它的图象开口向上,对称轴为x=2,如图所示。
根据二次函数的对称性,x=3和x=1时,y值相等。
由于二次函数在对称轴x=2左侧,y随x的增大而减小,而0<1<,因此,。
故选B。
二、填空题
1.(江苏省常州市2002年1分)写出一个反比例函数的解析式,使它的图像不经过第一、第三象限:
▲.
【答案】(答案不唯一)。
【考点】反比例函数的性质。
【分析】根据反比例函数的性质:
当时,图象分别位于第一、三象限;当时,图象分别位于第二、四象限:
∵反比例函数的图像不经过第一、第三象限,∴反比例函数的系数即可,如。
2.(江苏省常州市2006年2分)已知反比例函数的图像经过点(1,),则这个函数的
表达式是▲。
当时,的值随自变量值的增大而▲(填“增大”或“减小”)
【答案】;增大。
【考点】待定系数法求反比例函数解析式,反比例函数的性质。
【分析】根据题意,利用待定系数法解出系数则可。
再根据值的正负确定函数的增减性:
∵反比例函数的图像经过点(1,-2),∴。
∴这个函数的表达式是。
又∵,当时,的值随自变量值的增大而增大。
3.(江苏省常州市2007年2分)已知一次函数的图象经过点A(0,-2),B(1,0),则
▲,▲.
【答案】-2;2。
【考点】直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】将A(0,-2),B(1,0)代入,得
,解得。
4.(江苏省常州市2007年2分)二次函数的部分对应值如下表:
…
…
…
…
二次函数图象的对称轴为▲,对应的函数值▲.
【答案】1;-8。
【考点】二次函数的图象和性质。
【分析】由表格的数据可以看出,x=-3和x=5时y的值相同都是7,
∴可以判断出,点(-3,7)和点(5,7)关于二次函数的对称轴对称,
∴对称轴为。
又∵x=2的点关于对称轴x=1对称的点为x=0,而x=0时,y=-8,
∴x=2时,y=-8。
5.(江苏省常州市2008年2分)过反比例函数的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段,
如果垂线段与x、y轴所围成的矩形面积是6,那么该函数的表达式是▲,若点A(-3,m)在这个反比例函数的图象上,则m=▲.
【答案】;-2。
【考点】反比例函数系数k的几何意义。
【分析】利用矩形面积S=|k|和k>0可确定出k的值,从而求得函数的解析式。
再将点A的坐标代入求得m的值即可:
过图象上的点(x,y)的垂线段与x、y轴所所作构成的矩形面积是6可知:
|k|=6。
又∵k>0,图象在第一、三象限内,∴反比例函数的系数k=6。
∴函数的表达式是。
又∵点A(-3,m)在这个反比例函数的图象上,∴。
6.(江苏省常州市2008年2分)已知函数的部分图象如图所示,则c=▲,当
x▲时,y随x的增大而减小.
【答案】3;>1。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】根据函数图象与x轴的交点,可求出c的值,根据图象可判断函数的增减性
∵二次函数的图象过点(3,0),∴-9+6+c=0,解得c=3。
由图象可知:
x>1时,y随x的增大而减小。
7.(江苏省2009年3分)反比例函数的图象在第▲象限.
