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由图形,可得C(,),
由图象可知,直线CD的斜率最小值为=,
∴z的最小值为,
∴λ的取值范围是(﹣∞,].
6.(5分)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥,
四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2,
圆锥的底面半径是1、高是2,
∴所求的体积V==,
7.(5分)已知等比数列{an}中,a5=3,a4a7=45,则的值为( )
A.3 B.5 C.9 D.25
根据题意,等比数列{an}中,a5=3,a4a7=45,
则有a6==15,
则q==5,
则==q2=25;
D.
8.(5分)已知F是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点,若点F关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上,则双曲线的离心率为( )
设F(c,0),渐近线方程为y=x,
对称点为F'
(m,n),
即有=﹣,
且•n=•,
解得m=,n=﹣,
将F'
(,﹣),即(,﹣),
代入双曲线的方程可得﹣=1,
化简可得﹣4=1,即有e2=5,
解得e=.
9.(5分)函数f(x)在定义域R内可导,若f(1+x)=f(3﹣x),且当x∈(﹣∞,2)时,(x﹣2)f(x)<0,设a=f(0),b=f(),c=f(3),则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>c>a
∵f(1+x)=f(3﹣x),
∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f(3)=f
(1).
当x∈(﹣∞,2)时,(x﹣2)f′(x)<0,
∴f′(x)>0,即f(x)单调递增,
∵0<<1,
∴f(0)<f()<f
(2),
即a<b<c,
10.(5分)已知函数f(x)=asinx﹣2cosx的一条对称轴为x=﹣,且f(x1)•f(x2)=﹣16,则|x1+x2|的最小值为( )
f(x)=asinx﹣2cosx
=sin(x+θ),
由于函数f(x)的对称轴为:
x=﹣,
所以f(﹣)=﹣a﹣3,
则|﹣a﹣3|=,
解得:
a=2;
所以:
f(x)=4sin(x﹣),
由于:
f(x1)•f(x2)=﹣16,
所以函数f(x)必须取得最大值和最小值,
x1=2kπ+或x2=2kπ﹣,k∈Z;
|x1+x2|的最小值为.
11.(5分)对于向量a,b,定义a×
b为向量a,b的向量积,其运算结果为一个向量,且规定a×
b的模|a×
b|=|a||b|sinθ(其中θ为向量a与b的夹角),a×
b的方向与向量a,b的方向都垂直,且使得a,b,a×
b依次构成右手系.如图,在平行六面体ABCD﹣EFGH中,∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°
,AB=AD=AE=2,则=( )
A.4 B.8 C. D.
据向量积定义知,向量垂直平面ABCD,且方向向上,设与所成角为θ.
∵∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°
,
∴点E在底面ABCD上的射影在直线AC上.
作EI⊥AC于I,则EI⊥面ABCD,∴θ+∠EAI=.
过I作IJ⊥AD于J,连EJ,由三垂线逆定理可得EJ⊥AD.
∵AE=2,∠EAD=60°
,∴AJ=1,EJ=.
又∵∠CAD=30°
,IJ⊥AD,∴AI=.
∵AE=2,EI⊥AC,∴cos∠EAI==.
∴sinθ==cos∠EAI=,cosθ=.
故=||||sin∠BAD||cosθ=8×
×
=,
故选D.
12.(5分)若存在实数x使得关于x的不等式(ex﹣a)2+x2﹣2ax+a2≤成立,则实数a的取值范围是( )
A.{} B.{} C.[,+∞) D.[,+∞)
不等式(ex﹣a)2+x2﹣2ax+a2≤成立,
即为(ex﹣a)2+(x﹣a)2≤,
表示点(x,ex)与(a,a)的距离的平方不超过,
即最大值为.
由(a,a)在直线l:
y=x上,
设与直线l平行且与y=ex相切的直线的切点为(m,n),
可得切线的斜率为em=1,
解得m=0,n=1,
切点为(0,1),由切点到直线l的距离为直线l上的点与曲线y=ex的距离的最小值,
可得(0﹣a)2+(1+a)2=,
解得a=,
则a的取值集合为{}.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分
13.(5分)已知等差数列{an}前15项的和S15=30,则a2+a9+a13= 6 .
