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IV.二次根式的乘法和除法
1运算法则
√a·
√b=√ab(a≥0,b≥0)
二数二次根之积,等于二数之积的二次根。
2共轭因式
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式叫做共轭因式,也称互为有理化根式。
V.二次根式的加法和减法
1同类二次根式
一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的进行合并
Ⅵ.二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化
VII.分母有理化
分母有理化有两种方法
I.分母是单项式
如:
√a/√b=√a×
√b/√b×
√b=√ab/b
II.分母是多项式
要利用平方差公式
如1/√a+√b=√a-√b/(√a+√b)(√a-√b)=√a-√b/a-b
III.分母是多项式
第22章一元二次方程
1)
第23章旋转
旋转的定义
在平面内,将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转。
这个定点叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角。
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动,其中对应点到旋转中心的距离相等,对应线段的长度、对应角的大小相等,旋转前后图形的大小和形状没有改变。
旋转对称中心 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角(旋转角小于0°
,大于360°
)。
中心对称和中心对称图形是两个不同而又紧密联系的概念.它们的区别是:
中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系,这两个图形关于一点对称,这个点是对称中心,两个图形关于点的对称也叫做中心对称.成中心对称的两个图形中,其中一个上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上,反之,另一个图形上所有点的对称点,又都在这个图形上;
而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称.中心对称图形上所有点关于对称中心的对称点都在这个图形本身上.如果将中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形),那么这个图形就是中心对称图形;
一个中心对称图形,如果把对称的部分看成是两个图形,那么它们又是关于中心对称.
也就是说:
①中心对称图形:
如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合,那么我们就说,这个图形成中心对称图形。
②中心对称:
如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合,那么我们就说,这两个图形成中心对称。
中心对称图形
正(2N)边形(N为大于1的正整数),线段,矩形,菱形,圆
只是中心对称图形
平行四边形等.
既不是轴对称图形又不是中心对称图形
不等边三角形,非等腰梯形等.
中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形是全等形。
②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。
③关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或者在同一直线上)且相等。
识别一个图形是否是中心对称图形就是看是否存在一点,使图形绕着这个点旋转180°
后能与原图形重合。
中心对称是指两个图形绕某一个点旋转180°
后,能够完全重合,称这两个图形关于该点对称,该点称为对称中心.二者相辅相成,两图形成中心对称,必有对称中点,而点只有能使两个图形旋转180°
后完全重合才称为对称中点.
第24章圆
知识框图
【圆的基本知识】
〖几何中圆的定义〗
几何说:
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心,定长称为半径。
轨迹说:
平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周,简称圆。
集合说:
到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗
圆周率:
圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率,值是3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679...,通常用π表示,计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。
圆弧和弦:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角:
顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心:
过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。
扇形:
在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径称为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗
圆—⊙半径—r弧—⌒直径—d
扇形弧长/圆锥母线—l周长—C面积—S
〖圆和其他图形的位置关系〗
圆和点的位置关系:
以点P与圆O的为例(设P是一点,则PO是点到圆心的距离),P在⊙O外,PO>r;
P在⊙O上,PO=r;
P在⊙O内,PO<r。
直线与圆有3种位置关系:
无公共点为相离;
有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线;
圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。
以直线AB与圆O为例(设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离):
AB与⊙O相离,PO>r;
AB与⊙O相切,PO=r;
AB与⊙O相交,PO<r。
两圆之间有5种位置关系:
无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;
有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;
有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P:
外离P>R+r;
外切P=R+r;
相交R-r<P<R+r;
内切P=R-r;
内含P<R-r。
圆的平面几何性质和定理
一有关圆的基本性质与定理
⑴圆的确定:
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
圆的对称性质:
圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。
垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的2条弧。
逆定理:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的2条弧。
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两组弧,两条弦,两条弦心距中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理
①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等;
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形三边距离相等。
③S三角=1/2*△三角形周长*内切圆半径
④两相切圆的连心线过切点(连心线:
两个圆心相连的线段)
⑤圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。
〖有关切线的性质和定理〗
圆的切线垂直于过切点的半径;
经过半径的一端,并且垂直于这条半径的直线,是这个圆的切线。
切线的判定方法:
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质:
(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线长定理:
从圆外一点到圆的两条切线的长相等,那点与圆心的连线平分切线的夹角。
〖有关圆的计算公式〗
1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=πr^2;
3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=π(R^2-r^2)5.圆锥侧面积S=πrl
圆的解析几何性质和定理
〖圆的解析几何方程〗
圆的标准方程:
在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
圆的一般方程:
把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2-r^2。
圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。
〖圆与直线的位置关系判断〗
平面内,直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是:
1.由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等于0),代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:
如果b^2-4ac>
0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<
0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A,它平行于y轴(或垂直于x轴),将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
令y=b,求出此时的两个x值x1、x2,并且规定x1<
x2,那么:
当x=-C/A<
x1或x=-C/A>
x2时,直线与圆相离;
当x1<
x=-C/A<
x2时,直线与圆相交;
半径r,直径d
在直角坐标系中,圆的解析式为:
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
=>
(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F
圆心坐标为(-D/2,-E/2)
其实不用这样算太麻烦了
只要保证X方Y方前系数都是1
就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)
这可以作为一个结论运用的
且r=根号(圆心坐标的平方和-F)
圆知识点总结
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
圆心:
圆中心固定的一点叫做圆心。
用字母0表示
直径:
通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
用字母d表示。
半径:
连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。
用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。
在同圆或等圆中:
直径是半径的2倍,半径是直径的1/2.
