大物2期末复习doc.docx
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大物2期末复习doc
练习一静电场中的导体
三、计算题
1.已知某静电场在
xy平面内的电势函数为
U=Cx/(x2+y2)3/2,其中C
为常数.求
(1)x轴上任意一点,
(2)y轴上任意一点电场强度的大小和方向.
解:
.
Ex=
U/x
=C[1/(x2+y2)3/2+x(
3/2)2x/(x2+y2)5/2]
=(2x2
y2)C/(x2+y2)5/2
图
Ey=
U/y
=
Cx(
3/2)2y/(x2+y2)5/2=3Cxy/(x2+y2)5/2
x轴上点(y=0)
x
25
3
y
E=2Cx/x=2C/x
E=0
E=2Ci/x3
y轴上点(x=0)
Ex=
Cy2/y5=
C/y3
Ey=0
E=
Ci/y3
2.如图,一导体球壳A(内外半径分别为R2,R3),同心地罩在一接地导体球B(半径为R1)上,今
给A球带负电Q,求B球所带电荷QB及的A球的电势UA.静电场中的导体答案
解:
2.B球接地,有UB=U
=0,
UA=UBA
U=(Q+Q)/(4
R)
A
B
03
U
=[Q/(4
0
)](1/R
1/R)
BAB
2
1
得
QB=QR1R2/(R1R2+R2R3
R1R3)
U=[Q/(4
0
R)][
1+RR/(RR+RR
RR)]
A
3
1
2
1
2
2
3
1
3
=Q(R
R)/[4
0
(RR+RR
RR)]
2
1
1
2
2
3
1
3
练习二静电场中的电介质
三、计算题
1.如图所示,面积均为S=的两金属平板A,B平行对称放置,间距为
d=1mm,今给A,B两板分别带电
1
-9
2
-9
A
B
Q=×10C,Q
=×10C.忽略边缘效
Q
2
应,
1
Q
求:
(1)
两板共四个表面的面电荷密度
1
2
3
4
1
2
3
4
;
(2)
两板间的电势差
V=U
-U.
A
B
图
解:
1.
在A板体内取一点A,
B板体内取一点
B,它们的电场强度是四
个表面的电荷产生的,应为零,有
E=
/(2
0
)
/(2
)
/(2
)
/(2
)=0
A
1
2
0
3
0
4
0
E=
/(2
0
)+
2
/(2
0
)+
/(2
)
4
/(2
0
)=0
A
1
3
0
而
S(
1
2
1
S(
3
+
4
2
+
)=Q
)=Q
有
1
2
3
4=0
1+
2+
3
4=0
1
+
2
1
=Q/S
3
+
4
2
=Q/S
解得
1=
4=(Q1+Q2)/(2S)=
10
8C/m2
2=
3=(Q1
Q2)/(2S)=
10
8C/m2
两板间的场强
E=
2
/
0
1
2
0
=(Q
Q)/(2
S)
B
dl
V=UA-UB
E
A
=Ed=(Q1Q2)d/(20S)=1000V
四、证明题
1.如图所示,置于静电场中的一个导体,在静电平衡后,
导体表面出现正、负感应电荷.试用静电场的环路定理证明,
导体
图中从导体上的正感应电荷出发,终止于同一导体上的负感
应电荷的电场线不能存在.
解:
1.设在同一导体上有从正感应电荷出发,终止于负感
图
应电荷的电场线.沿电场线ACB作环路ACBA,导体内直线BA的场强为零,ACB的电场与环路同向于是有
Edl
Edl
A
dl=Edl0
B
E2
C
l
ACB
B
ACB
与静电场的环路定理
Edl
0相违背,故在
A
l
同一导体上不存在从正感应电荷出发,终止于负感应电荷的电场
线.
练习三电容静电场的能量
三、计算题
1.半径为R1的导体球带电Q,球外一层半径为R2相对电容率
为r的同心均匀介质球壳,其余全部空间为空气.如图所示.求:
(1)
离球心距离为r1(r1
(2)离球心
r1,r2,r3,处的U;(3)介质球壳内外表面的极化电荷.