【答案】二、四。
【考点】反比例函数的性质。
【分析】根据反比例函数的性质:
当时,图象分别位于第一、三象限;当时,图象分别位于第二、四象限:
∵反比例函数的系数,∴图象两个分支分别位于第二、四象限。
10.(2012江苏常州2分)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,0),⊙P是以点P为圆心,2为半径的圆。
若一次函数的图象过点A(-1,0)且与⊙P相切,则的值为▲。
【答案】或。
【考点】一次函数综合题,直线与圆相切的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,一次函数的性质。
【分析】如图,设一次函数与y轴交于点C,与⊙P相切于点P。
则OA=1,OC=∣b∣,OP=3,BP=2,AP=4。
∴。
由△AOC∽△ABP,得,即,
解得。
∴。
由图和一次函数的性质可知,k,b同号,
∴或。
11.(2012江苏常州2分)如图,已知反比例函数和。
点A在y轴的正半轴上,过点A作直线BC∥x轴,且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C,连接OC、OB。
若△BOC的面积为,AC:
AB=2:
3,则=▲,=▲。
【答案】2,-3。
【考点】反比例函数综合题,反比例函数的性质,曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】设点A(0,a)(∵点A在y轴的正半轴上,∴a>0),则点B(),点C()。
∴OA=a,AB=(∵),AC=(∵),AB=。
∵△BOC的面积为,∴,即①。
又∵AC:
AB=2:
3,∴,即②。
联立①②,解得=2,=-3。
三、解答题
1.(2001江苏常州6分)已知二次函数的图象如图所示:
(1)这个二次函数的解析式是y=_____________________;
(2)当x=____________时,y=3;
(3)根据图象回答:
当x_______________时,y>0。
【答案】解:
(1)。
(2)3或-1。
(3)x<0或x>2。
【考点】二次函数的图象,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】
(1)由图知顶点为(1,-1),那么可设顶点式,再把(0,0)代入求a得
0=a-1,即a=1。
∴这个二次函数的解析式为。
(2)把y=3代入抛物线解析式即可。
当y=3时,=3,解得x=3或x=-1。
(3)函数值大于0,指x轴上方的函数图象所对应的x的取值:
由图可知,抛物线与x轴两交点为(0,0),(2,0),开口向上。
所以当x<0或x>2时,y>0。
2.(江苏省常州市2002年6分)已知抛物线的图象过原点,且开口向上,
(1)求m的值,并写出函数解析式;
(2)写出函数图象的顶点坐标及对称轴
【答案】解:
(1)∵抛物线的图象过原点,且开口向上,
∴,且,解得m=±2。
而m>1,∴m=2。
∴函数解析式为。
(2)∵,
∴顶点坐标为(-1,-1),对称轴为x=-1。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质。
【分析】
(1)直接根据抛物线的性质可知,0,解之即可得到m=2,即。
(2)由直接可写出顶点坐标及对称轴。
3.(江苏省常州市2002年6分)阅读函数图像,并根据你所获得的信息回答问题:
(1)折线OAB表示某个实际总是的函数图象,请你编写一道符合该图象意义的应用题;
(2)根据你给出的应用题分别指出x轴,y轴所表示的意义,并写出A,B两点的坐标;
(3)求出图象AB的函数解析式,并注明自变量x的取值范围。
【答案】解:
(1)张老师从家出发,乘车去学校,汽车的速度是每小时25千米,经过2小时到达,到校后因家中有事,立即骑车返回,5小时到家。
(2)x轴表示时间,单位为时,y轴表示离家的路程,单位是千米,则A(2,50),B(7,0)。
(3)设过A,B的解析式为y=kx+b,则
,解得。
∴图象AB的函数解析式为y=-10x+70(2≤x≤7)。
【考点】一次函数的应用,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】应选取常见的量,比如横轴表示时间,纵轴表示离家的路程,这段函数大致可理解为到一个地方去,到后立即返回到家(答案不唯一)。
4.(江苏省常州市2002年8分)图1是棱长为a的小正方体,图2,图3由这样的小正方体摆放而成,按照这样的方法继续摆放,自上而下分别叫第一层,第二层,。
。
。
。
。
。
第n层,第n层的小正方体的个数记为s,
解答下列问题:
(1)按照要求填表:
n
1
2
3
4
……
s
1
3
6
…
(2)写出当n=10时,s=______________.
(1)据上表中的数据,把s作为纵坐标,n作为横坐标,n作为横坐标,在平面直角坐标系中描出相应
的各点。
(2)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗?
