全国初中数学竞赛预赛试题含答案.doc
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全国初中数学竞赛预赛试题含答案.doc
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2013年全国初中数学竞赛预赛
试题及参考答案
一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分)以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1.若有理数a、b满足,则等于【】
(A)(B)1(C)0(D)无法确定
【答】A.
第2题图
解:
因为a、b都是有理数,且,所以,且,得,所以.
2.如图,由7个小正方形组成的平面图形折叠(相邻的
两个面垂直)成正方体后,重叠的两个面所标数字是【】
(A)1和7(B)1和6
(C)2和7(D)2和6
【答】B.
解:
若将图中标有1的面去掉,则标有2、3、4、5、6、7的六个面恰好是正方体的一种展开图,其中标有3和6的面是对面;只看题图最下面一行,标有3和1的面应是对面,所以重叠的两个面是标有1和6的面,应选B.
第3题图
3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BD平分∠ABC交AC于点O,AE平分∠CAD交BD于点E,∠ABC=,∠ACB=,给出下列结论:
①∠DAE=;②;③∠AEB=;
④∠ACD=.其中一定正确的有【】
(A)4个(B)3个
(C)2个(D)1个
【答】B.
解:
(1)∵AD∥BC,∴∠DAE=,∴①正确;
(2)∵AD∥BC,∴△AOD∽△COB,∴,∴②正确;
(3)∠AEB=∠DAE+∠ADB=∠DAE+∠CBD=,∴③正确;
(4)∵∠BAC=,只有当AB∥DC时,∠ACD=才能成立.∴④不正确.
综上,应选B.
第4题图
O
阿A
y
x
l1
l2
C
B
4.如图,直线l1、l2相交于点,l1、l2与x轴分别交于点和,则当时,自变量x的取值范围是【】
(A)(B)
(C)(D)
【答】C.
解:
由图象可知当时,,
当时,,所以当时,.故应选C.
5.关于x的不等式的解集为,则a应满足【】
(A)(B)(C)a≥1(D)a≤1
【答】B.
解:
由,得,由不等式的解集为,知,第6题图
所以,得.故应选B.
6.如图的象棋盘中,“卒”从A点走到B点,最短路
径共有【】
(A)14条(B)15条
(C)20条(D)35条
【答】D.
解:
如右图,从点A出发,每次向上或向右走一
步,到达每一点的最短路径条数如图中所标数字,如:
到达点P、Q的最短路径条数分别为2和3.以此类推,
到达点B的最短路径条数为35条.选D.
二、填空题(共6小题,每小题6分,共36分)
第8题图
7.计算:
.
【答】.
解:
原式=
8.如图是三个反比例函数,,
在x轴上方的图象,则、、的大小关系为.
【答】.
解:
由图象可知为负数,、为正数,不妨取x=1,代入解析式,显然点在点的正下方,所以,又为负数,所以.
9.有6个小球,其中黑色、红色、绿色各2个,它们除颜色外其它都一样,将它们放入一个不透明的袋子中,充分摇匀后,从中随机摸出2个球,摸出的球颜色一样的概率是.
【答】.
解:
摸出的2个球都是黑球的概率是,所以摸出的球颜色一样的概率是.
10.如图,点C是线段AB上一个动点,∠A=∠B=30°,∠ADC=∠BEC=90°,若AB=8cm,则CD+CE=cm.
【答】4.
解:
在Rt△ADC中,∠A=30°,得,同理,所以(cm).
11.关于x的方程的两实数根之积等于,则的值是.
【答】4.
解:
由题意得,解得,当时,原方程无实数根,当时,原方程有两个不相等的实数根,所以.
12.计算:
.
【答】.
解:
令,则原式=×
==.
三、解答题(第13题14分,第14题16分,第15题18分,共48分)
13.某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行列队,已知6人一列少2人,5人一列多2人,4人一列不多不少,请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有几人?
【答案】设这个单位参加健身操比赛的职工有y人,6人、5人、4人一列分别可以整排a、b、c列,则.(a、b、c是正整数)
∴ 4分
由②,得
因为c为正整数,可令所以(m是正整数)③
将③代入①,得
∴ 7分
因为b为正整数,可令所以(n是正整数)④
将④代入③,得 11分
∴(n是正整数).
当n=1时,y有最小值52.即参加比赛列队的至少有52人. 14分
14.如图,在边长为1的正方形ABCD的边AB上任取一点E(A、B两点除外),过E、B、C三点的圆与BD相交于点H,与正方形ABCD的外角平分线相交于点F,与CD相交于点G.
(1)求证:
四边形EFCH是正方形;
(2)设BE=x,△CGH的面积是y,求y与x的函数解析式,并求y的最大值.
【答案】
(1)∵E、B、C、H、F在同一圆上,且∠EBC=90°,
∴∠EHC=90°,∠EFC=90°. 2分
又∠FBC=∠HBC=45°,∴CF=CH. 4分
∵∠HBF+∠HCF=180°,∴∠HCF=90°. 6分
∴四边形EFCH是正方形. 8分
(2)∵∠GHB+∠GCB=180°,
∴∠GHB=90°,由
(1)知∠CHE=90°,
∴∠CHG+∠CHB=∠EHB+∠CHB.
∴∠CHG=∠EHB.
∴CG=BE=x,∴DG=. 12分
∴△CGH中,CG边上是高为
∴ 15分
当x=时,y有最大值. 16分
15.数学活动课上,李老师出示了问题:
已知,如图①,在△ABC中,∠BAC=45°,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,设BD=a,用含有a的式子表示AD的长.
经过思考和探讨,小明展示了一种解题思路:
如图②,作∠DAE=45°,AE和BC的延长线相交于点E,过点C作CF⊥AE于点F.通过证明△ABD≌△ACF,得到CF=a,进而推出CE=,所以AD=DE=CD+CE=
在此基础上,李老师又提出了如下问题:
已知△ABC中,∠BAC=45°,AB>AC,AD是BC边上的高,设BD=a,CD=b,求AD的长.
请你画图并解答这个问题.
【答案】
(1)当∠ACB为直角时,△ABC为直角三角形,b=0,AD=AC=BD=a. 2分
(2)当∠ACB为锐角时,如图③,作∠DAE=45°,AE和BC的延长线相交于点E,过点C作CF⊥AE于点F.则△CEF和△ADE都是等腰直角三角形.
设,.则.∴. 4分
∵∠FAC+∠CAD=45°,∠DAB+∠CAD=45°,
∴∠FAC=∠DAB.
又∵∠AFC=∠ADB=90°,
∴△FAC∽△DAB.……………………6分
∴即
解得∴. 8分
∵,∴. 10分
整理得.
解得(舍去).
12分
(3)当∠ACB为钝角时,如图④,作∠DAE=45°,AE和BC的延长线相交于点E,过点C作CF⊥AE于点F.与
(1)中的求法类似,可设,,则.同
(1)中的理由,得△FAC∽△DAB,.
∵,∴. 16分
整理,得,
解得…17分
综上,AD的长为a或或或. 18分
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