矩形经典例题.doc
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矩形经典例题.doc
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(一)计算
1.已知矩形的对角线长为1,两条相邻边之和为m,求矩形的面积.
解析:
依题设画出示意图,由矩形性质:
①
又②
∴由有
.
评述1矩形作为特殊的平行四边形其最特殊之处在于4个内角均为90°,稍加连结,则会出现Rt△,借助勾股定理,矩形中只要知道一些条件、面积、边长等皆可计算.
评述2此处兼顾考查了整式运算技巧,这里算法误区是没有考虑整体计算,而去解方程组.
2.在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,BE=1,EF=2,求矩形面积.
解析:
依题设画出图形,对照图形确认题设条件似乎计算面积的条件不具备,怎么办?
深入挖矩形性质,矩形整体是一个轴对称图形,DF=BE=1,BD=4→连结AC交BD于O,则易知:
OA=OB=2,又有BE=OE=1,又∵AE⊥BO,可知△ABO为正三角形,∴AB=OB=2,,∴
3.在矩形ABCD中,两条对角线小于0,DE平分∠ADC,E点在BC上,∠EDO=15°.
求∠COB,∠AOE的度数.
解析:
依题设,画出示意图
由DE平分∠ADC,知∠EDC=45°,又∵∠EDO=15°
又由矩形ABCD知OD=OC
∴△ODC为正三角形,即OC=OD=CD
∴∠DOC=60°,∴∠COB=120°
∵∠EDC=45°,∠DCE=90°
∴CE=CD
∴CO=CE
进而可知∠COE=75°
∴∠AOE=105°
评述:
学习四边形的另一个任务应是融会贯通前面所学的几何知识、几何方法.
(二)特殊关系论证
3.已知:
如图,矩形ABCD中,延长BC至E点,使BE=BD,连结DE,若F是DE的中点,试确定线段AF与CF的位置关系.
解析:
结合图示可以猜想AF⊥CF.
证明两线垂直,我们都有过什么想法?
盘点盘点:
, …… →
法一:
连结BF,因∠BFE=90°,证∠AFC=∠BFE进而考虑证△AFC≌△BFE
提示:
因CF为Rt△DCE斜边上中线,故CF=EF=FD
易证△FAD≌△FBC,有FB=FA
进而可证明△AFC≌△BFE(SSS)
又由BF为等腰△BED底边上中线有BF⊥DE.所以AF⊥CF
法二:
“倍长中线”
延长AF交BC延长线于G,
连结AC,易证△ADF≌△GEF,AD=GE,BC+CE=GE+CE,即BE=CG,
易证△CAG为等腰三角形CA=CG,F为底边AG中点.CF为AG边上的高.
另:
对称地思考,同法可延长CF交AD延长线于H
证△ACH为等腰三角形,利用另一方向的三线合一.
法三:
利用“若三角形一边上的中线长等于这边长的一半,则该三角形为Rt△”.
连结AC,设AC交BD于O,连结FO,易知FO为△DEB中位线
从而
又BE=BD=AC,进而有OF=OA=OC,
利用等边对等角和三角形内角和定理易证∠AFC=90°
评述:
学习矩形后一个新性质很有用,就是:
4.已知:
如图,矩形ABCD中,CF⊥BD,AE平分∠BAD和FC的延长线交于E点.求证:
AC=CE.
解析:
证AC=CE,两线共端点居于△CAE中,可考虑用“等角对等边”证∠1=∠E.
考虑此处可能需倒许多角,设∠1=,尽可能多用表示相关的角.
法一:
依题设可知∠OAB=∠OBA-∠BAE=∠BGA=45°
故有∠OAB=∠OBA=45°+
∴∠FOC=∠AOB=90°-2而∠FCO=90°-∠FOC
∴∠FCO=2又∠FCO=∠1+∠E.
∴∠E=.
法二:
由CF⊥BD可知∠BCF=∠BDC=∠OBA=45°+
又∠CGE=45°,∠BCF=∠CGE+∠E,所以可知∠E=.
评述:
1.此题还有许多可以倒角的方法;2.这里亦可通过延长DC交GE于H,通过证△CHE≌△CGA来解决问题,有兴趣均可一试;3.特殊四边形由于其特殊性可以使许多边角产生关联,学习中要注意多发散多思考体会。
5.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点P为AB上任一点,过P分别作PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,则线段EF的最小值是多少?
解析:
易知四边形PECF为矩形,故EF=CP.
CP最小,则EF最小,过C作CP⊥AB于P.
CP的长即为所求.易知,.
6.如图,P是矩形内一点,已知PA=3,PB=4,PC=5,求PD的长.
解析:
审图后,似乎这三条已知的线段与所求之间没有关联,故需变换位置或添辅助线.
法一:
沿AD平移△PAB到,连结,可知四边形中两条对角线互相垂直.
故有(能知道为什么吗?
)
进而解得.
法二:
过P作直线EF⊥AD交AD于E交BC于F,可设AE=x,进而用x表示PE.PF、FC,
再由Rt△PED布列勾股方法得解.
(三)折叠问题
7.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果将该矩形对角BD折叠,那么图中阴影部分的面积是___.
解析:
该阴影三角形面积都可怎么算→较简捷算法有:
.…
无论从哪个角度切入均需知道AF、DF的长.
依题设可证明△ABF≌△EDF
从而AF=FE,BF=FD.
设AF=x,则BF=4-x,
由,有
∴
评述:
折叠问题的实质是轴对称,解题时首先要知道哪些量对应相等.
8.已知矩形ABCD中,AB=6,BC=8,将矩形折叠,使点B、D重合,求折痕EF的长.
解析:
计算EF,目前在几何图形中计算长度我们都有什么方法?
→“构建Rt△,或利用现成Rt△”,
利用勾股定理认真落实题设条件,可知,EF垂直平分BD,进而再观察。
不难发现四边形BFDE是菱形(你能证明么?
试试!
)
故有Rt△BEO,,.
依题设,同于上例设,则
由有,
∴
∴.
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