圆的半径决定了圆的大小,圆心决定了圆的位置。
圆的周长:
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,用C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆周率是一个固定的数,它是一个无限不循环小数,用字母π表示。
近似等于3.14。
直径所对的圆周角是直角。
圆的面积公式:
πr方,用字母S表示。
第25章概率初步
第26章二次函数
定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
一般式:
y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数。
顶点式:
y=a(x-h)^2+k
交点式(与x轴):
y=a(x-x1)(x-x2)
重要概念:
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>
0时,开口方向向上,a<
0时,开口方向向下。
IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。
)
二次函数表达式的右边通常为二次。
x是自变量,y是x的二次函数
x1,x2=[-b±
√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x&
sup2;
的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,(4ac-b&
)/4a)
当-b/2a=0时,P在y轴上;
当Δ=b&
-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;
当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<
0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b/2a>
0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
事实上,b有其自身的几何意义:
抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。
可通过对二次函数求导得到。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b&
-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
_______
-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数(x=-b±
√b&
-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
当a>
0时,函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b&
/4a;
在{x|x<
-b/2a}上是减函数,在{x|x>
-b/2a}上是增函数;
抛物线的开口向上;
函数的值域是{y|y≥4ac-b&
/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax&
+c(a≠0)
7.定义域:
R
值域:
(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b&
)/4a,正无穷);
②[t,正无穷)
奇偶性:
偶函数
周期性:
无
解析式:
①y=ax&
+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0,则抛物线开口朝上;
a<0,则抛物线开口朝下;
⑶极值点:
(-b/2a,(4ac-b&
)/4a);
⑷Δ=b&
-4ac,
Δ>0,图象与x轴交于两点:
([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);
Δ=0,图象与x轴交于一点:
(-b/2a,0);
Δ<0,图象与x轴无交点;
②y=a(x-h)&
+t[配方式]
此时,对应极值点为(h,t),其中h=-b/2a,t=(4ac-b&
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式]
a≠0,此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连用)。
[编辑本段]二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax&
+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
即ax&
+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax&
,y=a(x-h)&
+k,y=ax&
+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
解析式
y=ax&
+K
y=a(x-h)&
+k
+bx+c
顶点坐标
(0,0)
(0,K)
(h,0)
(h,k)
(-b/2a,sqrt[4ac-b&
]/4a)
对称轴
x=0
x=h
x=-b/2a
当h>
0时,y=a(x-h)&
的图象可由抛物线y=ax&
向右平行移动h个单位得到,
当h<
0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
0,k>
0时,将抛物线y=ax&
向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)&
+k的图象;
0,k<
向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)&
0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)&
0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)&
因此,研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)&
+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax&
+bx+c(a≠0)的图象:
当a>
0时,开口向上,当a<
0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b&
]/4a).
3.抛物线y=ax&
+bx+c(a≠0),若a>
0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;
当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大.若a<
0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而增大;
当x≥-b/2a时,y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax&
+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△=b&
-4ac>
0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax&
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×
(-b/2a)-A|(A为其中一点的横坐标)
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<
0.图象与x轴没有交点.当a>
0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>
0;
当a<
0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<
0.
5.抛物线y=ax&
+bx+c的最值:
如果a>
0(a<
0),则当x=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b&
)/4a.
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时,可设解析式为顶点式:
y=a(x-h)&
+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:
y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。
因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.
第27章相似
相似三角形的认识
对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
(similartriangles)。
互为相似形的三角形叫做相似三角形
相似三角形的判定方法
根据相似图形的特征来判断。
(对应边成比例,对应角相等)
1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;
(这是相似三角形判定的引理,是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明)
2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似;
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似;
4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;
绝对相似三角形
1.两个全等的三角形一定相似。
2.两个等腰直角三角形一定相似。
3.两个等边三角形一定相似。
直角三角形相似判定定理
1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似,并且分成的两个直角三角形也
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