数学方案设计题型.docx
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数学方案设计题型.docx
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数学方案设计题型
中考冲刺四:
方案设计型专题
一、热点分析
中考动向
通过动手操作来解决一些数学问题特别是作图题的设计,引导学生将所学的数学知识应用于实际,从数学角度对某些日常生活出现的问题进行设计性研究,有利于学生对数学知识的实践应用能力和动手操作能力的提高,是学为之用的教改精神的具体体现,是数学教改中的一大热点.这类题目不仅要求学生要有扎实的数学双基知识,而且要能够把实际问题中所涉及到的数学问题转化、抽象成具体的数学问题,具有很普遍的实际意义,是中考热点之一.
创新意识的激发,创新思维的训练,创新能力的培养,是素质教育中最具活力的课题,考查学生的创新意识和实践能力,将是今后数学中考命题的热点之一.
近年一些省市的中考数学题中涌现了立意活泼、设计新颖、富有创新意识、培养创新能力的要求学生自我设计题目.这类命题综合考查阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力.
知识升华
题型1:
设计图形题
几何图形的分割与设计在中考中经常出现,有时是根据面积相等来分割,有时是根据线段间的关系来分割,有时根据其它的某些条件来分割,做此类题一般用尺规作图.
题型2:
设计测量方案题
设计测量方案题渗透到几何各章节之中,例如:
测量底部不能直接到达的小山的高,测量池塘的宽度,测量圆的直径等,此类题目解法不唯一,是典型的开放型试题.
题型3:
设计最佳方案题
此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语,解题时常常与函数、几何联系在一起.
二、经典例题透析
类型一、方程、函数型设计题
1.(茂名市)已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶.
(1)若甲车的速度是乙车的2倍,甲车走了90千米后立即返回与乙车相遇,相遇时乙车走了1小时.求甲、乙两车的速度;
(2)假设甲、乙每辆车最多只能带200升汽油,每升汽油可以行驶10千米,途中不能再加油,但两车可以互相借用对方的油,若两车都必须沿原路返回到出发点A,请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发点A,并求出甲车一共行驶了多少千米?
解:
(1)设甲,乙两车速度分别是x千米/时和y千米/时,
根据题意得:
.
解之得:
.
即甲、乙两车速度分别是120千米/时、60千米/时.
(2)方案一:
设甲汽车尽可能地远离出发点A行驶了x千米,乙汽车行驶了y千米,则
. ∴
即
.
即甲、乙一起行驶到离A点500千米处,然后甲向乙借油50升,乙不再前进,甲再前进1000千米返回到乙停止处,再向乙借油50升,最后一同返回到A点此时,甲车行驶了共3000千米.
方案二:
(画图法)
如图
此时,甲车行驶了方案三:
先把乙车的油均分4份,每份50升.当甲乙一同前往,用了50升时,甲向乙借油50升,乙停止不动,甲继续前行,当用了100升油后返回,到乙停处又用了100升油,此时甲没有油了,再向乙借油50升,一同返回到A点.此时,甲车行驶了
(千米).
举一反三:
【变式1】(鄂尔多斯)有甲、乙两家通迅公司,甲公司每月通话的收费标准如左图所示;乙公司每月通话收费标准如右表所示.
(1)观察图,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是__________元;甲公司用户通话100分钟以后,每分钟的通话费为_________元;
(2)李女士买了一部手机,如果她的月通话时间不超过100分钟,她选择哪家通迅公司更合算?
如果她的月通话时间超过100分钟,又将如何选择?
解:
(1)
;
(2)通话时间不超过100分钟选甲公司合算
设通话时间为
分钟(
),甲公司用户通话费为
元,乙公司用户通话费为
元.
则:
当
即:
时,
当
即:
时,
当
即:
时,
答:
通话时间不超过500分钟选甲公司;500分钟选甲、乙公司均可;超过500分钟选乙公司.
举一反三:
【变式2】(河北省)光华农机租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台.现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦,其中30台派往A地区,20台派往B地区.
两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表:
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800元
1600元
B地区
1600元
1200元
(1)设派往A地区x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元),求y与x间的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元,说明有多少种分派方案,并将各种方案设计出来;
(3)如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高,请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议.
解:
(1)若派往A地区的乙型收割机为x台,则派往A地区的甲型收割机为(30-x)台;
派往B地区的乙型收割机为(30-x)台,派往B地区的甲型收割机为(x-10)台.
∴y=1600x+1800(30-x)+1200(30-x)+1600(x-10)=200x+74000.
x的取值范围是:
10≤x≤30(x是正整数).
(2)由题意得200x+74000≥79600,
解不等式得x≥28.由于10≤x≤30,∴x取28,29,30这三个值,
∴有3种不同分配方案.
①当x=28时,即派往A地区甲型收割机2台,乙型收割机28台;派往B地区甲型收割机18台,乙型收割机2台.
②当x=29时,即派往A地区甲型收割机1台,乙型收割机29台;派往B地区甲型收割机19台,乙型收割机1台.
③当x=30时,即30台乙型收割机全部派往A地区;20台甲型收割机全部派往B地区.
(3)由于一次函数y=200x+74000的值y是随着x的增大而增大的,所以,当x=30时,y取得最大值.
如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高,只需x=30,
此时,y=6000+74000=80000.
建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区;20台甲型收割要全部派往B地区,可使公司获得的租金最高.