∵设等差数列的等差为d,{an}前15项的和S15=30,
∴=30,即a1+7d=2,
则a2+a9+a13=(a1+d)+(a1+8d)+(a1+12d)=3(a1+7d)=6.
故答案为:
6.
14.(5分)若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256,则该展开式中常数项的值为 1120 .
由题意可知,2n=256,解得n=8.
∴=,其展开式的通项=,
令8﹣2r=0,得r=4.
∴该展开式中常数项的值为.
1120.
15.(5分)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f′(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的序号是 ②⑤
①f(x)<0恒成立;
②(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0;
③(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0;
④f()>f()
⑤f()<f()
由导函数的图象可知,导函数f′(x)的图象在x轴下方,即f′(x)<0,故原函数为减函数,
并且是,递减的速度是先快后慢.所以f(x)的图象如图所示:
f(x)<0恒成立,没有依据,故①不正确;
②表示(x1﹣x2)与[f(x1)﹣f(x2)]异号,即f(x)为减函数.故②正确;
③表示(x1﹣x2)与[f(x1)﹣f(x2)]同号,即f(x)为增函数.故③不正确,
④⑤左边边的式子意义为x1,x2中点对应的函数值,即图中点B的纵坐标值,
右边式子代表的是函数值得平均值,即图中点A的纵坐标值,显然有左边小于右边,
故④不正确,⑤正确,综上,正确的结论为②⑤.
②⑤.
16.(5分)在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,M是直线DE上的动点.若△ABC的面积为2,则•+2的最小值为 2 .
∵D、E是AB、AC的中点,
∴M到BC的距离等于点A到BC的距离的一半,
∴S△ABC=2S△MBC,而△ABC的面积2,则△MBC的面积S△MBC=1,
S△MBC=丨MB丨•丨MC丨sin∠BMC=1,
∴丨MB丨•丨MC丨=.
∴•=丨MB丨•丨MC丨cos∠BMC=.
由余弦定理,丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨•丨CM丨cos∠BMC,
显然,BM、CM都是正数,
∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨•丨CM丨,
∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×
丨CM丨cos∠BMC
=2×
﹣2×
.
∴•+2≥+2×
=2•,
方法一:
令y=,则y′=,
令y′=0,则cos∠BMC=,此时函数在(0,)上单调减,在(,1)上单调增,
∴cos∠BMC=时,取得最小值为,
•+2的最小值为2;
方法二:
令y=,
则ysin∠BMC+cos∠BMC=2,则sin(∠BMC+α)=2,
tanα=,
则sin(∠BMC+α)=≤1,
y≥,
则•+2的最小值为2;
2.
三、解答题
17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB=(3c﹣b)cosA.
(1)求cosA的值;
(2)若b=3,点M在线段BC上,=2,||=3,求△ABC的面积.
【解答】
(本题满分为12分)
解:
(1)因为acosB=(3c﹣b)cosA,由正弦定理得:
sinAcosB=(3sinC﹣sinB)cosA,
即sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosA,可得:
sinC=3sinCcosA,
在△ABC中,sinC≠0,
所以.…(5分)
(2)∵=2,两边平方得:
=4,
由b=3,||=3,,可得:
c=7或c=﹣9(舍),
所以△ABC的面积.…(12分)
18.(12分)在如图所示的圆台中,AB,CD分别是下底面圆O,上底面圆O′的直径,满足AB⊥CD,又DE为圆台的一条母线,且与底面ABE成角.
(Ⅰ)若面BCD与面ABE的交线为l,证明:
l∥面CDE;
(Ⅱ)若AB=2CD,求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值.
(Ⅰ)证明:
如图,在圆台OO′中,∵CD⊂圆O′,
∴CD∥平面ABE,
∵面BCD∩面ABE=l,∴l∥CD,
∵CD⊂平面CDE,l⊄平面CDE,
∴l∥面CDE;
(Ⅱ)解:
连接OO′、BO′、OE,则CD∥OE,
由AB⊥CD,得AB⊥OE,
又O′B在底面的射影为OB,
由三垂线定理知:
O′B⊥OE,∴O′B⊥CD,
∴∠O′BO就是求面BCD与底面ABE所成二面角的平面角.
