宁波市2013年中考数学卷(含详细答案解析).doc
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宁波市2013年中考数学卷
一、选择题(每小题3分,满分36分,每小题给出的四个选项中,只有一项符号题目要求)
1.-5的绝对值为()
A.-5B.5C.D.
2.下列计算正确的是()
A.B.C.D.
3.下列电视台的台标,是中心对称图形的是()
A.B.C.D.
4.在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球,它们除颜色不同外,其余均相同,从中随机摸出一个球,摸到红球的概率是()
A.B.C.D.
5.备受宁波市民关注的象山港跨海大桥在2012年12月29日建成通车,此项目总投资约77亿元,77亿元用科学计数法表示为()
A.元B.元C.元D.元
6.一个多边形的每个外角都等于72°,则这个多边形的边数为()
A.5B.6C.7D.8
7.两个圆的半径分别为2和3,当圆心距d=5时,这两个圆的位置关系是()
A.内含B.内切C.相交D.外切
8.如果三角形的两条边分别为4和6,那么连接该三角形三边中点所得三角形的周长可能是()
A.6B.8C.10D.12
9.下列四张正方形硬纸片,剪去阴影部分后,如果沿虚线折叠,可以围成一个封闭的长方体包装盒的是()
A.B.C.D.
10.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,对称轴为直线x=1,图象经过(3,0),下列结论中,正确的一项是()
A.abc<0B.2a+b<0C.a-b+c<0D.4ac-b2<0
11.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=,BC=4,连接BD,∠BAD的平分线交BD于点E,且AE∥CD,则AD的长为()
A.B.C.D.2
12.7张如图1的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示,设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足()
A.B.a=3bC.D.a=4b
二、填空题(每小题3分,满分18分)
13.实数-8的立方根是
14.因式分解:
x2-4=
15.已知一个函数的图象与y=的图象关于y轴对称,则该函数的解析式为
16.数据-2,-1,0,3,5的方差是
17.如图,AE是半圆O的直径,弦AB=BC=,弦CD=DE=4,连接OB,OD,则图中两个阴影部分的面积和为
18.如图,等腰直角三角形ABC顶点A,C在x轴上,∠BCA=90°,AC=BC=,反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D,E.当△BDE∽△BCA时,点E的坐标为
三、解答题(本大题有8小题,共76分)
19.(本题6分)先化简,再求值:
(1+a)(1-a)+(a-2)2,其中a=-3
20.(本题7分)解方程:
21.(本题7分)天封塔历史悠久,是宁波著名的文化古迹,如图,从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A,B的俯角分别为45°和60°,若此观测点离地面的高度CD为51米,A,B两点在CD的两侧,且点A,D,B在同一水平直线上,求A,B之间的距离(结果保留根号)
22.(本题9分)2013年5月7日浙江省11个城市的空气质量指数(AQI)如下图所示:
(1)这11个城市当天的空气质量指数的极差、众数和中位数分别是多少?
(2)当0≤AQI≤50时,空气质量为优,求这11个城市当天的空气质量为优的频率;
(3)求宁波、嘉兴、舟山、绍兴、台州五个城市当天的空气质量的平均数.
23.(本题9分)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0)且过点C(0,-3)
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标
(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线的解析式.
24.(本题12分)某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机,这两种手机的进价和售价如下表所示:
甲
乙
进价(元/部)
4000
2500
售价(元/部)
4300
3000
该商场计划购进两种手机若干部,共需15.5万元,预计全部销售后获毛利润共2.1万元(毛利润=(售价-进价)×销售量)
(1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部?
(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少甲种手机的购进数量,增加乙种手机的购进数量,已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍,而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元,该商场怎样进货,使全部销售后获得的毛利润最大?
并求出最大毛利润.
25.(本题12分)若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形.
(1)如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD平分∠ABC,求证:
BD是梯形ABCD的和谐线;
(2)如图2,在12×16的网格图上(每个小正方形的边长为1)有一个扇形BAC,点A,B,C均在格点上,请在答题卷给出的两个网格图上各找出一个点D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线,并画出相应的和谐四边形;
(3)四边形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四边形ABCD的和谐线,求∠BCD的度数
26.(本题14分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(-4,0),点P在射线AB上运动,连接CP与y轴交于点D,连接BD,过P,D,B三点作⊙Q,与y轴的另一个交点为E,延长DQ交⊙Q于点F,连接EF,BF
(1)求直线AB的函数解析式;
(2)当点P在线段AB(不包括A,B两点)上时,
①求证:
∠BDE=∠ADP;
②设DE=x,DF=y,请求出y关于x的函数解析式;
(3)请你探究:
点P在运动过程中,是否存在以B,D,F为顶点的直角三角形,满足两条直角边之比为2:
1?
如果存在,求出此时点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
参考答案
1.【考点】绝对值.
