选修11导数的应用恒成立问题存在性问题教案Word文档格式.docx
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(3)恰成立问题的转化:
afx在M上恰成立:
jafx的解集为
afx在M上恒成立
a_fx在CrM上恒成立
另一转化方法:
若x・D,f(x)_A在D上恰成立,等价于f(x)在D上的最小值
fmin(x^A,若D,f(x)乞B在D上恰成立,则等价于f(x)在D上的最大值
fmax(X)二B•
(4)若不等式fX・gx在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数y=fX和图象在函数y=gx图象上方;
(5)若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数y二fx和图象在函数
y二gx图象下方;
考点2存在性问题
(1)设函数fx、gx,对任意的x1a,bi,存在X2eC,d】,使得f(xi)兰g(x2),
则fminXg
minX
(2)设函数fx、gx,对任意的•a,b1,存在x2C,d1,使得fX[乞gx2,
则fmaxX空gmaxX。
(3)设函数fx、gx,对任意的•a,bl,存在x2•C,d】,使得f%=gx2,则fx在x「a,bl上的值域m是gx在X2•C,d】上的值域N的子集。
即:
M-No
C,dI,使得fxi-gX2,则
(4)设函数fx、gx,存在Xi•la,bl,存在X2-
(5)设函数fx、gx,存在£
•a,bl,存在X2•C,d】,使得f&
岂gX2,则
fmnxgmaxX
类型三一、恒成精问题
例题1
已知函数f(x)=X2-2ax•1,g(xH-,其中a0,x=0•对任意x[1,2],都有
x
f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
22
函数,min(X^:
:
'
(1),所以a的取值范围是0:
a:
—.
33
【总结与反思】在函数的导数应用中极值和最值往往都的联立出现的,尤其是最值的求解
过程中,一定会涉及到极值的求解部分,所以也可以说:
极值不一定是最值,但是最值一定
是极值。
例题2
3
已知f(x)=ax+cx+d(a丰是R上的奇函数,当x=1时,f(x)取得极值一2.
(1)求f(x)的解析式;
⑵证明对任意XI、X2^(-1,1),不等式丨f(X”—f(X2)|<
4恒成立.
解:
⑴由f(x)=ax+cx+d(aM0是R上的奇函数,知f(0)=0,解得d=0,
所以f(x)=ax3+cx(az0)f'
x)=3ax2+c(a丰0)
由当x=1时,f(x)取得极值—2,得f
(1)=a+c=-2,且f'
(羽3a+c=0,解得
a=1,c=—3,所以f(x)=x—3x.
⑵令f'
x)>
0,解得x<
—1,或x>
1;
令f'
x(<
0,解得一1<
x<
1,
从而函数f(x)在区间(一g,—1)内为增函数,(一1,1)内为减函数,在(1,+g)为增函数.
故当x€[—1,1]时,f(x)的最大值是f(—1)=2,最小值是f
(1)=—2,
所以,对任意X1、x2€(一1,1),|f(x1)—f(x2)|<
2—(—2)=4.
类型二存在性问题
.例题1
已知a-0,函数f(x)=(x2-2ax)eX,设f(x)在[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围.
【解析】根据题意,f(x)二[x2-2(a-1)x-2a]eX,f(x)=0,为二a-1-1a2,X2二a-11a2,当a-0时,f(x)在[-1,1]上为单调
13
函数的充要条件是X2-1,x^a-V1a2-1,解a,综上,f(x)在[-1,1]上为
4
单调函数的充要条件是a,即a的取值范围为a-—。
44
【总结与反思】本题主要考查含参数的单调性,在闭区间上通过单调性来求参数的取值范围。
12
已知函数fx=Inxax2-2xa=0存在单调递减区间,求a的取值范围
【解析】因为函数
fx存在单调递减区间,所以f'
xJ_ax_2—ax22x_[0
xx
X.0,=能成立,设uX舟2
x2xx2
由题设a=0,所以a的取值范围是-1,00,
【总结与反思】本题主要考查含参数的单调性,在闭区间上通过单调性来求参数的取值范围。
四、课堂运用
1.当础1,2时,不等式x2mx^:
0恒成立,则m的取值范围是
2.设a1,若对于任意的[a,2a],都有y[a,a2]满足方程logaxloga^3,这
时a的取值集合为
x-y乞0
3.若任意满足x•y-5_0的实数x,y,不等式a(x2y2^(xy)2恒成立,则实数a的
y_3乞0
最大值是。
4.不等式ax_、.x4-x在X,〔0,3】内恒成立,求实数a的取值范围。
答案与解析
1.【答案】m:
一5
x2十4x2mx4:
0时,由x2mx4:
:
0得m:
-
2.【答案】
【解析】由方程logaXlogay=3可得y=H,对于任意的[a,2a],可得
23
-'
—-a,依题意得
2
e2
aa<
2二
22
a-a
222a<
+y3
【解析】由不等式a(x2y2^(xy)2可得xy,由线性规划可得1,由
x2
yx
4.【答案】a<
