实数全章复习.doc
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实数全章复习与提高
要点一、平方根和立方根
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根,且互为相反数;
零的平方根为零;
负数没有平方根;
一个正数有一个正的立方根;
一个负数有一个负的立方根;
零的立方根是零;
重要结论
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分:
实数
按与0的大小关系分:
实数
要点诠释:
(1)所有的实数分成三类:
有限小数,无限循环小数,无限不循环小数.
其中有限小数和无限循环小数统称有理数,无限不循环小数叫做无理数.
(2)无理数分成三类:
①开方开不尽的数,如,等;
②有特殊意义的数,如π;
③有特定结构的数,如0.1010010001…
(3)凡能写成无限不循环小数的数都是无理数,并且无理数不能写成分数形式.
(4)实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数的三个非负性及性质:
在实数范围内,正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式:
(1)任何一个实数的绝对值是非负数,即||≥0;
(2)任何一个实数的平方是非负数,即≥0
(3)任何非负数的算术平方根是非负数,即().
非负数具有以下性质:
(1)非负数有最小值零;
(2)有限个非负数之和仍是非负数;
(3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.
3.实数的运算:
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序:
先乘方、开方、再乘除,最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行,有括号先算括号里.
4.实数的大小的比较:
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则3.两个数比较大小常见的方法有:
求差法,求商法,倒数法,估算法,平方法.
【典型例题】
例1.下面几个数:
0.23,1.010010001…,,3π,,,其中,无理数的个数有()
A、1 B、2 C、3 D、4
【变式1】下列说法中正确的是()
A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数
【变式2】如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是()
A、1 B、1.4 C、 D、
【变式3】如何在数轴上找到表示的点。
例2.设,则下列结论正确的是()
A. B.
C. D.
【变式1】1)1.25的算术平方根是__________;平方根是__________.
2)-27立方根是__________.3)___________,___________,___________.=_________。
【变式2】判断下列说法是否正确
(1)的算术平方根是-3;
(2)的平方根是±15.
(3)当x=0或2时, (4)是分数
【变式3】求下列各式中的
(1)
(2) (3)
例3.点A在数轴上表示的数为,点B在数轴上表示的数为,则A,B两点的距离为______
【变式1】如图,数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数是().
A.-1B.1-C.2-D.-2
[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示:
化简
例4.化简下列各式:
(1)|-1.4|
(2)|π-3.142|
(3)|-|
【变式1】化简:
例5、已知,求的值.
【变式1】已知,求的平方根。
【变式2】
(1)那么a+b-c的值为___________
(2)若和互为相反数,求的值为___________
例6、已知M是满足不等式的所有整数的和,N是满足不等式的最大整数.求M+N的平方根.
【变式1】已知是的整数部分,是它的小数部分,求的值.
【变式2】已知的整数部分为a,小数部分为b,求a2-b2的值.
【变式3】已知5+的小数部分为,5-的小数部分为,则+的值是;
-的值是_______.
例7、阅读理解,回答问题.
在解决数学问题的过程中,有时会遇到比较两数大小的问题,解决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征,采用相应办法,其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法:
若->0,则>;若-=0,则=;若-<0,则<.
例如:
在比较与的大小时,小东同学的作法是:
∵
∴
请你参考小东同学的作法,比较与的大小.
【变式】实数在数轴上的位置如图所示,则的大小关系是:
;
例8、已知、满足,解关于的方程。
【变式】设、、都是实数,且满足,
求代数式的值。
课堂练习:
作业:
一、细心选一选
1.的算术平方根是()
A.0.14 B.0.014 C. D.
2.的平方根是()
A.-6 B.36 C.±6 D.±
3.下列计算或判断:
①±3都是27的立方根;②;③的立方根是2;④,其中正确的个数有()
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.在下列各式中,正确的是()
A.; B.; C.;
D.
5.下列说法正确的是()
A.有理数只是有限小数 B.无理数是无限小数 C.无限小数是无理数
D.是分数
6.下列说法错误的是()
A. B. C.2的平方根是 D.
7.若,且,则的值为()
A. B. C. D.
8.下列结论中正确的是()
A.数轴上任一点都表示唯一的有理数; B.数轴上任一点都表示唯一的无理数;
C.两个无理数之和一定是无理数; D.数轴上任意两点之间还有无数个点
9.-27的立方根与的平方根之和是()
A.0 B.6 C.0或-6 D.-12或6
10.已知一个自然数的算术平方根是a,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是()
A. B. C. D.
二.填空题:
11.下列各数:
①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、
⑦0.3030003000003……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、⑧0中,其中是有理数的有
__________;无理数的有__________.(填序号)
12.一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4,则a=_____,x=_____。
13.算术平方根等于它本身的数是__________;立方根等于它本身的数是__________.
14.的相反数是__________;绝对值等于的数是__________.
15.一个正方体的体积变为原来的27倍,则它的棱长变为原来的__________倍.
三、解答题:
16.计算或化简:
(1)
(2) (3)
(4) (5) (6)
17.已知,且x是正数,求代数式的值。
18.观察右图,每个小正方形的边长均为1,
⑴图中阴影部分的面积是多少?
边长是多少?
⑵估计边长的值在哪两个整数之间。
⑶把边长在数轴上表示出来。
作业:
1.的相反数是________,绝对值等于的数是________,∣∣=_______。
2.的算术平方根是_______,=______。
3.____的平方根等于它本身,____的立方根等于它本身,____的算术平方根等于它本身。
4.已知∣x∣的算术平方根是8,那么x的立方根是_____。
5.填入两个和为6的无理数,使等式成立:
___+___=6。
6.大于,小于的整数有______个。
7.若∣2a-5∣与互为相反数,则a=______,b=_____。
8.若∣a∣=6,=3,且ab0,则a-b=______。
9.数轴上点A,点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______。
10.一个正数x的两个平方根分别是a+6和a-8,则a=_____,x=_____。
11.计算
⑴ ⑵ ⑶
⑷∣∣+∣∣ ⑸×+×
12.已知:
=0,求实数a,b的值。
10
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