解:
1.
(1)因此电荷与介质均为球对称,电场也球对称,过场点作与
金属球同心的球形高斯面,有
DdSq0i
S
R2
图
2
0i
4
rD=
q
当r=5cm q0i=0得 D1=0, E1=0 当r=15cm(R1 q0i=Q=×108C 得 D2=Q/(4 r2)=×10 8C/m2 2 0 r r 2 )=× 3 E=Q/(4 10N/C 当r=25cm(r>R1+d) q0i=Q=×108C 得 D3=Q/(4 r2)=×10 8C/m2 3 0 2 4 E=Q/(4 r )=×10N/C D和E的方向沿径向. (2) 1 1 Edl 当r=5cm U= r R Rd r E1dr R E2dr E3dr Rd =Q/(4 0 rR) Q/[4 0 r(R+d)]+Q/[4 0(R+d)] 当r=15cm =540V 时 U= E dl Rd E3dr E2dr 2 r r Rd =Q/(4 r) Q/[4 (R+d)] 0 r 0 r (R+d)]+Q/[4 0 =480V 当r=25cm U3= E dl E3dr=Q/(4 0r)=360V r r (3)在介质的内外表面存在极化电荷 P= 0 E= ( r 1)E =P·n e 0 e r=R处,介质表面法线指向球心 =Pe·n=Pecos = 0( r 1)E q= S= 0( r1)[Q/(4 0 rR2)]4 R2 = ( r 1)Q/ r × 8 = 10C r=R+d处,介质表面法线向外 =Pe·n=Pecos0= 0( r 1)E q= S= 0( r 1)[Q/(4 0 r(R+d)2]4 (R+d)2 =( r 1)Q/ r 8 C =×10 2.两个相距很远可看作孤立的导体球,半径均为 10cm,分别充电至 200V和400V,然后 用一根细导线连接两球,使之达到等电势 .计算变为等势体的过程中,静电力所作的功. 解;2.球形电容器C=40R Q=CV=4 0 RV Q=CV=4 0 RV 1 1 1 1 2 2 2 2 W0=C1V12/2+C2V22/2=2 0R(V12+V22) 两导体相连后 C=C12 0 +C=8 R Q=Q+Q=CV+CV=4 0 R(V+V) 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 = 0R(V1+V2)2 W=Q/(2C)=[4 0R(V1+V2)]/(16 0R) 静电力作功 A=W0W =2 0 12 22 0 1 2 2 = 0 1 2 2 R(V+V) R(V+V) R(V V) =×107J 练习六磁感应强度毕奥—萨伐尔定律 三、计算题 1.如图所示,一宽为2a的无限长导体薄片,沿长度方向的电流I在导体薄片上均匀分布.求中心轴线OO 上方距导体薄片为a的磁感强度. 解: 1.取宽为dx的无限长电流元 dI=Idx/(2a) r dB= dI/(2 r) 0 = 0 Idx/(4 ar) dBx=dBcos =[ 0Idx/(4 ar)](a/r) dB = 0 Idx/(4 r2)= 0 Idx/[4 (x2+a2)] y dB=dBsin = Ixdx/[4 22 Px x 0 a(x+a)] y x a 0Idx x Bx dBx a4 x2 a2 I x dI x =[0I/(4)](1/a)arctan(x/a)aa=0I/(8a) By dBy a 0Ixdx a4ax2 a2 2 2 a =[ 0 a=0 I/(8 a)]ln(x+a) x x yO P I O 2a z 图 x 2.如图所示,半径为R的木球上绕有密集的细导线,线圈平面彼 此平行,且以单层线圈覆盖住半个球面.设线圈的总匝数为N,通过 线圈的电流为 I.求球心O的磁感强度. 解: 2. 