概率习题答案3.doc
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第三章多维随机变量及其分布
3.1二维随机变量及其分布
习题1
设(X,Y)的分布律为
X\Y
123
1
1/61/91/18
2
1/3a1/9
求a.
分析:
dsfsd1f6d54654646
解答:
由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知
1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,
解得
a=2/9.
习题2
(1)
2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:
(1)P{a 解答: P{a 习题2 (2) 2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示: (2)P{0 解答: P{0 习题2(3) 2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示: (3)P{X>a,Y≤b}. 解答: P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b). 习题3 (1) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表: 试求: (1)P{12 解答: P{12 P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3} =P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3} =14+0+0=14. 习题3 (2) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表: 试求: (2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4}; 解答: P{1≤X≤2,3≤Y≤4} =P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4} =0+116+0+14=516. 习题3(3) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表: 试求: (3)F(2,3). 解答: F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3) =14+0+0+116+14+0=916. 习题4 设X,Y为随机变量,且 P{X≥0,Y≥0}=37, P{X≥0}=P{Y≥0}=47, 求P{max{X,Y}≥0}. 解答: P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0} =47+47-37=57. 习题5 (X,Y)只取下列数值中的值: (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0) 且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表,并写出关于Y的边缘分布. 解答: (1)因为所给的一组概率实数显然均大于零,且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布.因(X,Y)只取上述四组可能值,故事件: {X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1} 均为不可能事件,其概率必为零.因而得到下表: X\Y 01/31 -1 01/121/3 0 1/600 2 5/1200 (2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0} =0+16+512=712, 同样可求得 P{Y=13=112,P{Y=1}=13, 关于的Y边缘分布见下表: Y 01/31 pk 7/121/121/3 习题6 设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为 f(x,y)=1200πex2+y2200, 求P{X≤Y}. 解答: 由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1,且由正态分布图形的对称性,知 P{X≤Y}=P{X>Y}, 故 P{X≤Y}=12. 习题7 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={k(6-x-y),0 (1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}. 解答: 如图所示 (1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1, 确定常数k. ∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1, 所以k=18. (2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38. (3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732. (4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23. 习题8 已知X和Y的联合密度为 f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它, 试求: (1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x,y). 解答: (1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4. (2)当x≤0或y≤0时,显然F(x,y)=0; 当x≥1,y≥1时,显然F(x,y)=1; 设0≤x≤1,0≤y≤1, 有 F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2. 设0≤x≤1,y>1, 有 F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2. 最后,设x>1,0≤y≤1, 有 F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2. 函数F(x,y)在平面各区域的表达式 F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x> 习题9 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它, 求边缘概率密度fY(y). 解答: fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy ={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它. fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx ={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它. 习题10 设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布,求联合分布密度和边缘分布密度. 解答: 区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为 f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它, 从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1, 即 fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它, fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1, 即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它. 3.2条件分布与随机变量的独立性 习题1 二维随机变量(X,Y)的分布律为 X\Y 01 01 7/157/307/301/15 (1)求Y的边缘分布律; (2)求P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0}; (3)判定X与Y是否独立? 解答: (1)由(x,y)的分布律知,y只取0及1两个值. P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=0.7 P{y=1}=∑i=01P{x=i,y=1}=130+115=0.3. (2)P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23, P{y=1∣x=0}=13. (3)已知P{x=0,y=0}=715, 由 (1)知P{y=0}=0.7, 类似可得 P{x=0}=0.7. 因为P{x=0,y=0}≠P{x=0}⋅P{y=0}, 所以x与y不独立. 习题2 将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y.据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为 X\Y 5152535455 5152535455 0.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.050.060.050.010.03 (1)求边缘分布律; (2)求8月份的订单数为51时,9月份订单数的条件分布律. 解答: (1)边缘分布律为 X 5152535455 pk 0.180.150.350.120.20 对应X的值,将每行的概率相加,可得P{X=i}. 对应Y的值(最上边的一行), 将每列的概率相加,可得P{Y=j}. Y 5152535455 pk 0.280.280.220.090.13 (2)当Y=51时,X的条件分布律为 P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28, k=51,52,53,54,55. 列表如下: k 5152535455 P{X=k∣Y=51} 6/287/285/285/285/28 习题3 已知(X,Y)的分布律如下表所示,试求: (1)在Y=1的条件下,X的条件分布律; (2)在X=2的条件下,Y的条件分布律. X\Y 012 012 1/41/8001/301/601/8 解答: 由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为 X 012 pk 3/81/37/24 Y 012 pk 5/1211/241/8 故 (1)在Y=1条件下,X的条件分布律为 X∣(Y=1) 012 pk 3/118/110 (2)在X=2的条件下,Y的条件分布律为 Y∣(X=2) 012 pk 4/703/7 习题4 已知(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={3x,0 (1)边缘概率密度函数; (2)条件概率密度函数. 