最近十年初二数学希望杯第15-24届试题汇总(含答案与提示).doc
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2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二 1
2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 5
2005年第十六届希望杯初二第1试试题 11
2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 14
2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 19
2006年第十七届“希望杯’’数学邀请赛第二试 22
2007年第十八届”希望杯“全国数学邀请赛第一试 28
2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 31
2008年第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题 37
2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 40
2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 43
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 50
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 52
第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试 57
第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 59
第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试 64
第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试 72
第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛 78
第24届“希望杯”全国数学邀请赛初二第二试 81
2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二
初二 第1试
一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
共得分
答案
1、小伟自制了一个小孔成像演示仪,如图1所示,在一个圆纸筒的两端分别用半透明纸和黑纸封住,并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。
小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“F”形状的光源,则他在半透明纸上观察到的像的形状是
(A) (B) (C) (D)F
2、代数式的化简结果是
(A) (B) (C) (D)
3、已知是实数,且,那么
(A)31 (B)21 (C)13 (D)13或21或31
4、已知(>)是两个任意质数,那么下列四个分数
①; ②; ③; ④中,总是最简分数的有
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
5、Given arerealnumbers,and,thenthevalueof
is
(A)4 (B)6 (C)3 (D)4or6
6、某出版社计划出版一套百科全书,固定成本为8万元,每印制一套需增加成本20元。
如果每套定价100元,卖出后有3成给承销商,出版社要盈利10%,那么该书至少应发行(精确到千位)
(A)2千套 (B)3千套 (C)4千套 (D)5千套
7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C,满足3∠A>5∠B,3∠C≤∠B,则这个三角形是
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等边三角形
8、如图2,正方形ABCD的面积为256,点E在AD上,点F在AB的延长线上,EC⊥FC,△CEF的面积是200,则BF的长是
(A)15 (B)12 (C)11 (D)10
9、如图3,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,点E、F分别是对角线AC、BD的中点,则
(A) (B)
(C) (D)
10、表示不大于的最大整数,如[3.15]=3,[-2.7]=-3,[4]=4,则
(A)1001 (B)2003 (C)2004 (D)1002
二、A组填空题(每小题4分,共40分。
含两个空的小题,每个空2分。
)
11、计算:
。
12、已知 。
13、已知是三个实数,且的平均数是127,的和的三分之一是78,的和的四分之一是52,那么的平均数是 。
14、Giveninthe△ABC,a,b,carethreesidesofthetriangle,a=3,b=10andperimeterofthetriangleismultipleof5,thenthelengthofcis 。
(英汉小词典:
side:
边;perimeter:
周长;multiple:
倍数)
15、某学校有学生2000名,从中随意询问200名,调查收看电视的情况,结果如下表:
每周收看电视的时间t(小时)