取宽为dL细圆环电流,dI=IdN=I[N/( R/2)]Rd =(2IN/ )d dB= 2 22 3/2 ] 图 dIr/[2(r+x) 0 r=Rsinx=Rcos dI dB=0NIsin2d/(R) BdB 0NIsin2d x 2 R dB R O =0NI/(4R) 练习七 毕奥—萨伐尔定律(续)磁场的高斯定理 三、计算题 1.在无限长直载流导线的右侧有面积为 S1和S2的两个矩形回路, S1 S2b 回路旋转方向如图所示, 两个回路与长直载流导线在同一平面内, 且 矩形回路的一边与长直载流导线平行 .求通过两矩形回路的磁通量及 aa 2a 通过S1 回路的磁通量与通过 2 图 S回路的磁通量之比. 解: 1.取窄条面元dS=bdr, 面元上磁场的大小为 B= 0I/(2 r),面元法线与磁场方向相反 .有 2a 0I 0bI 1 bdrcos = a2r ln2 2 4a 0Ibdrcos 0bIln2 2= / 2a2r 2 =1 1 2 2.半径为R的薄圆盘均匀带电,总电量为Q.令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线作匀 速转动,角速度为 ,求轴线上距盘心 x处的磁感强度的大小和旋转圆盘的磁矩. 解;2.在圆盘上取细圆环电荷元 dQ= 2 rdr, [=Q/(R2)],等效电流元为 dI=dQ/T= 2 rdr/(2 / )= rdr (1)求磁场,电流元在中心轴线上激发磁场的方向沿轴线 且与 同向,大小为 dB=0dIr2/[2(x2+r2)3/2]= 0 r3dr/[2(x2+r2)3/2] B R 0 r3dr 0 Rr2dr2 x2 = 0 Rr2 x2dr2 x2 02r2 x23/2 4 0r2 x232 4 r2 x232 0 0 Rx2dr2 x2 4 0 r2 x2 32 R x 2 R r2 = 0 x2 2 0 r 2 x 2 0 = 0Q R2 2x2 2x 2R2 R2 x2 (2)求磁距.电流元的磁矩 dPm=dIS= rdr r2= r2dr Pm R 3dr=R4/4=QR2/4 r 0 练习八 安培环路定律 三、计算题 1. 如图所示,一根半径为 R的无限长载流直导体,其中电流 I沿 R 2R 轴向流过,并均匀分布在横截面上 .现在导体上有一半径为R 的圆柱 形空腔,其轴与直导体的轴平行,两轴相距为 d.试求空腔中任意一 O O 点的磁感强度. d 解: 1. 此电流可认为是由半径为 R的无限长圆柱电流 I1和一个同电流 密度的反方向的半径为 R的无限长圆柱电流 I2组成. 图 I1=JR2 I2=J R 2 J=I/[ (R2 R 2)] 它们在空腔内产生的磁感强度分别为 B= r J/2 B= 0 rJ/2 B y 1 01 2 2 方向如图.有 I B B=Bsin 2 Bsin 1 =( 0 J/2)(rsin 2 rsin )=0 x 2 1 2 1 1 r1 r2 B=Bcos +Bcos O x 1 O y 2 2 1 =( 0J/2)(r2cos2+r1cos 1)=( 0J/2)d d R R 所以 B=By= 0dI/[2 (R2-R2)] 方向沿y轴正向 2.设有两无限大平行载流平面,它们的电流密度均为j,电流流向相反.求: (1)载流平面之间的磁感强度; (2)两面之外空间的磁感强度. 解;2.两无限 ① I1 大平行载流平面的截面如图 .平面电流在空间 产生的磁场 ② 2 为 B1=0J/2 在平面①的 I 上方向右,在平面①的下方向左 ; 电流②在空间产生的磁场为 B2=0J/2 在平面②的上方向左,在平面②的下方向右. (1) 两无限大电流流在平面之间产生的磁感强度方向都向左 故有 B=B+B= 0 J 1 2 (2) 两无限大电流流在平面之外产生的磁感强度方向相反 故有 B=BB=0 1 2
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