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X≤μ+3σ)=0.9974.
由P(μ-3σ<
X≤μ+3σ)=0.9974,知正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之为3σ原则.
题型一 正态曲线
例1 如图为某地成年男性体重的正态曲线图,请写出其正态分布密度函数,并求P(|X-72|<
20).
解 由图可知μ=72,σ=10,故正态分布密度函数为
x∈(-∞,+∞).
则P(|X-72|<
20)=P(|X-μ|<
2σ)=P(μ-2σ<
X<
μ+2σ)=P(μ-2σ<
X≤μ+2σ)-P(X=μ+2σ)=0.9544-0=0.9544.
反思与感悟 利用图象求正态密度函数的解析式,关键是找对称轴x=μ与最值
,这两点确定以后,相应参数μ,σ的值便确定了.
跟踪训练1 如图所示是一个正态曲线.试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式,求出总体随机变量的均值和方差.
解 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是
,所以μ=20.
=
,解得σ=
.
于是概率密度函数的解析式是
总体随机变量的均值是μ=20,
方差是σ2=(
)2=2.
题型二 利用正态分布求概率
例2 设ξ~N(1,22),试求:
(1)P(-1<ξ≤3);
(2)P(3<ξ≤5);
(3)P(ξ≥5).
解 ∵ξ~N(1,22),∴μ=1,σ=2,
(1)P(-1<ξ≤3)=P(1-2<ξ≤1+2)
=P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6826
(2)∵P(3<ξ≤5)=P(-3<ξ≤-1),
∴P(3<ξ≤5)=
[P(-3<ξ≤5)-P(-1<ξ≤3)]
[P(1-4<ξ≤1+4)-P(1-2<ξ≤1+2)]
[P(μ-2σ<x≤μ+2σ)-P(μ-σ<x≤μ+σ)]
(0.9544-0.6826)=0.1359.
(3)P(ξ≥5)=P(ξ≤-3)=
[1-P(-3<ξ≤5)]
[1-P(1-4<ξ≤1+4)]
[1-P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)]
(1-0.9544)=0.0228.
反思与感悟 解答此类题目的关键在于运用3σ原则将给定的区间转化为用μ加上或减去几个σ来表示;
当要求服从正态分布的随机变量的概率所在的区间不对称时,不妨先通过分解或合成,再通过求其对称区间概率的一半解决问题.经常用到如下转换公式:
①P(x≥a)=1-P(x<a);
②若b<μ,则P(X<μ-b)=
跟踪训练2 设ξ~N(1,1),试求:
(1)P(0<
ξ≤2);
(2)P(2<
ξ≤3);
(3)P(ξ≥3).
解 ∵ξ~N(1,1),∴μ=1,σ=1.
ξ≤2)=P(1-1<
ξ≤1+1)
=P(μ-σ<
ξ≤μ+σ)=0.6826.
(2)∵P(2<
ξ≤3)=P(-1<
ξ≤0),
∴P(2<
ξ≤3)=
[P(-1<
ξ≤3)-P(0<
ξ≤2)]
[P(1-2<
ξ≤1+2)-P(1-1<
ξ≤1+1)]
[P(μ-2σ<
ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ<
ξ≤μ+σ)]
×
(3)∵P(ξ≥3)=P(ξ≤-1),
∴P(ξ≥3)=
[1-P(1-2<
ξ≤1+2)]
[1-P(μ-2σ<
ξ≤μ+2σ)]
题型三 正态分布的实际应用
例3 某厂生产的圆柱形零件的外直线ξ(单位:
cm)服从正态分布N(4,0.52).质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查1件,测得它的外直径为5.7cm,试问:
该厂生产的这批零件是否合格?
解 由于外直径ξ~N(4,0.52),
则ξ在(4-3×
0.5,4+3×
0.5)之内取值的概率为0.9974,在(2.5,5.5)之外取值的概率为0.0026,
而5.7∉(2.5,5.5),这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的小概率事件,据此可以认为这批零件是不合格的.
反思与感悟 解题时,应当注意零件尺寸应落在(μ-3σ,μ+3σ)之内,否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的,而一旦发生了,就可以认为这批产品不合格.
跟踪训练3 在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现在已知该班同学中成绩在80~85分的有17人,该班成绩在90分以上的同学有多少人?
解 ∵成绩服从正态分布N(80,52),
∴μ=80,σ=5,则μ-σ=75,μ+σ=85.
∴成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%,成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.13%.
设该班有x名同学,则x×
34.13%=17,解得x≈50.
