各省市中考数学压轴题大全含答案.doc
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2010年部分省市中考数学试题分类汇编压轴题
(一)
24.(2010广东广州,24,14分)如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.
(1)求弦AB的长;
(2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;
(3)记△ABC的面积为S,若=4,求△ABC的周长.
C
P
D
O
B
A
E
【分析】
(1)连接OA,OP与AB的交点为F,则△OAF为直角三角形,且OA=1,OF=,借助勾股定理可求得AF的长;
F
C
P
D
O
B
A
E
H
G
(2)要判断∠ACB是否为定值,只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值,由于⊙D是△ABC的内切圆,所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线,因此只要∠DAE+∠DBA是定值,那么CAB+∠ABC就是定值,而∠DAE+∠DBA等于弧AB所对的圆周角,这个值等于∠AOB值的一半;
(3)由题可知=DE(AB+AC+BC),又因为,所以,所以AB+AC+BC=,由于DH=DG=DE,所以在Rt△CDH
中,CH=DH=DE,同理可得CG=DE,又由于AG=AE,BE=BH,所以AB+AC+BC=CG+CH+AG+AB+BH=DE+,可得=DE+,解得:
DE=,代入AB+AC+BC=,即可求得周长为.
【答案】解:
(1)连接OA,取OP与AB的交点为F,则有OA=1.
F
C
P
D
O
B
A
E
H
G
∵弦AB垂直平分线段OP,∴OF=OP=,AF=BF.
在Rt△OAF中,∵AF===,∴AB=2AF=.
(2)∠ACB是定值.
理由:
由
(1)易知,∠AOB=120°,
因为点D为△ABC的内心,所以,连结AD、BD,则∠CAB=2∠DAE,∠CBA=2∠DBA,
因为∠DAE+∠DBA=∠AOB=60°,所以∠CAB+∠CBA=120°,所以∠ACB=60°;
(3)记△ABC的周长为l,取AC,BC与⊙D的切点分别为G,H,连接DG,DC,DH,则有DG=DH=DE,DG⊥AC,DH⊥BC.
∴
=AB•DE+BC•DH+AC•DG=(AB+BC+AC)•DE=l•DE.
∵=4,∴=4,∴l=8DE.
∵CG,CH是⊙D的切线,∴∠GCD=∠ACB=30°,
∴在Rt△CGD中,CG===DE,∴CH=CG=DE.
又由切线长定理可知AG=AE,BH=BE,
∴l=AB+BC+AC=2+2DE=8DE,解得DE=,
∴△ABC的周长为.
【涉及知识点】垂径定理勾股定理内切圆切线长定理三角形面积
【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起,需要考生从前往后按顺序解题,前面问题为后面问题的解决提供思路,是一道难度较大的综合题
25.(2010广东广州,25,14分)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线=-+交折线OAB于点E.
(1)记△ODE的面积为S,求S与的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1,试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.
C
D
B
A
E
O
【分析】
(1)要表示出△ODE的面积,要分两种情况讨论,①如果点E在OA边上,只需求出这个三角形的底边OE长(E点横坐标)和高(D点纵坐标),代入三角形面积公式即可;②如果点E在AB边上,这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积;
(2)重叠部分是一个平行四边形,由于这个平行四边形上下边上的高不变,因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化.
【答案】
(1)由题意得B(3,1).
若直线经过点A(3,0)时,则b=
若直线经过点B(3,1)时,则b=
若直线经过点C(0,1)时,则b=1
①若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤,如图25-a,
图1
此时E(2b,0)
∴S=OE·CO=×2b×1=b
②若直线与折线OAB的交点在BA上时,即<b<,如图2
图2
此时E(3,),D(2b-2,1)
∴S=S矩-(S△OCD+S△OAE+S△DBE)
=3-[(2b-1)×1+×(5-2b)·()+×3()]=
∴
(2)如图3,设O1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。
本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制!
图3
由题意知,DM∥NE,DN∥ME,∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知,∠MED=∠NED
又∠MDE=∠NED,∴∠MED=∠MDE,∴MD=ME,∴平行四边形DNEM为菱形.
过点D作DH⊥OA,垂足为H,
由题易知,tan∠DEN=,DH=1,∴HE=2,
设菱形DNEM的边长为a,
则在Rt△DHM中,由勾股定理知:
,∴
∴S四边形DNEM=NE·DH=
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为.
【涉及知识点】轴对称四边形勾股定理
【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题,看一个图形的面积是否变化,关键是看决定这个面积的几个量是否变化,本题题型新颖是个不可多得的好题,有利于培养学生的思维能力,但难度较大,具有明显的区分度.