-l
【解析】画出两个函数y=ax和y—,x4-x在1.0,31
上的图象如图知当
0,31时总有ax_,x4-X所以
巩固
1.不等式sin2x-4sinx•1-a:
0有解,则a的取值范围是
2.已知两函数fx=7x2-28x-c,gx=2x34x^40x,对任意1-3,3],都有
fx勺X成立,求实数c的取值范围;
3.已知两函数fXi=7x2-28x-c,gxi;
=2x3-4x2-40x,存在x•[七3],使fx勺x
成立,求实数c的取值范围;
4.已知两函数fx=7x2-28x-c,gx=2x3•4x2-40x,对任意|』,3],都有
f咅_gx2,求实数c的取值范围;
5.已知两函数fx=7x2-28x-c,gx=2x3・4x2—40x,存在xi,x^(3,3],都有
fxi_gx2,求实数c的取值范围;
1.【答案】a.2
【解析】原不等式有解=a.sin2x-4sinx•1=sinx-2;
-3[-l^sinx^l有解,而
2.【答案】c_45
【解析】设h(x尸g(x)_f(x)=2x3_3x2_12x*,问题转化为x运[七3[时,h(x)ZO恒成立,故hminX_0。
令Jxi=6x2-6x_12=6xJx—2=0,得x=-1或2。
由导数知识,可知hx在日-11单调递增,在口,21单调递减,在|2,31单调递增,且h」=c-45,hX极大值二h-1=C7,
hIX极小值=h2=C-20,h\3=C—9,.•.hmm[X=h「3=c_45,由C-45.丄0,得C.丄45。
3.【答案】c_J
【解析】据题意:
存在I-3,3],使fX匀x成立,即为:
hx=gx-fx_0在I-3,3I
有解,故hmaxX_0,知hmaxXj=C_0,于是得C。
4.【答案】c-195
【解析】它与
(1)问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意X1,X2•2,3],都有fX1<
gx2成立,不等式的左右两端函数的自变量不同,X1,X2的取值在[G3]上具有
任意性,.••要使不等式恒成立的充要条件是:
fmax(X)乞gmin(X)?
?
X・【弋⑧。
f(x)=7(x—22—c—28,x壬I~3,3].•.f(X爲=f戸47—c,
•/gX=6x2・8x-40=23x10x-2gx=0在区间l_3,3I上只有一个解x=2。
g(x瓜=g
(2)=78,.147—c兰48,即cH195.
5.【答案】c_-130
【解析】存在Xi,X2・〔3,3],都有f各乞gX2,等价于fmin咅冬gmax*2,由⑶得
fminX1-f2=~c-28,gmaxX2-g_3-102,—c~'
28_102=C一-〔30拔高
1322
1.设函数f(x)x2ax-3axb(0:
1,bR).
(i)求函数fx的单调区间和极值;
(n)若对任意的x^[a+1,a+2],不等式’「(x]兰a成立,求a的取值范围。
2.设fx二px-q-21nx,且fe二qe-卫-2(e为自然对数的底数)
xe
(1)求p与q的关系;
(2)若fX在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;
1.【答案】见解析.
【解析】
(I)f(x^-x24ax-3a2
令f(x)・0,得f(x)的单调递增区间为(a,3a)
令f(x):
0,得f(x)的单调递减区间为(一二,a)和(3a,「:
)
•••当x=a时,f(x)极小值=一a■b;
当x=3a时,f(x)极小值=b.
(n)由|f(x)|-a,得一a-—x24ax—3a2_a.①
•-f(x)二-x2'
4ax-3a2在[a1,a2]上是减函数.
于是,对任意x•[a1,a2],不等式①恒成立,等价于
—a兰4a—4,&
刀/戸44
丿解侍一兰a兰1.又0<
a<
1,
a畠2a-1.55
见解析.
(
1)由题意得fe=pe-q-2lne=qe-卫-2=
ee
所以p=q
令hx二px2-2x•p,要使fx在其定义域(0,•:
)内为单调函数,只需hx在
(0,•:
)内满足:
hx_0或hx<
0恒成立.
1当p乞0时,px<
0,-2x:
0=hx:
0,所以fx在(0,V)内为单调递减,故
P乞0;
2当p0时,hx=px-2xp,其图象为开口向上的抛物线,对称轴为
x0,•:
P
‘111
•••hmin(x)=h=P-,只需p——工0,即P^1时,h(x)兰0,f'
(X)K0,IP丿pP
fx在(0,•:
)内为单调递增,故p-1适合题意.
综上可得,P-1或p^0.
五课堂小结
高考中对导数在结数上的应用要求很高,而且每年都有考题,用导数证明不等式,一般
以解答题的形式出现,综合性比较大,有难度,需要学生在学习过程中一定要突破这个难关,
提供综合应用知识的能力。
为了解决好下面的问题,我们一定要学好导数这一知识点,掌握
它的研究问题的精髓,这样有利于更好的研究函数,提高做题的质量。
本节课主要研究的内容为:
(1)函数中含参数的单调性与最值
(2)函数中的最值问题
(3)用导数证明不等式
六、课后作业
基础
1.对于满足p兰2的所有实数p,求使不等式x2+px+1np+2x恒成立的x
2•存在实数x,使得不等式x3■x<
a^3a有解,则实数a的取值范围为.