【分析】数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.
【解答】B
【点评】一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
2.【考点】幂的乘方与积的乘方;合并同类项.
【分析】a2+a2=2a2,2a-a=a,(a2)3=a6.
【解答】C
3.【考点】中心对称图形.
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断.
【解答】D
【点评】判断中心对称图形就是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
4.【考点】概率公式.
【分析】根据题意可得:
一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球,共5个,从中随机摸出一个,则摸到红球的概率是=.
【解答】D
【点评】概率的求法,找准两点:
①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.
5.【考点】科学记数法(表示较大的数).
【分析】77亿=7700000000=7.7×109.
【解答】A
【点评】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
6.【考点】多边形内角与外角.
【分析】多边形的边数是360÷72=5.
【解答】A
【点评】任何多边形的外角和都是360度.
7.【考点】圆与圆的位置关系.
【分析】∵两个圆的半径分别为2和3,圆心之间的距离是d=5,又∵2+3=5,∴这两个圆外切.
【解答】D
【点评】掌握两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间.
8.【考点】三角形中位线定理;三角形三边关系.
【分析】设三角形的三边分别是a、b、c,令a=4,b=6,则2<c<10,14<三角形的周长<20,故7<中点三角形周长<10.
【解答】B
9.【考点】展开图折叠成几何体.
【分析】A、剪去阴影部分后,组成无盖的正方体;B、剪去阴影部分后,无法组成长方体;C、剪去阴影部分后,能组成长方体;D、剪去阴影部分后,组成无盖的正方体.
【解答】C
【点评】空间想象能力.
10.【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】根据图示知,抛物线开口方向向上,则a>0.抛物线的对称轴x=-=1>0,则b<0.抛物线与y轴交与负半轴,则c<0,所以abc>0.故选项A错误;
∵x=-=1,∴b=-2a,∴2a+b=0.故选项B错误;
∵对称轴为直线x=1,图象经过(3,0),∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是(-1,0),∴当x=-1时,y=0,即a-b+c=0.故选项C错误;
根据图示知,该抛物线与x轴有两个不同的交点,则△=b2-4ac>0,则4ac-b2<0.故选项D正确.
【解答】D
【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.
11.【考点】梯形;等腰三角形的判定与性质.
【分析】延长AE交BC于F,
∵AE是∠BAD的平分线,∴∠BAF=∠DAF,∵AE∥CD,∴∠DAF=∠AFB,∴∠BAF=∠AFB,∴AB=BF.∵AB=,BC=4,∴CF=4-=.∵AD∥BC,AE∥CD,∴四边形AFCD是平行四边形,∴AD=CF=.
【解答】B
【点评】梯形问题,关键在于准确作出辅助线.
12.【考点】整式的混合运算.
【分析】左上角阴影部分的长为AE,宽为AF=3b,右下角阴影部分的长为PC,宽为a,
∵AD=BC,即AE+ED=AE+a,BC=BP+PC=4b+PC,∴AE+a=4b+PC,即AE-PC=4b-a,∴阴影部分面积之差S=AE•AF-PC•CG=3bAE-aPC=3b(PC+4b-a)-aPC=(3b-a)PC+12b2-3ab,则3b-a=0,即a=3b.
【解答】B
13.【考点】立方根.
【分析】∵(-2)3=-8,∴-8的立方根是-2.
【解答】-2
【点评】如果一个数x的立方等于a,即x的三次方等于a(x3=a),那么这个数x就叫做a的立方根,也叫做三次方根.
14.【考点】因式分解(运用公式法).
【分析】x2-4=(x+2)(x-2).
【解答】(x+2)(x-2)
【点评】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点:
两项平方项,符号相反.
15.【考点】反比例函数的性质.
【分析】关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标互为相反数,∴-y=,即y=-.
【解答】y=-
16.【考点】方差.
【分析】这组数据-2,-1,0,3,5的平均数是(-2-1+0+3+5)÷5=1,则这组数据的方差是[(-2-1)2+(-1-1)2+(0-1)2+(3-1)2+(5-1)2]=.
【解答】
【点评】一般地设n个数据,x1,x2,…xn的平均数为,则方差S2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].
17.【考点】扇形面积的计算;勾股定理;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系.
【分析】∵弦AB=BC,弦CD=DE,∴点B是弧AC的中点,点D是弧CE的中点,∴∠BOD=90°,过点O作OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,
则BF=FG=2,CG=GD=2,∠FOG=45°,在四边形OFCG中,∠FCD=135°,过点C作CN∥OF,交OG于点N,则∠FCN=90°,∠NCG=135°-90°=45°,∴△CNG为等腰三角形,∴CG=NG=2.过点N作NM⊥OF于点M,则MN=FC=2,在等腰三角形MNO中,NO=MN=4,∴OG=ON+NG=6,在Rt△OGD中,OD===2,即圆O的半径为2,故S阴影=S扇形OBD==10π.