解答: (1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={3x2,0 fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={32(1-y2),0 (2)对∀y∈(0,1), fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2x1-y2,y 对∀x∈(0,1), fY∣X(y∣x)=f(x,y)fX(x)={1x,0 习题5 X与Y相互独立,其概率分布如表(a)及表(b)所示,求(X,Y)的联合概率分布,P{X+Y=1}, P{X+Y≠0}. X -2-101/2 pi 1/41/31/121/3 表(a) Y -1/213 pi 1/21/41/4 表(b) 解答: 由X与Y相互独立知 P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj), 从而(X,Y)的联合概率分布为 X\Y -1/2 1 3 -2-101/2 P{X=-2}P{Y=-1/2}P{X=-1}P{Y=-1/2}P{X=0}P{Y=-1/2}P{X=1/2}P{Y=-1/2} P{X=-2}P{Y=1}P{X=-1}P{Y=1}P{X=0}P{Y=1}P{X=1/2}P{Y=1} P{X=-2}P{Y=3}P{X=-1}P{Y=3}P{X=0}P{Y=3}P{X=1/2}P{Y=3} 亦即表 X\Y -1/213 -2-101/2 1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12 P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112, P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0} =1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12 =1-112-16=34. 习题6 某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7: 55∼8: 00, 而火车这段时间开出的时间Y的密度函数为 fY(y)={2(5-y)25,0≤y≤50,其它, 求此人能及时上火车站的概率. 解答: 由题意知X的密度函数为 fX(x)={15,0≤x≤50,其它, 因为X与Y相互独立,所以X与Y的联合密度为: fXY(x,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它, 故此人能及时上火车的概率为 P{Y>X}=∫05∫x52(5-y)125dydx=13. 习题7 设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布,且X与Y相互独立,求(X,Y)的联合概率密度函数. 解答: 由题意知,随机变量X,Y的概率密度函数分别是 fX(x)=12πe-x22, fY(y)=12πe-y22 因为X与Y相互独立,所以(X,Y)的联合概率密度函数是 f(x,y)=12πe-12(x+y)2. 习题8 设随机变量X的概率密度 f(x)=12e-∣x∣(-∞ 问: X与∣X∣是否相互独立? 解答: 若X与∣X∣相互独立,则∀a>0, 各有 P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a}, 而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a}, 故由上式有 P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a}, ⇒P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0 ⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅(∀a>0) 但当a>0时,两者均不成立,出现矛盾,故X与∣X∣不独立. 习题9 设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为 fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0, (1)求X与Y的联合概率密度; (2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率. 解答: (1)由题设易知 fX(x)={1,0 又X,Y相互独立,故X与Y的联合概率密度为 f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)={12e-y2,0 (2)因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y}, 故如图所示得到: P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy =-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx] =1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx] =1-2π[Φ (1)-Φ(0), 又Φ (1)=0.8413, Φ(0)=0.5, 于是Φ (1)-Φ(0)=0.3413, 所以 P{a有实根}=1-2π[Φ (1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433. 3.3二维随机变量函数的分布 习题1 设随机变量X和Y相互独立,且都等可能地取1,2,3为值,求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布. 解答: 由于U≥V, 可见P{U=i,V=j}=0(i P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3), P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j), 于是,随机变量U和V的联合概率分布为 V\概率\U 1 2 3 1 1/9 2/9 2/9 2 0 1/9 2/9 3 0 0 1/9 习题2 设(X,Y)的分布律为 X\Y -112 -12 1/101/53/101/51/101/10 试求: (1)Z=X+Y; (2)Z=XY; (3)Z=X/Y; (4)Z=max{X,Y}的分布律. 解答: 与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类型,本质上是利用事件及其概率的运算法则.注意,Z的相同值的概率要合并. 概率 1/101/53/101/51/101/10 (X,Y)X+YXYX/Ymax{x,Y} (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222 于是 (1) X+Y -20134 pi 1/101/51/21/101/10 (2) XY -20134 pi 1/21/51/101/101/10 (3) X/Y -2-1-1/212 pi 1/51/53/101/51/10 (4) max{X,Y} -112 pi 1/101/57/10 习题3 设二维随机向量(X,Y)服从矩形区域D={(x,y∣0≤x≤2,0≤y≤1}的均匀分布,且 U={0,X≤Y1,X>Y, V={0,X≤2Y1,X>2Y, 求U与V的联合概率分布. 解答: 依题(U,V)的概率分布为 P{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y} =∫01dx∫x112dy=14, P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X>2Y}=0, P{U=1,V=0}=P{X>Y,X≤2Y}=P{Y =∫01dy∫y2y12dx=14, P{U=1,V=1} =1-P{U=0,V=0}-P{U=0,V=1}-P{U=1,V=0}=1/2, 即 U\V 01 01 1/401/41/2 习题4 设(X,Y)的联合分布密度为 f(x,y)=12πe-x2+y22,Z=X2+Y2, 求Z的分布密度. 解答: FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}. 当z<0时,FZ(z)=P(∅)=0; 当z≥0时, FZ(z)=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f(x,y)dxdy =12π∫∫x2+y2≤z2e-x2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0ze-ρ22ρdρ =∫0ze-ρ22ρdρ=1-e-z22. 故Z的分布函数为 FZ(z)={1-e-z22,z≥00,z<0. Z的分布密度为 fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0. 习题5 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它, (1)问X和Y是否相互独立? (2)求Z=X+Y的概率密度. 解答: (1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy ={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0 \under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0, 由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0, 显然 f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0, 所以X与Y不独立. (2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx. 当{x>0z-x>0 即 {x>0x 当z≤0时,fZ(z)=0; 当z>0时,fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z. 于是,Z=X+Y的概率密度为 fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0. 习题6 设随机变量X,Y相互独立,若X服从(0,1)上的均匀分布,Y服从参数1的指数分布,求随机变量Z=X+Y的概率密度. 解答: 据题意,X,Y的概率密度分布为 fX(x)={1,0 由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为 fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy =∫0+∞fX(z-y)e-ydy. 由0 当z≤0时,有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0; 当z>0时, fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z, 即 fZ(z)={0,z≤01-e-z,0 习题7 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={be-(x+y),0 (1)试确定常数b; (2)求边缘概率密度fX(x),fY(y); (3)求函数U=max{X,Y}的分布函数. 解答: (1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数b. ∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1, 所以b=11-e-1,从而 f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0 (2)由边缘概率密度的定义得 fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0 fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0 (3)因为f(x,y)=fX(x)fY(y),所以X与Y独立,故 FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u), 其中 FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0 所以 FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0 同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<
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