与一元二次方程有关的竞赛题求解的若干方法1.doc
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与一元二次方程有关的竞赛题求解的若干方法
一元二次方程是初中教材的重点内容,也是竞赛题的特点,在掌握常规解法的基础上,注意一些特殊的、灵活的解法,往往能收到事半功倍的效果。
一、换元
例1方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是( )
A、-2 B、0 C、2 D、4
(93年“希望杯”竞赛题)
解:
原方程为(x-1)2-5|x-1|+6=0
即|x-1|2-5|x-1|+6=0
令|x-1|=A,则方程变为
A2-5A+6=0
∴A1=2,A2=3
由|x-1|=2,得x1=3,x2=-1;
由|x-1|=3,得x3=4,x4=-2。
x1+x2+x3+x4=4
故选D。
二、降次
例2已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根,不解方程,求a4+3β的值。
(96年江苏省竞赛题)
解:
∵α是方程x2-x-1=0的根,
∴α2-α-1=0,α2=α+1(二次转化为1次)
α4=(α+1)2=α2+2α+1=α+1+2α+1=3α+2(四次转化为一次)
∴α4+3β=3α+2+3β=3(α+β)+2=3×1+2=5
三、整体代入
例3设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2,记S1=x1+1993x2,S2=x+1993x,…,Sn=x+1993x,则aS1993+bS1992+cS1991= 。
(93年希望杯竞赛试题)
解:
∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根,
∴ax+bx1+c=0,ax+bx2+c=0。
aS1993+bS1992+cS1991=a(x+1993x)+b(x+1993x)+c(x+1993x)=(ax+bx+cx)+(a·1993x+b·1993x+c·1993x)=x(ax+bx1+c)+1993x(ax+bx2+c)=0。
四、配偶
例4已知α、β是方程x2-7x+8=0的两根且α>β,不解方程,利用韦达定理求+3β2的值。
(第八届“祖冲之”杯竞赛试题)
解:
由韦达定理,得
α+β=7,αβ=8
∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=49-16=33,
(α-β)2=(α+β)2-4αβ=49-32=17
∵α>β,∴α-β=
设A=+3β2,
B=+3α2(A的配偶)
则A+B=+3(α2+β2)=+3×33=
A-B=-+3β2-3α2
=-3(α+β)(α-β)
=
∴2A=
A=
五、反客为主
例5求所有正实数a,使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根。
(98年香港初中数学竞赛试题)
解:
设方程两整数根为α、β,则α+β=a。
由此可知a必为整数
将方程x2-ax+4a=0中的x视为常数,a视为未知数,方程可变为
(x-4)a=x2
∴a==x+4+
∵a为正整数
∴x=5,6,8,12,20。
此时对应的a值为a=25,18,16,18,25。
∴所有正实数a的值为25,18,16。
六、构造新方程
例6已知两数a、b,ab≠1,且
2a2+1234567890a+3=0
(1)
3b2+1234567890b+2=0
(2)
则= 。
(91年“希望杯”竞赛试题)
解:
显然b=0不是方程
(2)的解,方程
(2)两边同除以b2,得
3+1234567890×+=0
即2()2+1234567890×+3=0
考虑方程2x2+1234567890x+3=0中,
△=12345678902-24>0
∴方程有两个不相等的实数根
而ab≠1,即a≠
∴a、是方程2x2+1234567890x+3=0的两个根。
∴a·=,即=
七、反证法
例7设a、b、c为互不相等的非零实数,求证:
三个方程
ax2+2bx+c=0
bx2+2cx+a=0
cx2+2ax+b=0
不可能都有两个相等的实数根。
(97年山东省数学竞赛试题)
证明:
若三个方程都有两个相等的实数根,
则
三式相加,得
4(a2+b2+c2)-4(ab+bc+ca)=0,
a2+b2+c2-ab-bc-ca=0,
2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
∴a=b=c
这与已知a、b、c为互不相等的实数相矛盾。
故题中三个方程不可能都有两个相等的实数根。
八、巧用αβ+α+β+1,αβ-α-β+1因式分解
例8求满足如下条件的所有k值:
使关于x的方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数。
(98年江苏省竞赛试题)
解:
当k=0时,原方程化为x-1=0,x=1,符合题意。
当k≠0时,设原方程的两个整数根为α、β,不妨设α≥β。
由韦达定理,得
α+β=-=-1-,
(1)
αβ==1-。
(2)
(2)-
(1),得αβ-α-β=2
∴αβ-α-β+1=3,(α-1)(β-1)=3
∵α、β是整数,∴α-1、β-1也是整数,又α≥β,
∴
∴
于是α+β=6或α+β=-2
分别代入
(1),得k=-或k=1
∴当k=0,-,1时,原方程的根都是整数。
九、整体变形
例9设a、b、c、d>0,证明在方程
x2+
x2+
x2+
x2+
中,至少有两个方程有不相等的实数根。
(92年“希望杯”竞赛试题)
证明:
设这四个方程的判别式分别为△1、△2、△3、△4,则
△1=2a+b-2
(1)
△2=2b+c-2
(2)
△3=2c+d-2(3)
△4=2d+a-2(4)
∴△1+△3=(a+b-2)+(c+d-2)+a+b=()2+()2+a+b>0(5)
△2+△4=(b+c-2)+(d+a-2)+b+d=()2+()2+b+d>0(6)
若△1≤0,△3≤0,则△1+△3≤0,与(5)矛盾。
故△1、△3中至少有一个大于0。
同理,△2、△4中也至少有一个大于0。
∴所给的四个方程中,至少有两个方程有不相等的实数根
十、分类讨论
例10已知三个关于x的方程:
x2-x+m=0
(1)
(m-1)x2+2x+1=0
(2)
(m-2)x2+2x-1=0(3)
其中至少有两个方程有实根,则实数m的取值范围是( )
A、m≤2 B、m≤或1≤m≤2
C、m≥1 D、≤m≤1
(98年山东省竞赛试题)
解:
(1)有实根的条件是1-4m≥0,m≤,无实根的条件是m>。
(2)有实根的条件是m-1=0或,即m=1或m≤2且m≠1,无实根的条件是m>2。
(3)有实根的条件是m-2=0或,即m=2或m≥1且m≠2,无实根的条件是m<1。
①若
(1)
(2)有实根,(3)无实根,则
,解得m≤。
②若
(1)(3)有实根,
(2)无实根,则
,不等式组无解。
③若
(2)(3)有实根,
(1)无实根,则
,解得1≤m≤2。
④若
(1)
(2)(3)均有实根,则
,不等式组无解。
∴当m≤或1≤m≤2时,至少有两个方程有实根。
故应选B。
十一、数形结合
一元二次方程问题常与对应的二次函数的图象联系起来考虑,由图象“形”的特征转化为数的问题来解决。
例11是否存在这样的实数k,使得二次方程x2+(2k+1)x-(3k+2)=0有两个实数根,且两根都在2与4之间?
若有,试确定k的取值范围;若没有,简述理由。
(2000年数学奥林匹克训练题)
解:
设f(x)=x2+(2k-1)x-(3k+2),则其图象为开口向上的抛物线。
根据题意若方程有两个实数根,且两根都在2与4之间,则抛物线与x轴应有两个交点或一个交点,且交点都在2与4之间(如图)。
符合条件的k值应满足下列条件:
(1)即4(k+1)2+5≥0,k可取任何实数。
(2)的解是k>0。
(3)的解是k>-2。
(4)的解是-<k<-。
∴这个不等式组无解。
故符合条件的k值不存在。
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