如果在某一函数的图象上,求出该函数的解析式。
【答案】解:
(1)由题意得,
n
1
2
3
4
……
s
1
3
6
10
…
(2)55.
(3)描点如下:
(4)猜想各点在二次函数的图象上。
设函数的解析式为,
由题意得,解之得。
∴函数的解析式为。
【考点】二次函数的应用,分类归纳(图形变化)。
待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】
(1)找规律:
s=1+2+3+…+n=n(n+1),∴当n=4时,s=10。
(2)当n=10时,s=×10×(10+1)=55。
(3)描点。
(4)由
(1)s=n(n+1)可得猜想,用待定系数法求之。
5.(江苏省常州市2003年6分)已知二次函数的图象经过点(2,0)、(-1,6)。
(1)求二次函数的解析式;
(2)画出它的图象;
(3)不用列表,在下图中画出函数图象,观察图象写出y>0时,x的取值范围。
【答案】解:
(1)∵的图象经过点(2,0)、(-1,6),
∴,解得。
∴二次函数的解析式为。
(2)作图如下:
(3)由图可知:
当y>0时,x>2或x<0。
【考点】待定系数法求二次函数解析式,二次函数的图象和性质。
【分析】
(1)将已知的两点坐标代入抛物线的解析式中,即可求得待定系数的值,求出二次函数的解析式。
(2)可根据
(1)的抛物线解析式作图。
(3)根据函数的图象得出y>0时,x的取值范围。
6.(江苏省常州市2003年10分)设一次函数的图象为直线,与x轴、y轴分别交于点A、B。
(1)求tan∠BAO的值;
(2)直线过点(-3,0),若直线、与x轴围成的三角形和直线、与y轴围成的三角形相似,求直线的解析式。
【答案】解:
(1)在一次函数中,令x=0,解得y=2;令y=0,解得x=-4。
∴A,B的坐标是(-4,0),(0,2)。
∴OA=4,OB=2。
∴。
(2)设直线与相交于点M,与x轴相交于点P(-3,0),与y轴相交于点N,则直线、与x轴围成的三角形为△APM,直线、与y轴围成的三角形为△NBM。
分三种情况讨论:
①当点N在y轴负半轴上,如图1,
当只有当∠AMP=∠NMB=900时,△APM∽△NBM。
此时,△AOB∽△NOP,得,
∵OP=3,OB=2,OA=4,∴ON=6。
∴N(0,-6)。
设直线的解析式为,则,
解得。
∴直线的解析式为。
②当点N在y轴正半轴上,且在OB的延长线上,如图2,
当只有当∠MAP=∠MNB时,△APM∽△NBM。
此时,△AOB∽△NOP,得,
∵OP=3,OB=2,OA=4,∴ON=6。
∴N(0,6)。
设直线的解析式为,则,
解得。
∴直线的解析式为。
②当点N在y轴正半轴上,且在OB上,如图3,
∵∠AMP=∠BMN,
但∠BNM=∠PNO>∠NPO(∵ON<OP<OA)
<∠PAM,
∠BNM=∠PNO<∠APM,
∴此时,△APM∽△NBM不成立。
综上所述,直线、与x轴围成的三角形和直线、与y轴围成的三角形相似时,直线的解析式为或。
【考点】一次函数综合题,直线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义,相似三角形的判定和性质,三角形边角关系,三角形外角性质。
【分析】
(1)在一次函数中,求出函数与坐标轴的交点坐标,就可以求出OA,OB的长,就可以求出三角函数值。
(2)分点N在y轴负半轴上;点N在y轴正半轴上,且在OB上;点N在y轴正半轴上,且在OB上三种情况分别讨论即可。
7.(江苏省常州市2004年6分)已知一个二次函数的图象经过点(0,0),(1,﹣3),(2,﹣8)。
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)写出它的对称轴和顶点坐标。
8.(江苏省常州市2004年5分)在某一电路中,电源电压U保持不变,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数图象如下图所示:
(1)I与R的函数关系式为:
;
(2)结合图象回答:
当电路中的电流不得超过12A时,电路中电阻R的取值范围是。
【答案】解:
(1)。
(2)R≥3。
【考点】跨学科问题,反比例函数的应用。
【分析】
(1)根据图象可知I与R之间的关系,然后列出函数关系式,U保持不变,再把图象所经过的点A(6,6)代入函数式,求出U的值等于36,即得I与R的函数关系式为。
(2)当I=12时,R=3,所以求出R的取值范围是R≥3。
9.(江苏省常州市2005年8分)有一个Rt△ABC,∠A=900,∠B=600,AB=1,将它放在直角坐标系中,使斜边BC在x轴上,直角顶点A在反比例函数的图象上,求点C的坐标.