∵μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90,
∴成绩在(75,90]内的同学占全班同学的95.44%,成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%.
即有50×
2.28%≈1(人),即成绩在90分以上的仅有1人.
用3σ原则解决正态分布问题
例4 在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100),已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人.
(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人?
(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生,问受奖学生的分数线是多少?
分析 把“成绩在90分以上(含90分)的学生有13人”这一信息转化为概率问题,利用正态分布概率的知识求解.
解
(1)设学生的成绩为X,共有n人参加竞赛,
因为X~N(60,100),所以μ=60,σ=10,
P(X≥90)=
[1-P(30<
90)]=
(1-0.9974)=0.0013.
又P(X≥90)=
,所以
=0.0013,所以n=10000.
(2)设受奖学生的分数线为x0.
则P(X≥x0)=
=0.0228.
因为0.0228<
0.5,所以x0>
60.
所以P(120-x0<
x0)=1-2P(X≥x0)=95.44%,
所以x0=60+20=80.
故受奖学生的分数线是80分.
点评
(1)把握正态分布图象的对称性
强化对其图象对称性的认识,可较好地解决与之相关的概率问题,如本例先后两次利用了图象的对称性求其概率.
(2)强化转化意识
求解此类问题的关键是实际问题数学模型化,如本例在求解过程中,反复利用正态分布的“3σ原则”解题,突出了转化及化归思想的应用.
1.正态分布N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率为P1,P2,则二者大小关系为( )
A.P1=P2B.P1<P2
C.P1>P2D.不确定
答案 A
解析 根据正态曲线的特点,图象关于x=0对称,可得在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率P1,P2相等.
2.已知某批零件的长度误差(单位:
毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附:
若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<
ξ≤μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<
ξ≤μ+2σ)=95.44%)
A.4.56%B.13.59%
C.27.18%D.31.74%
答案 B
解析 P(3<
ξ<
6)=
[P(-6<
6)-P(-3<
3)]=
(95.44%-68.26%)=13.59%.故选B.
3.设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>
c+1)=P(ξ<
c-1),则c等于( )
A.1B.2C.3D.4
解析 ∵ξ~N(2,9),
又P(ξ>
c-1),
∴
=2,∴c=2.
4.在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>
0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为.
答案 0.8
解析 如图,易得P(0<
1)=P(1<
2),故P(0<
2)=2P(0<
1)=2×
0.4=0.8.
5.已知X~N(1.4,0.052),则X落在区间(1.35,1.45]内的概率是.
答案 0.6826
解析 已知X~N(1.4,0.052),则μ=1.4,σ=0.05.
故X落在(1.35,1.45]内的概率为P(1.4-0.05<
x≤1.4+0.05)=0.6826.
1.在正态分布N(μ,σ2)中,参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,即总体随机变量的均值,它可以用样本的均值去估计,其取值是任意的实数.参数σ是反映随机变量总体波动大小的特征数,即总体随机变量的标准差,它可以用样本的标准差去估计,其取值范围是正数,即σ>
0.
2.正态总体在某个区间内取值的概率求法:
(1)熟记P(μ-σ<
X≤μ+σ),P(μ-2σ<
X≤μ+2σ),P(μ-3σ<
X≤μ+3σ)的值.
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.
①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等.
②P(X<
a)=1-P(X≥a),P(X<
μ-a)=P(X≥μ+a),
若b<
μ,则P(X<
μ-b)=
3.因为P(μ-3σ<
X≤μ+3σ)=0.9974,所以正态总体X几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,而在此区间以外取值的概率只有0.0026,这是一个小概率事件,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,这是统计中常用的假设检验基本思想.
一、选择题
1.设随机变量X服从正态分布,且相应的概率密度函数为φ(x)=
e
,则( )
A.μ=2,σ=3B.μ=3,σ=2
C.μ=2,σ=
D.μ=3,σ=
答案 C
解析 由φ(x)=
,得μ=2,σ=
故选C.
2.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),且P(X≤4)=0.84,则P(2<X<4)=( )
A.0.84B.0.68
C.0.32D.0.16
解析 由于随机变量X服从正态分布N(3,σ2),又P(X≤4)=0.84,所以P(X≥4)=P(X≤2)=0.16,P(2<X<4)=1-0.32=0.68.
3.若随机变量X服从正态分布,其正态曲线上的最高点的坐标是(10,
),则该随机变量的方差等于( )
A.10B.100C.
D.
