学年高中数学新人教版必修2教案第1章 121 中心投影与平行投影 122 空间几何体的三视图.docx
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学年高中数学新人教版必修2教案第1章121中心投影与平行投影122空间几何体的三视图
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图
1.了解中心投影和平行投影.
2.能画出简单空间图形(柱、锥、台球及其组合体)的三视图.(重点)
3.能识别三视图所表示的立体模型.(难点、易混点)
[基础·初探]
教材整理1 投影的概念
阅读教材P11~P12第二行内容,完成下列问题.
1.投影的定义
由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.其中,把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫做投影面.
2.中心投影与平行投影
投影
定义
特征
分类
中心
投影
光由一点向外散射形成的投影
投影线交于一点
平行
投影
在一束平行光线照射下形成的投影
投影线互相平行
正投影和斜投影
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)矩形的平行投影一定是矩形.( )
(2)平行四边形的平行投影可能是正方形.( )
(3)两条相交直线的平行投影可能平行.( )
(4)如果一个三角形的投影仍是三角形,那么它的中位线的平行投影,一定是这个三角形的平行投影的中位线.( )
【解析】 利用平行投影的概念和性质进行判断.
【答案】
(1)×
(2)√ (3)× (4)√
教材整理2 三视图
阅读教材P12第三行~P14内容,完成下列问题.
三视图
概念
规律
正视图
光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图
一个几何体的正视图和侧视图高度一样,正视图和俯视图长度一样,侧视图与俯视图宽度一样
侧视图
光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图
俯视图
光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图
一个几何体的三视图如图121所示,则该几何体可以是( )
图121
A.棱柱B.棱台
C.圆柱D.圆台
D [先观察俯视图,再结合正视图和侧视图还原空间几何体.由俯视图是圆环可排除A,B,由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C,故选D.]
[小组合作型]
中心投影与平行投影
如图122,点E,F分别是正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图中的________.(要求把可能的序号都填上)
图122
【精彩点拨】 利用点B,F,D1,E在正方体各面上的正投影的位置来判断.
【自主解答】 其中
(2)可以是四边形BFD1E在正方体的面ABCD或在面A1B1C1D1上的投影.
(3)可以是四边形BFD1E在正方体的面BCC1B1上的投影.
【答案】
(2)(3)
画投影图的关键及常用方法
1.关键:
画一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点,端点等)及这些关键点的投影,再依次连接就可得到图形在投影面上的投影.
2.常用方法:
投影问题与垂直关系紧密联系,投影图形的形状与投影线和投射图形有关系,在解决有些投影问题时,常借助于正方体模型寻求解题方法.
[再练一题]
1.在正方体ABCDA′B′C′D′中,E、F分别是A′A、C′C的中点,则下列判断正确的是________.
图123
①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形;
②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形;
③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形.
【解析】 ①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A,故投影是正方形,正确;②设正方体的边长为2,则AE=1,取D′D的中点G,则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E,由AE∥D′G,且AE=D′G,∴四边形AGD′E是平行四边形.但AE=1,D′E=
,故四边形AGD′E不是菱形;对于③,由②知是两个边长分别相等的平行四边形,从而③正确.
【答案】 ①③
画空间几何体的三视图
画出下列几何体的三视图.
(1)
(2) (3)
图124
【精彩点拨】
→
→
→
【自主解答】 三视图如图
(1)
(2)(3)所示.
画三视图的注意事项
1.务必做到长对正,宽相等,高平齐.
2.三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置,且正视图在左,侧视图在右,俯视图在正视图的正下方.
3.若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法.
[再练一题]
2.画出如图125所示几何体的三视图.
图125
【解】 图①为正六棱柱,正视图和侧视图都是矩形,正视图中有两条竖线,侧视图中有一条竖线,俯视图是正六边形.图②为一个圆锥与一个圆台的组合体,按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状.三视图如图所示.
[探究共研型]
由三视图还原空间几何体
探究1 如图126是一个立体图形的三视图,请观察三视图,由三视图,你能知道该几何体是什么吗?
并试着画出图形.
图126
【提示】 由三视图可知,该几何体为正四棱锥,如图所示.
探究2 若某空间几何体的正视图和侧视图均为正三角形,请探究该几何体的形状.
【提示】 若该几何体的正视图和侧视图均为正三角形,则该几何体为轴截面为等边三角形的圆锥,如图所示.
根据三视图(如图127所示)想象物体原形,指出其结构特征,并画出物体的实物草图.
图127
【精彩点拨】 由正视图、侧视图确定几何体为锥体,再结合俯视图确定其是四棱锥,由俯视图可知其底面形状,再结合正视图、侧视图所给信息画直观图.
【自主解答】 由俯视图知,该几何体的底面是一直角梯形;再由正视图和侧视图知,该几何体是一四棱锥,且有一侧棱与底面垂直,所以该几何体如图所示.
由三视图还原几何体时,一般先由俯视图确定底面,由正视图与侧视图确定几何体的高及位置,同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状.
[再练一题]
3.如图128是一个物体的三视图,则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体?
( )
图128
【解析】 由俯视图可知该几何体为旋转体,由正视图、侧视图、俯视图可知该几何体是由圆锥、圆柱组合而成.
【答案】 D
1.一条直线在平面上的正投影是( )
A.直线B.点
C.线段D.直线或点
【解析】 当直线与平面垂直时,其正投影为点,其他位置时其正投影均为直线,故选D.
【答案】 D
2.已知某物体的三视图如图129所示,那么这个物体的形状是( )
图129
A.长方体
B.圆柱
C.立方体
D.圆锥
【解析】 俯视图是圆,所以为旋转体,可排除A、C,
又正、侧视图为矩形,所以不是圆锥,排除D.故选B.
【答案】 B
3.水平放置的下列几何体,正视图是长方形的是______(填序号).
① ② ③ ④
图1210
【解析】 ①③④的正视图为长方形,②的正视图为等腰三角形.
【答案】 ①③④
4.一物体及其正视图如图1211:
① ② ③ ④
图1211
则它的侧视图与俯视图分别是图形中的________.
【解析】 侧视图是矩形中间有条实线,应选③;俯视图为矩形中间有两条实线,且为上下方向,应选②.
【答案】 ③②
5.如图1212所示的三视图表示的几何体是什么?
画出物体的形状.
图1212
【解】 该三视图表示的是一个四棱台,如图.
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