【解答】10π
【点评】解答本题的关键是求出圆O的半径.
18.【考点】反比例函数综合题.
【分析】如图,∵∠BCA=90°,AC=BC=2,反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D,E,∴∠BAC=∠ABC=45°,且可设E(a,),D(b,),∴C(a,0),B(a,2),A(2-a,0),∴易求直线AB的解析式是y=x+2-a.又∵△BDE∽△BCA,∴∠BDE=∠BCA=90°,∴直线y=x与直线DE垂直,∴点D、E关于直线y=x对称,则=,即ab=3.又∵点D在直线AB上,∴=b+2-a,即2a2-2a-3=0,解得a=,∴点E的坐标是(,).
【解答】(,)
【点评】注意双曲线的对称性的应用.
19.【考点】整式的混合运算(化简求值).
【分析】原式第一项利用平方差公式化简,第二项利用完全平方公式展开,去括号合并得到最简结果,将a的值代入计算.
【解答】解:
原式=1-a2+a2-4a+4=-4a+5,
当a=-3时,原式=12+5=17.
20.【考点】解分式方程.
【分析】
【解答】解:
方程的两边同乘(x-1),得-3=x-5(x-1),
解得x=2,
检验,将x=2代入(x-1)=1≠0,
∴x=2是原方程的解.
【点评】
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.
(2)解分式方程一定注意要验根.
21.【考点】解直角三角形的应用(仰角俯角问题).
【分析】在Rt△ACD和Rt△CDB中分别求出AD,BD的长度,然后根据AB=AD+BD即可求出AB的值.
【解答】解:
由题意得,∠EAC=45°,∠FCB=60°,
∵EF∥AB,∴∠CAD=∠ECA=45°,∠CBD=∠FCB=60°.
在Rt△CDB中,tan∠CBD=,∴BD==17,
∵AD=CD=51米,∴AB=AD+BD=51+17.
答:
A,B之间的距离为(51+17)米.
【点评】根据俯角构造直角三角形,并利用解直角三角形的知识解直角的三角形.
22.【考点】条形统计图;频数与频率;算术平均数;中位数;众数;极差.
【分析】
(1)极差=最大值-最小值;众数是一组数据中出现次数最多的数据;中位数:
将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数;
(2)从条形统计图中找出这11个城市当天的空气质量为优的城市个数,再除以城市总数;
(3)根据平均数的计算方法进行计算.
【解答】解:
(1)极差:
80-37=43;众数:
50;中位数:
50;
(2)这11个城市中当天的空气质量为优的有6个,这11个城市当天的空气质量为优的频率为;
(3)=(50+60+57+37+55)=51.8.
【点评】条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.
23.【考点】二次函数图象与几何变换;待定系数法求二次函数解析式.
【分析】
(1)利用交点式得出y=a(x-1)(x-3),进而得出a求出的值,再利用配方法求出顶点坐标;
(2)根据左加右减得出抛物线的解析式为y=-x2.
【解答】解:
(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3),
把C(0,-3)代入得3a=-3,解得a=-1,
故抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3,
∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,
∴顶点坐标(2,1);
(2)先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线的解析式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为(0,0)落在直线y=-x上.
【点评】根据平移性质得出平移后解析式.
24.【考点】一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用.
【分析】
(1)设商场计划购进甲种手机x部,乙种手机y部,根据两种手机的购买金额为15.5万元和两种手机的销售利润为2.1万元建立方程组求出其解;
(2)设甲种手机减少a部,则乙种手机增加2a部,表示出购买的总资金,由总资金部超过16万元建立不等式就可以求出a的取值范围,再设销售后的总利润为W元,表示出总利润与a的关系式,由一次函数的性质就可以求出最大利润.
【解答】解:
(1)设商场计划购进甲种手机x部,乙种手机y部,由题意,得
解得
答:
商场计划购进甲种手机20部,乙种手机30部;
(2)设甲种手机减少a部,则乙种手机增加2a部,由题意,得
0.4(20-a)+0.25(30+2a)≤16,解得a≤5.
设全部销售后获得的毛利润为W元,由题意,得W=0.03(20-a)+0.05(30+2a)=0.07a+2.1,
∵k=0.07>0,∴W随a的增大而增大,∴当a=5时,W最大=2.45.
答:
当该商场购进甲种手机15部,乙种手机40部时,全部销售后获利最大.最大毛利润为2.45万元.
25.【考点】四边形综合题.
【分析】
(1)要证明BD是四边形ABCD的和谐线,只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形;
(2)根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等,只要D在弧BC上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形;连接BC,在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD,构成的四边形ABCD就是和谐四边形;
(3)由AC是四边形ABCD的和谐线,可以得出△ACD是等腰三角形,从图4,图5,图6三种情况运用等边三角形的性质,正方形的性质和30°的直角三角形性质求出∠BCD的度数.