0<t≤2
2<t≤4
4<t≤6
6<t≤8
t>8
人 数
15
47
78
41
19
则全校每周收看电视不超过6小时的人数约为 。
16、如图4,等腰梯形ABCD的面积是49平方厘米,AD∥BC,且AC⊥BD,AF⊥BC,则BD= 平方厘米,AF= 平方厘米。
17、方程 或 。
18、已知是三个互不相同的非零实数,设
;的大小关系
是 。
19、已知均为实数,且 ; 。
20、小明做数学题时,发现
按上述规律,第五个等式是 ;第n个等式是 。
三、B组填空题(每小题8分,共40分。
每题两个空,每个空4分。
)
21、一个三位自然数,当它分别被2、3、4、5、7除时,余数都是1,那么具有这个性质的最小三位数是 ;最大三位数是 。
22、一个直角三角形的三条边长均为整数,已知它的一条直角边的长为15,那么另一条直角边的长有 种可能,其中最大值是 。
23、已知都是质数,且>40,那么满足以上条件的最小质数p= ; 。
24、用1、2、3、4、5这五个数字可以组成60个没有重复数字的三位数,那么这60个三位数的和是 ;这个和除以111,得到的商是 。
25、如图5,正方形BCDE和ABFG的边长分别为,连接CE和CG,则图中阴影部分的面积是 ;CE和CG的大小关系是 。
参考答案
一、选择题:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
D
C
B
D
A
C
B
A
B
二、A组填空题:
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
98
116
12
1400
,7
-3或0
a>b,c>d
4,3
,
三、B组填空题:
21
22
23
24
25
421,841
4,112
53,2
19980,180
,CE 2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 一、选择题(每小题5分,共50分) 1.方程|x+1|+|x-3|=4的整数解有( ) (A)2个 (B)3个 (C)5个 (D)无穷多个 2.若等式对任意的x(x≠±3)恒成立,则mn=( ) (A)8 (B)-8 (C)16 (D)-16 3.若x>z,y>z,则下列各式中一定成立的是( ) (A)x+y>4z (B)x+y>3z (C)x+y>2z (D)x+y>z 4.规定[a]表示不超过a的最大整数,当x=-1时,代数式2mx3-3nx+6的值为16, 则[m-n]=( ) (A)-4 (B)-3 (C)3 (D)4 5.如图1,在ABCD中,AC与BD相交于O,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,那么图中的全等三角形共有( ) (A)5对 (B)6对 (C)7对 (D)8对 6.如图2,在直角扇形ABC内,分别以AB和AC为直径作半圆,两条半圆弧相交于点D,整个图形被分成S1,S2,S3,S4四部分,则S2和S4的大小关系是( ) (A)S2<S4 (B)S2=S4 (C)S2>S4 (D)无法确定 7.Givenmisarealnumber,and|1-m|=|m|+1,simplifyanalgebraicexpression,then=( ) (A)|m|-1 (B)-|m|+1 (C)m-1 (D)-m+1 (英汉小词典simplify: 化简;algebraicexpression: 代数式) 8.二 (1)班共有35名学生,其中的男生和的女生骑自行车上学,那么该班骑自行车上学的学生的人数最少是( ) (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 9.李编辑昨天按时间顺序先后收到A、B、C、D、E共5封电子邮件,如果他每次都是首先回复最新收到的一封电子邮件,那么在下列顺序: ①BAECD ②CEDBA ③ACBED ④DCABE中,李编辑可能回复的邮件顺序是( ) (A)①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)①和④ 10.有A、B、C三把刻度尺,它们的刻度都是从0到30个单位(单位长度各不相同),设三把尺子的0刻度和30刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计,现用其中的一把尺子量度另两把尺子的长度.已知用C尺量度,得A尺比B尺长6个单位;用A尺量度,得B尺比C尺长10个单位;则用B尺量度,A尺比C尺( ) (A)长15个单位 (B)短15个单位 (C)长5个单位 (D)短5个单位 二、填空题(每小题5分,共50分) 11.若方程|1002x-10022|=10023的根分别是x1和x2,则x1+x2=______. 12.分解因式: a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4=______. 13.对于任意的自然数n,有f(n)=,则f (1)+f(3)+f(5)+…+f(999)=______. 14.x1,x2,x3,x4,x5,x6都是正数,且,,,,,,则x1x2x3x4x5x6=______. 15.(Figure3)InatrapezoidABCD,AE=DE,CE⊥AD,CEisabisectorto∠BCD,thentheratiooftheareaofaquadrilateralABCEtothatofatriangleCDEis_____. (英汉小词典trapezoid: 梯形;bisector: 平分线;ratio: 比值;quadrilateral: 四边形) 16.