【答案】解:
本题共有4种情况:
(1)如图①,过点A做AD⊥BC于D,
在Rt△ABC中,∠A=900,∠B=600,AB=1,
∴。
在Rt△ABC中,∠ADB=900,∠B=600,AB=1,
∴AD=ABsin60°=,BD=ABcos60°=。
∴点A的纵坐标为。
将其代入,得x=2,即OD=2。
∴OC=OB+BC=(OD-BD)+BC=(2-)+2=。
∴点C1的坐标为()。
(2)如图②,过点A作AE⊥BC于E,
同上,可得AE=,OE=2,CE=,OC=。
∴点C2的坐标为(,0)。
根据双曲线的对称性,得点C3的坐标为(),点C4的坐标为()。
综上所述,点C的坐标分别为:
()、(,0)、()、()。
【考点】反比例函数综合题,反比例函数的性质,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】根据反比例函数的性质,分四种情况解直角三角形即可。
10.(江苏省常州市2006年8分)在平面直角坐标系中,已知二次函数的图像与轴相交于点A、B,顶点为C,点D在这个二次函数图像的对称轴上,若四边形ABCD时一个边长为2且有一个内角为60°的菱形,求此二次函数的表达式。
【答案】解:
本题共有4种情况:
设二次函数的图像得对称轴与轴相交于点E,
(1)如图①,当抛物线开口向上,∠CAD=600时,
∵四边形ABCD是菱形,一边长为2,∴DE=1,BE=。
∴点B的坐标为(,0),点C的坐标为(1,-1),
∵点B、C在二次函数的图像上,
∴,解得。
∴此二次函数的表达式。
(2)如图②,当抛物线开口向上,∠ACB=600时,
由菱形性质知点A的坐标为(0,0),点C的坐标为(1,),
解得
∴此二次函数的表达式为。
同理可得:
抛物线开口向下时,此二次函数的表达式为
。
综上所述,符合条件的二次函数的表达式有:
,,
。
【考点】二次函数综合题,二次函数的性质,菱形的性质,解直角三角形。
【分析】根据题意,画出图形,可得以下四种情况:
(1)以菱形长对角线两顶点作为A、B,且抛物线开口向上;
(2)以菱形长对角线两顶点作为A、B,且抛物线开口向下;
(3)以菱形短对角线两顶点作为A、B,且抛物线开口向上;
(4)以菱形短对角线两顶点作为A、B,且抛物线开口向下。
利用四边形ACBD一个边长为2且有一个内角为60°的条件,根据解直角三角形的相关知识解答。
11.(江苏省常州市2007年10分)已知A与B是反比例函数图象上的两个点.
(1)求的值;
(2)若点C,则在反比例函数图象上是否存在点D,使得以A,B,C,D四点为顶点的四边形为梯形?
若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】解:
(1)∵A与B是反比例函数图象上的两个点,
∴,解得。
∴。
(2)如图1,作BE⊥x轴,E为垂足,
∵B(2,),C(-1,0),
∴CE=3,BE=,BC=。
∴∠BCE=30°,
由于点C与点A的横坐标
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