【解答】解:
(1)∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°,∠ADB=∠DBC.
∵∠BAD=120°,∴∠ABC=60°.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=30°,
∴∠ABD=∠ADB,
∴△ADB是等腰三角形.
在△BCD中,∠C=75°,∠DBC=30°,∴∠BDC=∠C=75°,
∴△BCD为等腰三角形,
∴BD是梯形ABCD的和谐线;
(2)由题意作图:
(3)∵AC是四边形ABCD的和谐线,∴△ACD是等腰三角形.
∵AB=AD=BC,如图4,当AD=AC时,
∴AB=AC=BC,∠ACD=∠ADC,∴△ABC是正三角形,
∴∠BAC=∠BCA=60°.
∵∠BAD=90°,∴∠CAD=30°,
∴∠ACD=∠ADC=75°,
∴∠BCD=60°+75°=135°.
如图5,当AD=CD时,∴AB=AD=BC=CD.
∵∠BAD=90°,∴四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°;
如图6,当AC=CD时,过点C作CE⊥AD于E,过点B作BF⊥CE于F,
∵AC=CD,CE⊥AD,∴AE=AD,∠ACE=∠DCE.
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°,∴四边形ABFE是矩形.
∴BF=AE.
∵AB=AD=BC,∴BF=BC,∴∠BCF=30°.
∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC.
∵AB∥CE,∴∠BAC=∠ACE,∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°,
∴∠BCD=15°×3=45°.
【点评】解答如图6这种情况容易忽略,应合理运用分类讨论思想.
26.【考点】一次函数综合题.
【分析】
(1)设直线AB的函数解析式为y=kx+4,把(4,0)代入求得k;
(2)①先证出△BOD≌△COD,得出∠BOD=∠CDO,再根据∠CDO=∠ADP,得出∠BDE=∠ADP;
②先连结PE,根据∠ADP=∠DEP+∠DPE,∠BDE=∠ABD+∠OAB,∠ADP=∠BDE,∠DEP=∠ABD,得出∠DPE=∠OAB,再证出∠DFE=∠DPE=45°,最后根据∠DEF=90°,得出△DEF是等腰直角三角形,从而求出DF=DE,即y=x;
(3)当=2时,过点F作FH⊥OB于点H,则∠DBO=∠BFH,再证出△BOD∽△FHB,得出FH=2,OD=2BH,再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°,得出四边形OEFH是矩形,OE=FH=2,EF=OH=4-OD,根据DE=EF,求出OD的长,从而得出直线CD的解析式为y=x+,联立y=-x+4求出点P的坐标;当=时,连结EB,同理可求出点P的坐标.
【解答】解:
(1)设直线AB的函数解析式为y=kx+4,代入(4,0)得4k+4=0,解得k=-1,
则直线AB的函数解析式为y=-x+4;
(2)①由已知得OB=OC,∠BOD=∠COD=90°,又∵OD=OD,
∴△BOD≌△COD,∴∠BOD=∠CDO,
∵∠CDO=∠ADP,∴∠BDE=∠ADP;
②连结PE,
∵∠ADP是△DPE的一个外角,∴∠ADP=∠DEP+∠DPE,
∵∠BDE是△ABD的一个外角,∴∠BDE=∠ABD+∠OAB.
∵∠ADP=∠BDE,∠DEP=∠ABD,∴∠DPE=∠OAB,
∵OA=OB=4,∠AOB=90°,∴∠OAB=45°,∴∠DPE=45°,
∴∠DFE=∠DPE=45°.
∵DF是⊙Q的直径,∴∠DEF=90°,
∴△DEF是等腰直角三角形,∴DF=DE,即y=x;
(3)当BD:
BF=2:
1时,过点F作FH⊥OB于点H,
∵∠DBO+∠OBF=90°,∠OBF+∠BFH=90°,∴∠DBO=∠BFH.
又∵∠DOB=∠BHF=90°,∴△BOD∽△FHB,
∴===2,∴FH=2,OD=2BH.
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°,
∴四边形OEFH是矩形,∴OE=FH=2,∴EF=OH=4-OD.
∵DE=EF,∴2+OD=4-OD,解得OD=,∴点D的坐标为(0,),
∴直线CD的解析式为y=x+.
由解得
则点P的坐标为(2,2);
当=时,连结EB,同
(2)①可得∠ADB=∠EDP,
而∠ADB=∠DEB+∠DBE,∠EDP=∠DAP+∠DPA,∵∠DEP=∠DPA,
∴∠DBE=∠DAP=45°,
∴△DEF是等腰直角三角形.
过点F作FG⊥OB于点G,同理可得
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