数学周报杯2009年全国初中数学竞赛试题及答案.doc
- 文档编号:4532374
- 上传时间:2023-05-07
- 格式:DOC
- 页数:5
- 大小:577.50KB
数学周报杯2009年全国初中数学竞赛试题及答案.doc
《数学周报杯2009年全国初中数学竞赛试题及答案.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学周报杯2009年全国初中数学竞赛试题及答案.doc(5页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1.已知非零实数a,b满足,则等于().
(A)-1(B)0(C)1(D)2
【答】C.
解:
由题设知a≥3,所以,题设的等式为,于是,从而=1.
2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于().
(第2题)
(A)(B)(C)1(D)2
【答】A.
解:
因为△BOC∽△ABC,所以,即
,
所以,.
由,解得.
3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次,记第一次掷出的点数为,第二次掷出的点数为,则使关于x,y的方程组只有正数解的概率为().
(A)(B)(C)(D)
【答】D.
解:
当时,方程组无解.
当时,方程组的解为
由已知,得即或
由,的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得
共有5×2=10种情况;或共3种情况.
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为.
4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,.动点P从点
B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y.把y看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为().
(A)10(B)16(C)18(D)32
(第4题)
图2
图1
【答】B.
解:
根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故
S△ABC=×8×4=16.
5.关于x,y的方程的整数解(x,y)的组数为().
(A)2组(B)3组(C)4组(D)无穷多组
【答】C.
解:
可将原方程视为关于的二次方程,将其变形为
.
由于该方程有整数根,则判别式≥,且是完全平方数.
由≥,
解得≤.于是
0
1
4
9
16
116
109
88
53
4
显然,只有时,是完全平方数,符合要求.
当时,原方程为,此时;
当y=-4时,原方程为,此时.
所以,原方程的整数解为
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶3000km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶km.
【答】3750.
解:
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km
磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm,交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有
两式相加,得,
则.
7.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则的值为.
解:
如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF,EF.
由题设知,,在△FHA和△EFA中,
,
所以Rt△FHA∽Rt△EFA,
.
(第7题)
而,所以.
8.已知是满足条件的五个不同的整数,若是关于x的方程的整数根,则的值为.
【答】10.
解:
因为,且是五个不同的整数,所有也是五个不同的整数.
又因为,所以
.
由,可得.
9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于.
【答】.
解:
如图,由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25.
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且.
作EF⊥BC,垂足为F.设EF=x,由,得CF=x,于是BF=20-x.由于EF∥AC,所以
,
(第9题)
即,
解得.所以.
(第10题)
10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:
每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是.
【答】.
解:
设报3的人心里想的数是,则报5的人心里想的数应是.
于是报7的人心里想的数是,报9的人心里想的数是,报1的人心里想的数是,报3的人心里想的数是.所以
,
解得.
三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11.已知抛物线与动直线有公共点,,
且.
(1)求实数t的取值范围;
(2)当t为何值时,c取到最小值,并求出c的最小值.
解:
(1)联立与,消去y得二次方程
①
有实数根,,则.所以
==.②
………………5分
把②式代入方程①得
.③
………………10分
t的取值应满足
≥0,④
且使方程③有实数根,即
=≥0,⑤
解不等式④得≤-3或≥1,解不等式⑤得≤≤.
所以,t的取值范围为
≤≤.⑥
………………15分
(2)由②式知.
由于在≤≤时是递增的,所以,当
时,.………………20分
12.已知正整数满足,且,求满足条件的所有可能的正整数的和.
解:
由可得.,且
.
………………5分
因为是奇数,所以等价于,又因为,所以等价于.因此有,于是可得.
………………15分
又,所以.因此,满足条件的所有可能的正整数的和为
11+192(1+2+…+10)=10571.………………20分
13.如图,给定锐角三角形ABC,,AD,BE是它的两条高,过点作△ABC的外接圆的切线,过点D,E分别作的垂线,垂足分别为F,G.试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论.
(第13A题)
解法1:
结论是.下面给出证明.………………5分
因为,所以Rt△FCD∽Rt△EAB.于是可得
.
同理可得.
………………10分
又因为,所以有,于是可得
.………………20分
解法2:
结论是.下面给出证明.
………………5分
(第13A题)
连接DE,因为,所以A,B,D,E四点共圆,故
.………………10分
又l是⊙O的过点C的切线,所以.………………15分
所以,,于是DE∥FG,故DF=EG.
………………20分
14.n个正整数满足如下条件:
;
且中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值.
解:
设中去掉后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数,.即.
于是,对于任意的1≤≤n,都有
,
从而.………………5分
由于是正整数,故
.………………10分
由于
≥,
所以,≤2008,于是n≤45.
结合,所以,n≤9.………………15分
另一方面,令,…,,
,则这9个数满足题设要求.
综上所述,n的最大值为9.………………20分
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 周报 2009 全国 初中 竞赛 试题 答案