3•设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x€R.
(1)求f(x)的单调区间及极值;
⑵求证:
当a>
ln2—1且x>
0时,ex>
x2—2ax+1.
1.【答案】见解析•
【解析】不等式即x-1p2x10,设fp二x-1p2x1
f|f(—2)^04x+3a0x>
3或x<
[-2,2]上恒大于0,故有:
=:
2=亠
J
(2)a0-1>
0公>
1或x£
—,
x3
2.
的取值范围。
,则fp在
=X”一1或
[答案】见解析
又x3x_xx-K=4,•••a2—3a_4,解得a_4或a乞—1。
3.【答案】见解析•
(1)解:
由f(x)=ex—2x+2a,x€R知f'
x)=ex—2,x€R.
令f'
x)=0,得x=In2.于是当x变化时,f'
x),f(x)的变化情况如下表:
(—a,ln2)
In2
(In2,+a)
f'
x)
一
+
f(x)
单调递减4
2(1—In2+a)
单调递增/
故f(x)的单调递减区间是(一汽In2),单调递增区间是(In2,+m),
f(x)在x=In2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2—2ln2+2a=2(1—In2+a).
x2x
(2)证明:
设g(x)=e—x+2ax—1,x€R,于是g'
x)=e—2x+2a,x€R.由⑴知当a>
ln2—1时,g'
x)最小值为g'
(In2)2(1—In2+a)>
0.
于是对任意x€R,都有g'
x)>
0,所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>
ln2—1时,对任意x€(0,+都有g(x)>
g(0).
而g(0)=0,从而对任意x€(0,+a),g(x)>
即ex—x2+2ax—1>
0,故ex>
1.巩固数fx=Inx—ax,gx=ex—ax,其中a为实数.若fx在(1,+:
)上是单
调减函数,且g(x)在(1,+:
)上有最小值,求a的取值范围.
32
2.已知函数f(x)=x-3xx2,当k<
1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点。
3.设函数fx[=1-e.证明:
当x•-1时,fx-
x+1
1.【答案】见解析•
11一ax
【解析】令fx二一一a=0,考虑到fx的定义域为(0,,
故a・0,进而解得xa—S即fx在(a—;
+:
)上是单调减函数.
同理,f(x在(0,a—1)上是单调增函数.由于f(x在(1,+«
)上是单调减函数,
故(1,+)(a—1,+:
),从而a一1乞1,即a_1.
令gx=ex—a=0,得x=Ina.当x:
Ina时,gx:
0;
当xIna时,gx「0.
又g(x)在(1,+:
)上有最小值,所以Ina1,即ae.
综上,a的取值范围为(e,+:
J.
2.【答案】见解析
【解析】当k:
1时,令f(x)-kx•2=x3-3x2•x-kx•4=0,则
x2—3xT4=k,x=0,
24
令g(x)=x-3x1-,
令h(x)=2x3-3x2-4,则h(x)二6x2-6x=6x(x-1),
.当x(0,1)时,h(x):
0,h(x)递减,当x(-:
,0)(1,-:
)时,h(x)0,h(x)递
增;
且h(0):
0,h
(2)=0。
当x:
2时,h(x)<
0,g(x)<
0,g(x)在(」:
0)(0,2)上递减;
当x2时,h(x)0,g(x)0,g(x)在(2,:
)上递增;
当x(0/:
)时,g(x)-g
(2)=1;
当(-=0)时,单调递减,且g(x)・R,
即当k:
1时,曲线y二f(x)与直线y二kx-2只有一个根。
所以当k”:
1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点。
3.【答案】见解析.
【解析】当x•-1时,f(x)—
令g(x)ex-xT,贝Ug'
(x)ex-1.
当x-0时g(x)-0,g(x)在0.*是增函数:
当x^O时g(x)岂0,g(x)在:
i-匚?
.0
是减函数,于是g(x)在x=0处达到最小值,
因而当x*R时,g(x)-g(0),即ex-1x,
所以当X•-1时,f(x)-
X+1
I拔高I
1•设函数f(x)=x•ax2blnx,曲线y二f(x)过P(1,0),且在P点处的切斜线率为2.
誇(―1)。
(I)求a,b的值;
(II)证明:
f(x)^2x-2
2•设f(x)=1nx*長-1,证明:
当x1时,f(x)
「【答案】
(1)a=_1,b=3.
(2)如下
b
【解析】(I)f(x)=12ax-由已知条件得
a--1,b=3.
(II)f(x)定义域为(0/:
),由(I)知f(x)=x-x3lnx.
设g(x)二f(x)_(2x-2)=2-x-x23lnx,则g(x)=1「2x.-(从熔3).
当0:
x:
1时,g(x)0;
当x1时,g(x):
0,
所以g(x)在(0,1)单调增加,在(1「:
)单调减少,
而g
(1)=0,故当x0时,g(x)-0,
即f(x)乞2x—2。
2.[答案】见解析
3113
【解析】记g(x)-|nx,,又
2x2以2
g
(1)=0,有g(x):
0,即f(x):
2(x—1)
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