26、(宁波市)如图1、在平面直角坐标系中,O是坐标原点,□ABCD的顶点A的坐标为(-2,0),点D的坐标为(0,),点B在轴的正半轴上,点E为线段AD的中点,过点E的直线与轴交于点F,与射线DC交于点G。
(1)求的度数;
(2)连结OE,以OE所在直线为对称轴,△OEF经轴对称变换后得到△,记直线与射线DC的交点为H。
①如图2,当点G在点H的左侧时,求证:
△DEG∽△DHE;
y
x
C
D
A
O
B
E
G
F
(图1)
x
C
D
A
O
B
E
G
H
F
y
(图2)
x
C
D
A
O
B
E
y
(图3)
②若△EHG的面积为,请直接写出点F的坐标。
x
C
D
A
O
B
E
y
(图3)
M
解:
(1)
(2)(2,)
(3)①略
②过点E作EM⊥直线CD于点M
∵CD∥AB
∴
∴
∵
∴
∵△DHE∽△DEG
∴即
当点H在点G的右侧时,设,
∴
解:
∴点F的坐标为(,0)
当点H在点G的左侧时,设,
∴
解:
,(舍)
∵△DEG≌△AEF
∴
∵
∴点F的坐标为(,0)
综上可知,点F的坐标有两个,分别是(,0),(,0)
26.(重庆市)已知:
如图
(1),在平面直角坐标xOy中,边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限,顶点A在x轴的正半轴上.另一等腰△OCA的顶点C在第四象限,OC=AC,∠C=120°.现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发,点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动,点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止.
(1)求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系,并写出自变量t的取值范围;
(2)在等边△OAB的边上(点A除外)存在点D,使得△OCD为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标;
(3)如图
(2),现有∠MCN=60°,其两边分别与OB、AB交于点M、N,连接MN.将∠MCN绕着C点旋转(0°<旋转角<60°),使得M、N始终在边OB和边AB上.试判断在这一过程中,△BMN的周长是否发生变化?
若没有变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.
解:
(1)过点作于点.(如图①)
∵,,
∴.
∵,,∴.
在Rt中,. (1分)
(ⅰ)当时,,,;
过点作于点.(如图①)
在Rt中,∵,∴,
∴.
即. (3分)
(ⅱ)当时,(如图②)
,.
∵,,∴.
∴.
即.
故当时,,当时,. (5分)
(2)或或或. (9分)
(3)的周长不发生变化.
26题答图③
延长至点,使,连结.(如图③)
∵,
∴≌.
∴,.…(10分)
∴.
∴.
又∵.
∴≌.∴. (11分)
∴.
∴的周长不变,其周长为4. (12分)
24.(义乌市卷)如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;
(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示-,并求出当S=36时点A1的坐标;
图2
O1
A1
O
y
x
B1
C1
D
M
C
B
A
O
y
x
图1
D
M
(3)在图1中,设点D坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?
若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
解:
(1)对称轴:
直线……………………………………………………..…1分
解析式:
或……………………………….2分
顶点坐标:
M(1,)……….…………………………………………..3分
(2)由题意得
3……………………………………..1分
得:
①…………….………………….……2分
得:
②….………………………………………..………..3分
把②代入①并整理得:
(S>0)(事实上,更确切为S>6)4分
当时,解得:
(注:
S>0或S>6不写不扣
分)把代入抛物线解析式得∴点A1(6,3)………5分
(3)存在………………………………………………………………….…..……1分
解法一:
易知直线AB的解析式为,可得直线AB与对称轴的
C
B
A
O
y
x
图1-1
D
M
E
P
Q
F
G
交点E的坐标为
∴BD=5,DE=,DP=5-t,DQ=t
当∥时,
得………2分
下面分两种情况讨论:
设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G
①当时,如图1-1∵△FQE∽△FAG∴∠FGA=∠FEQ
∴∠DPQ=∠DEB易得△DPQ∽△DEB∴
∴得∴(舍去)…………………………3分
C
B
A
O
y
x
图1-2
D
M
E
F
P
Q
G
②当时,如图1-2
∵△FQE∽△FAG∴∠FAG=∠FQE
∵∠DQP=∠FQE∠FAG=∠EBD
∴∠DQP=∠DBE易得△DPQ∽△DEB
∴
∴,∴
∴当秒时,使直线、直线、轴围成的三角形与直线、直线、抛物线的对称轴围成的三角形相似………………………………4分
解法二:
可将向左平移一个单位得到,再用解法一类似的方法可求得
,
∴
24.(湖州卷)(本小题12分)如图,已知直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于E和F.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)当BE经过
(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;
(3)连结EF,设△BEF与△BFC的面积之差为S,问:
当CF为何值时S最小,并求出这个最小值.
第24题
B
C
A
x
y
F
O
D
E
解:
(1)由题意可得A(0,2),B(2,2),C(3,0),
设所求抛物线的解析式为,
则解得.………………..3分
∴抛物线的解析式为.….……………………..1分
(2)设抛物线的顶点为G,则.过点G作GH⊥AB
,垂足为H,则AH=BH=1,GH=.
∵EA⊥AB,GH⊥AB,∴EA∥GH,
∴GH是△EBA的中位线,
∴.………………2分
过点B作BM⊥OC,垂足为M,则BM=OA=AB.
∵∠EBF=∠ABM=90º,∴∠EBA=∠FBM=90º-∠ABF,
∴Rt△EBA≌Rt△FBM,∴.
∵CM=OC-OM=3-2=1,∴CF=FM+CM=.…………….2分
(3)设CF=a,则FM=a-1或1-a,
∴BF2=FM2+BM2=(a-1)2+22=a2-2a+5.
∵△EBA≌△FBM,∴BE=BF.
则,….1分
又∵,……….1分
∴,即,….1分
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