已知a,b,c,d为正整数,且,,则的值是______;的值是______. 17.一个直角三角形的三条边的长均为整数,已知它的一条直角边的长是18,那么另一条直角边的长有______种可能,它的最大值是______. 18.“神舟”飞船由返回舱、轨道舱和推进舱三个舱组成,已知三个舱中每两个舱的长度和分别为4859mm、5000mm、5741mm,那么这三个舱中长度最大的是_____mm,长度最小的是_____mm. 19.若(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36,则x+2y+3z的最大值是______,最小值是_____. 20.图4是某电台“市民热线”栏目一周内接到的热线电话的统计图,其中有关房产城建的热线电话有30个,那么有关环境保护的电话有_____个;如果每年按52周计算,每周接到的热线电话的数量相同,那么“市民热线”一年内接到的热线电话有______个. 三、解答题(每题10分,共30分) 21.民航规定: 旅客可以免费携带a千克物品,若超过a千克,则要收取一定的费用,当携带物品的质量为b千克(b>a)时,所交费用为Q=10b-200(单位: 元). (1)小明携带了35千克物品,质量大于a千克,他应交多少费用? (2)小王交了100元费用,他携带了多少千克物品? (3)若收费标准以超重部分的质量m(千克)计算,在保证所交费用Q不变的情况下,试用m表示Q. 22.如图5,一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm,把顶点A和C叠合在一起,得到折痕EF. (1)证明四边形AECF是菱形; (2)计算折痕EF的长; (3)求△CEH的面积. 23.如图6,用水平线与竖直线将平面分成若干个边长为1的正方形格子,点O、A、B均在正方形格子的顶点(格点)处,其中点O与点A位于同一水平线上,相距a格,点O与点B位于同一竖直线上,相距b格. (1)若a=5,b=4,则△OAB中(包括三条边)共有多少个格点? (2)若a,b互质,则在线段AB上(不包括A、B两点)是否有格点? 证明你的结论. (3)若a,b互质,且a>b>8,△OAB中(包括三条边)共有67个格点,求a,b的值. 参考答案 一、1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.B 10.A 二、11.2004 12.(a2+b2+ab)2 13.5 14.6 15.7: 9 16.21;7 17.2;80 18.2941;2059 19.15;-6 20.45;7800 三、21. (1)Q=35×10-200=150(元); (2)设小王携带了x千克物品,则 10x-200=100,解得x=30. (3)已知最多可以免费携带a千克物品,则 10a-200=0,解得a=20. 所以m=b-a=b-20, 即b=m+20. 故所交费用Q=10b-200=10(m+20)-200=10m(元). 22. (1)如图1,因为AB∥CD,所以AF∥CE,CF∥HE,根据对称性,知∠CEH=∠AED,因为D、E、C三点共线,所以A、E、H三点共线,所以AE∥CF,所以四边形AECF是平行四边形.又AF=CF, 所以四边形AECF是菱形. (2)设AF=x,则 CF=x,BF=9-x. 在△BCF中,CF2=BF2+BC2, 所以x2=(9-x)2+32, 解得x=5,即CF=5,BF=4. 过E作EM⊥AB交AB于M,则 MF=BM-BF=CE-BF=CF-BF=1, EM=3. 所以. (3)根据对称性,知△CEH≌△AED, 所以S△CEH=S△AED=DE·AD=(AF-MF)·AD=×4×3=6(cm2). 23. (1)如图2,a=5,b=4,△OAB中(包括三条边)的格点的个数为1+2+3+4+6=16. (2)若a,b互质,假设线段AB上存在某一点P(恰为格点),可设点P到点O的水平距离为x,竖直距离为y(x,y均为整数),则 S△AOB=S△AOP+S△BOP=ay+bx, 所以ab=ay+bx, 即ab=ay+bx,ay=b(a-x). 因为a,b互质, 所以a-x是a的倍数,它与a-x<a矛盾, 因此,假设不正确,即线段AB上(除A、B两点外)不存在其它格点. (3)由 (2)知,线段AB上(除A、B两点外)不存在其它的格点. 以OA、OB为边作一个矩形OACB,则在△CAB中格点的个数与△OAB中格点的个数相同,且只有A、B两点是公共的,而矩形OACB中格点的个数为(a+1)(b+1). 因此,(a+1)(b+1)+2=2×67=134, (a+1)(b+1)=132=2×2×3×11. 由a>b>8,得a+1=12,b+1=11, 即a=11,b=10. 2005年第十六届希望杯初二第1试试题 班级__________学号__________姓名______________得分______________ 一、选择题(每小题4分,共40分) 1.等于 ( ) (A) (B)- (C) (D)- 2.已知x=3是不等式mx+2<1-4m的一个解,如果m是整数,那么m的最大值是 (A) (B)0 (C)1 (D) 3.一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后,所得的数比原来的数大9,这样的两位数中,质数有 ( ) (A)1个 (B)3个 (C)5个 (D)6个 4.有三组数x1,x2,x3;y1,y2,y3;z1,z2,z3,它们的平均数分别是a,b,c,那么x1+y1-z1,x2+y2-z2,x3+y3-z3的平均数是 ( ) (A) (B) (C)a+b-c (D)3(a+b-c) 5.