类型二、统计型设计题
2.(江西省)某学校举行演讲比赛,选出了10名同学担任评委,并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分):
方案1所有评委所给分的平均数.
方案2在所有评委所给分中,去掉一个最高分和一个最低分,然后再计算其余给分的平均数.
方案3所有评委所给分的中位数.
方案4所有评委所给分的众数.
为了探究上述方案的合理性,先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验.下面是这个同学的得分统计图:
(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分;
(2)根据
(1)中的结果,请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分.
解:
(1)方案1最后得分:
;
方案2最后得分:
;
方案3最后得分:
;
方案4最后得分:
或
.
(2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响,不能反映这组数据的“平均水平”,
所以方案1不适合作为最后得分的方案.
因为方案4中的众数有两个,众数失去了实际意义,所以方案4不适合作为最后得分的方案.
举一反三:
【变式】(厦门)某中学要召开运动会,决定从初三年级全部的150名的女生中选30人,组成一个彩旗方队(要求参加方队的同学的身高尽可能接近).现在抽测了10名女生的身高,结果如下(单位:
厘米):
166154151167162158158160162162
(1)依据样本数据估计,初三年级全体女生的平均身高约是多少厘米?
(2)这10名女生的身高的中位数、众数各是多少?
(3)请你依据样本数据,设计一个挑选参加方队的女生的方案.(请简要说明)
解:
(1)因为
(166+154+151+167+162+158+158+160+162+162)=160(厘米),
所以九年级全体女生的平均身高约是160厘米.
(2)这10名女生的身高的中位数是161厘米,众数是162厘米.
(3)先将九年级中身高为162厘米的所有女生挑选出来作为参加旗队的女生,如此进行下去,直至挑选到30人为止.
类型三、测量设计题
3.(潜江)经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①,一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向,测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处,测得
.
(1)求所测之处江的宽度(
);
(2)除
(1)的测量方案外,请你再设计一种测量江宽的方案,并在图②中画出图形.
解:
(1)在
中,
,
∴
(米)
答:
所测之处江的宽度约为248米
(2)如图,利用三角形相似,对应边成比例来测量、计算.还可以利用三角形全等、
解直角三角形的知识来解决问题,只要正确即可得分.
举一反三:
【变式1】(乐山)如图,小山上有一棵树.现有测角仪和皮尺两种测量工具,请你设计一种测量方案,在山脚水平地面上测出小树顶端
到水平地面的距离
.
要求:
(1)画出测量示意图;
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示);
(3)根据
(2)中的数据计算
.
解:
(1)测量图案(示意图)如图示.
(2)测量步骤:
第一步:
在地面上选择点
安装测角仪,
测得此时树尖
的仰角
,
第二步:
沿
前进到点
,用皮尺量出
之间的距离
,
第三步:
在点
安装测角仪,
测得此时树尖
的仰角
,
第四步:
用皮尺测出测角仪的高
(3)计算:
令
,则
,得
,
又
,得
,
,
,
解得
,
.
举一反三:
【变式2】(资阳)一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示,其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形.现需将其整修并进行美化,方案如下:
①将背水坡AB的坡度由1∶0.75改为1∶
;②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域,依次相间地种草与栽花.
(1)求整修后背水坡面的面积;
(2)如果栽花的成本是每平方米25元,种草的成本是每平方米20元,那么种植花草至少需要多少元?
解:
(1)作AE⊥BC于E.
∵原来的坡度是1∶0.75,∴
=
.
设AE=4k,BE=3k,∴AB=5k,又∵AB=5米,∴k=1,则AE=4米.
设整修后的斜坡为
,由整修后坡度为1∶
,有
,∴∠
=30°.
∴
8米.∴整修后背水坡面面积为90×8=720米2.
(2)将整修后的背水坡面分为9块相同的矩形,则每一区域的面积为80米2.
解法一:
∵要依次相间地种植花草,有两种方案:
第一种是种草5块,种花4块,需要20×5×80+25×4×80=16000元;
第二种是种花5块,种草4块,需要20
×4×80+25×5×80=16400元.
∴应选择种草5块、种花4块的方案,需要花费16000元.
解法二:
∵要依次相间地种植花草,则必然有一种是5块,有一种是4块,而栽花的成本是每平方米25元,种草的成本是每平方米20元,
∴两种方案中,选择种草5块、种花4块的方案花费较少.
即:
需要花费20×5×80+25×4×80=16000元.
类型四、图形设计题
4.(四川乐山)认真观察下面的4个图中阴影部分构成的图案,回答下列问题:
(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征.
特征1:
_________________________________________________;
特征2:
_________________________________________________.
(2)请在下图中设计出你心中最美丽的图案,使它也具备你所写出的上述特征
解:
(1)特征1:
都是轴对称图形;
特征2:
都是中心对称图形;
特征3:
这些图形的面积都等于4个单位面积等.
(2)满足条件的图形有很多,只要画正确一个,都可以得满分.
举一反三:
【变式】(福建福州)为创建绿色校园,学校决定对一块正方形的空地进行种植花草,现向学生征集设计图案.图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计,使正方形和所画的圆弧构成的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形.种植花草部分用阴影表示.请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案.
提示:
在两个图案中,只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种,例如:
图①、图②只能算一种.
解:
以下为不同情形下的部分正确画法,答案不唯一.
(注:
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