解析 由正态分布密度曲线上的最高点为(10,
)知
,∴D(X)=σ2=
4.设随机变量X~N(μ,σ2),且X落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等,若P(X>
2)=p,则P(0<
2)等于( )
A.
+pB.1-p
C.1-2pD.
-p
答案 D
解析 由X落在(-3,-1)内的概率和落在(1,3)内的概率相等得μ=0.
又∵P(X>
2)=p,∴P(-2<
x<
2)=1-2p,
∴P(0<
2)=
-p.
5.已知一次考试共有60名学生参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数在下列哪个区间内?
( )
A.(90,110]B.(95,125]
C.(100,120]D.(105,115]
解析 ∵X~N(110,52),∴μ=110,σ=5.
因此考试成绩在区间(105,115],(100,120],(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974.
由于一共有60人参加考试,
故成绩位于上述三个区间的人数分别是
60×
0.6826≈41(人),60×
0.9544≈57(人),
0.9974≈60(人).
6.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<
4)=0.8,则P(0<
A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2
解析 ∵P(ξ<
4)=0.8,
∴P(ξ>
4)=0.2.
由题意知图象的对称轴为直线x=2,
P(ξ<
0)=P(ξ>
4)=0.2,
4)=1-P(ξ<
0)-P(ξ>
4)=0.6.
P(0<
4)=0.3.
7.设随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),则函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点的概率为( )
B.
C.
解析 函数f(x)=x2+2x+ξ不存在零点的条件是Δ=22-4×
1×
ξ<0,解得ξ>1.又ξ~N(1,σ2),所以P(ξ>1)=
,即所求事件的概率为
二、填空题
8.已知随机变量x~N(2,σ2),如图所示,若P(x<
a)=0.32,则P(a≤x<
4-a)=.
答案 0.36
解析 由正态分布图象的对称性可得:
P(a≤x<
4-a)=1-2P(x<
a)=0.36.
9.已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X≤1)=0.5,则实数a的值为.
答案 1
解析 ∵X服从正态分布N(a,4),
∴正态曲线关于直线x=a对称,
又P(X≤1)=0.5,故a=1.
10.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示,若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数约为.
答案 683
解析 依题意可知,μ=60.5,σ=2,故P(58.5<
X≤62.5)=P(μ-σ<
X≤μ+σ)=0.6826,从而属于正常情况的人数为1000×
0.6826≈683.
11.已知某正态分布的概率密度函数为f(x)=
,x∈(-∞,+∞),则函数f(x)的极值点为,X落在区间(2,3]内的概率为.
答案 x=1 0.1359
解析 由正态分布的概率密度函数知μ=1,σ=1,所以总体分布密度曲线关于直线x=1对称,且在x=1处取得最大值.根据正态分布密度曲线的特点可知x=1为f(x)的极大值点.由X~N(1,1)知P(2<
X≤3)=
X≤3)-P(0<
X≤2)]=
[P(1-2×
1<
X≤1+2×
1)-P(1-1<
X≤1+1)]=
三、解答题
12.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数
和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数
,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(187.8<
Z<
212.2);
②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用①的结果,求E(X).
附:
≈12.2.
若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<
μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<
μ+2σ)=0.9544.
解
(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数
和样本方差s2分别为
=170×
0.02+180×
0.09+190×
0.22+200×
0.33+210×
0.24+220×
0.08+230×
0.02=200,
s2=(-30)2×
0.02+(-20)2×
0.09+(-10)2×
0.22+0×
0.33+102×
0.24+202×
0.08+302×
0.02=150.
(2)①由
(1)知,Z~N(200,150),从而P(187.8<
212.2)=P(200-12.2<
200+12.2)=0.6826.
②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知X~B(100,0.6826),所以E(X)=100×
0.6826=68.26.
13.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.
(1)求p0的值;
(2)某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备A型车、B型车各多少辆?
解
(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502),
故有μ=800,σ=50,P(700<X≤900)=0.9544.
由正态分布的对称性,可得
p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900)
+
P(700<X≤900)=0.9772.
(2)设A型,B型车辆的数量分别为x,y辆,则相应的营运成本为1600x+2400y.
依题意,x,y还需满足:
x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥p0.
由
(1)知,p0=P(X≤900),
故P(X≤36x+60y)≥p0等价于36x+60y≥900.
于是问题等价于求满足约束条件
且使目标函数z=1600x+2400y达到最小的x,y.
作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6).
由图可知,当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时,直线z=1600x+2400y在y轴上截距
最小,即z取得最小值.
故应配备A型车5辆、B型车12辆.
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