选修4-5:《不等式选讲》全套教案系列3.doc
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选修4-5不等式选讲
课题:
第3课时含有绝对值的不等式的证明
三维目标:
重点难点:
教学设计:
一、引入:
证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质:
(1)
(2)
(3)(4)
请同学们思考一下,是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理?
实际上,性质和可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出;而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。
因此,只要能够证明对于任意实数都成立即可。
我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题:
设为实数,和哪个大?
显然,当且仅当时等号成立(即在时,等号成立。
在时,等号不成立)。
同样,当且仅当时,等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中,常常利用、及绝对值的和的性质。
二、范例分析:
例1、证明
(1),
(2)。
证明
(1)如果那么所以
如果那么所以
(2)根据
(1)的结果,有,就是,。
所以,。
例2、证明。
例3、证明。
思考:
如何利用数轴给出例3的几何解释?
(设A,B,C为数轴上的3个点,分别表示数a,b,c,则线段当且仅当C在A,B之间时,等号成立。
这就是上面的例3。
特别的,取c=0(即C为原点),就得到例2的后半部分。
)
探究:
试利用绝对值的几何意义,给出不等式的几何解释?
含有绝对值的不等式常常相加减,得到较为复杂的不等式,这就需要利用例1,例2和例3的结果来证明。
例4、已知,求证
证明
(1)
,
∴
(2)
由
(1),
(2)得:
例5、已知求证:
。
证明,∴,
由例1及上式,。
注意:
在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。
但这种写法,只能用于不等号方向相同的不等式。
三、小结:
四、练习:
1、已知求证:
。
2、已知求证:
。
五、作业:
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