与旋转有关的最值.docx
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难点突破专题与旋转有关的最值与路径
一、构造全等,结合三边关系求最值
1.如图,等腰之间△ABC中,AC=BC=,等腰直角△CDP中,CD=CP且PB=,将△CDP绕点C旋转(C、P、D三点按顺时针方向排列)
(1)当∠PBC=时,BD有最小值,最小值为多少?
(2)当角PBC=时,BD有最大值。
最大值为多少?
解:
连接AD.
∵△CDP、△ACB都是等腰直角三角形,
∴CD=CP,AC=BC,∠PCD=∠BCA=90°.
∵∠PCD=∠BCP+∠BCD=90°,∠BCA=∠BCD+∠DCA=90°,
∴∠BCP=∠DCA.
∵∠BCP=∠ACD,BC=AC,CP=CD,
∴△CPB≌△CDA(SAS),
∴PB=AD=.
∵AB-AD≤BD≤AB+AD,
∴-2≤BD≤+2.
(1)当∠PBC=45°时,A、D、B共线,BD有最小值-2;
(2)当∠PBC=135°时,A、D、B共线,BD有最大值+2.
二、遇等边三角形,旋转求最值
2.如图,△ABC中,AB=2,AC=4,以BC为边在BC的下方作等边△PBC,求AP的最大值。
解:
如图2,∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC,
∴∠A′BA=60°,A′B=AB,AP=A′C
∴△A′BA是等边三角形,
∴A′A=AB=BA′=2,
在△AA′C中,A′C<AA′+AC,即AP<6,
则当点A′A、C三点共线时,A′C=AA′+AC,即AP=6,即AP的最大值是:
6;
故答案是:
6
三、遇等边三角形,旋转求最值
3.如图,△ABC中,AB=,AC=3,以C为直角顶点,BC为直角边,向下作等腰直角△BCD,求AD的最大值。
解:
将△ACD绕点C顺时针旋转90°得△A′CB,
连结AA′,则△AA′C为等腰直角三角形,
∴AA′=,AC=3,AD=A′B.
∵A′B<AB+AA′,
∴当点B、A、A′三点共线时,A′B最大,此时A′B=A′B+AA′=+3=4,
∴AD的最大值为4
四、遇中点,构造中位线求最值
4.如图,在等腰直角△ABC中,AB=AC=3,在等腰直角△BEF中,BE=EF=1,O为CF的中点。
当△BEF绕点B旋转时,AO的最大值为。
五、运动路径为线段长
5.在平面直角坐标系中,点C沿着某条路径运动,以点C为旋转中心,将点A(0,4)逆时针旋转到点B(m,1)若,则点C的运动路径长为。
解:
如图1所示,在y轴上取点P(0,1),过P作直线l∥x轴,
∵B(m,1),∴B在直线l上,
∵C为旋转中心,旋转角为90°,
∴BC=AC,∠ACB=90°,
∵∠APB=90°,∴∠1=∠2,
作CM⊥OA于M,作CN⊥l于N,则Rt△BCN≌Rt△ACM,
∴CN=CM,
若连接CP,则点C在∠BPO的平分线上,
∴动点C在直线CP上运动;
如图2所示,∵B(m,1)且-5≤m≤5,
∴分两种情况讨论C的路径端点坐标,
①当m=-5时,B(-5,1),PB=5,
作CM⊥y轴于M,作CN⊥l于N,
同理可得△BCN≌△ACM,
∴CM=CN,BN=AM,
可设PN=PM=CN=CM=a,
∵P(0,1),A(0,4),
∴AP=3,AM=BN=3+a,
∴PB=a+3+a=5,
∴a=1,
∴C(-1,0);
②当m=5时,B(5,1),如图2中的B1,此时的动点C是图2中的C1,
同理可得C1(4,5),
∴C的运动路径长就是CC1的长,
由勾股定理可得,CC1==
.
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