已知A=,则A与1的大小关系是 (A)A>1 (B)A=1 (C)A<1 (D)无法确定的 6.Giveninthe△ABC,a,b,carethreesidesofthetriangle,and,then∠Ais ( ) (A)acuteangle (B)rightangle (C)obtuseangle (D)acuteangleorobtuseangle A B C D (英汉词曲acuteangle: 锐角;obtuseangle: 钝角) 7.如图,点D是△ABC的边BC上一点,如果AB=AD=2,AC=4,且BD∶DC=2∶3,则△ABC是 ( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形或直角三角形 8.已知a<b<c<0,则,,的大小关系是 ( ) (A)<< (B)<< (C)<< (D)<< 9.某人月初用元人民币投资股票,由于行情较好,他的资金每月都增加,即使他每月末都取出1000元用于日常开销,他的资金仍然在三个月后增长了一倍,那么的值是 ( ) (A)9000 (B)10000 (C)11000 (D)11100 10.判断下列命题的真假: 甲: 在边长为1的正三角形中(包括边界)的任意四个点,必有两点的距离不大于;乙: 在边长为1,一个内角为60°的菱形中(包括边界)的任意六个点,必有两点的距离不大于.那么正确的结论是 ( ) (A)甲真乙真 (B)甲真乙假 (C)甲假乙真 (D)甲假乙假 二、A组填空题(每小题4分,共40分.含两个空的小题,每空2分.) A B 11.计算: ()1998×=______________. 12.分解因式: ab(a+b)2-(a+b)2+1=____________. 13.已知质数p与q满足3p+7q=41,则(p+1)(q-1)=_____________. 14.如图,将直径AB=1的半圆形纸片平放在桌面上,然后让它绕直径的一个端点旋转到某个位置,这时它扫过的面积为,则AB旋转的角度为__________. A B C D E F H G 15.如图,从一个边长为a的正方形纸片ABCD中剪去一个宽为b的长方形CDEF,再从剩下的纸片中沿平行短边的方向剪去一个边长为c的正方形BFHG,若长方形CDEF与AGHE的面积比是3: 2,那么=___________;正方形BFHG与正方形ABCD的面积比是__________. 16.已知a是整数,x,y是方程x2-xy-ax+ay+1=0的整数解,则x-y=______或______. 17.A、B、C三种服装的进价分别是30元、40元、50元,售价分别是35元、m元、60元,经核算,三种服装的总利润相同,且A、B两种服装的销售量之和是C服装销售量的4倍,则m=___________;A、B、C三种服装的销售量之比是________. 18、已知x=,y=(a≠±b),且19x2+143xy+19y2=2005,则x+y=__________或__________. 19、己知一个两位整数的五次方是一个六位数,且最高位的数字与个位数字都是3,那么=____________;中间的四个数字之和是__________. E D C B A 20、Infigure4,fivepointsA、B、C、D、Earelocatedonaline.Whenthetendistancesbetweenpairsarelistedfromsmallesttolargest,thelistreads: 2,4,5,7,8,k,13,15,17,19.Thenthevalueofkis___________. 三、B组填空题(每小题8分,共40分.每小题两个空,每空4分.) 21、在公式y=kx+b(k,b为常数)中,当-3≤x≤1时,1≤y≤9,则2k-b的值为________或_________. 22、己知方程x+=c+(c是常数,c≠0)的解是c或,那么方程x+=(a是常数,且a≠0)的解是__________或__________. 23、已知△ABC的某两个内角的比是4∶7且AB=AC,BD⊥AC于D,BE平分∠ABC交AC于E,则∠EBD的大小是__________或__________. 24、已知正△ABC的面积是1,P是平面上一点,并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等,那么满足条件的点P共有________个;△PAB的面积是_________. 25.某靶场有红、绿靶标共100个,其中红靶标的数量不到绿靶标数量的.若打中一个红靶标得10分,打中一个绿靶标得8.5分,小明打中了全部绿靶标和部分红靶标,在计算他所得的总分时,发现总分与红靶标的总数无关(包括打中的和没有打中的),则靶场有红靶标________个,打中的红靶标的个数为_________. 2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 得分 初二第2试 2005年4月17日上午8∶30至10∶30 一、选择题(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内. 1、若a,b均为正整数,m=ab(a+b),则() A.m一定是奇数B.m一定是偶数 C.只有当a,b均为偶数时,m是偶数D.只有当a,b一个为偶数,另一个为奇数时,m是偶数 2、设,,则等于() A.B.-C.-3D.3 3、Givena,b,carepositiveintegers,anda,bareprimenumbers,,thenthevalueofis() A.14B.13C.
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