设AB=4,由母线与底面成角,
可得OE=2O′D=2,DE=2,OB=2,OO′=,
∴cos∠O′BO=.
19.(12分)如图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图,已知80~90分数段的学员数为21人.
(Ⅰ)求该专业毕业总人数N和90~95分数段内的人数n;
(Ⅱ)现欲将90~95分数段内的n名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校,若每所学校至少分配两名毕业生,且甲乙两人必须进同一所学校,共有多少种不同的分配方法?
(Ⅲ)若90~95分数段内的这n名毕业生中恰有两女生,设随机变量ξ表示n名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数,求ξ的分布列和数学期望.
(Ⅰ)80~90分数段的毕业生的频率为:
p1=(0.04+0.03)×
5=0.35,
此分数段的学员总数为21人,
∴毕业生的总人数N为N==60,
90~95分数段内的人数频率为:
p2=1﹣(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)×
5=0.1,
∴90~95分数段内的人数n=60×
0.1=6.
(Ⅱ)将90~95分数段内的6名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校,
每所学校至少分配两名毕业生,且甲乙两人必须进同一所学校,
共有:
=18不同的分配方法.
(Ⅲ)ξ所有可能取值为0,1,2,
P(ξ=0)==,
P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,
所以ξ的分布列为:
ξ
1
2
P
所以随机变量ξ数学期望为E(ξ)==.
20.(12分)已知椭圆C:
+=1(a>b>0),其左右焦点为F1,F2,过F1直线l:
x+my+=0与椭圆C交于A,B两点,且椭圆离心率e=;
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若椭圆存在点M,使得2=+,求直线l的方程.
(Ⅰ)过F1直线l:
x+my+=0,
令y=0,解得x=﹣,
∴c=,
∵e==,
∴a=2,
∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1,
∴椭圆C的方程为+y2=1;
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),
由2=+,得:
x3=x1+x2,y3=y1+y2代入椭圆方程可得:
(x1+x2)2+(y1+y2)2﹣1=0,
∴(x12+y12)+(x22+y22)+(x1x2+4y1y2)=1,
∴x1x2+4y1y2=0
联立方程消x可得(m2+4)y2+2my﹣1=0,
∴y1+y2=,y1y2=,
∴x1x2+4y1y2=(my1+)(my2+)+4y1y2
=(m2+4)4y1y2+m(y1+y2)+3=0,
即m2=2,
解得m=±
所求直线l的方程:
x±
y+=0.
21.(12分)设函数f(x)=x2﹣alnx,其中a∈R.
(1)若函数f(x)在[,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)设正实数m1,m2满足m1+m2=1,当a>0时,求证:
对任意的两个正实数x1,x2,总有f(m1x1+m2x2)≤m1f(x1)+m2f(x2)成立;
(3)当a=2时,若正实数x1,x2,x3满足x1+x2+x3=3,求f(x1)+f(x2)+f(x3)的最小值.
(1)函数f(x)=x2﹣alnx,
导数为f′(x)=x﹣,
函数f(x)在[,+∞)上单调递增,可得
f′(x)=x﹣≥0在[,+∞)恒成立,
即为a≤x2的最小值,
由x2在[,+∞)的最小值为,
可得a≤;
(2)证明:
由f(x)=x2﹣alnx,a>0,
可得f′(x)=x﹣,f″(x)=1+>0,
即有f(x)为凹函数,
由m1+m2=1,可得对任意的两个正实数x1,x2,
总有f(m1x1+m2x2)≤m1f(x1)+m2f(x2)成立;
(3)由f(x)=x2﹣2lnx,
可得导数为f′(x)=x﹣,
f″(x)=1+>0,则f(x)为凹函数,
有f()≤[f(x1)+f(x2)+f(x3)],
即为f(x1)+f(x2)+f(x3)≥3f()=3f
(1)=3×
则f(x1)+f(x2)+f(x3)的最小值为.
[选修4-4:
坐标系与参数方程选讲]
22.(10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2sin(θ﹣
),直线l的参数方程为t为参数,直线l和圆C交于A,B两点.
(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设l上一定点M(0,1),求|MA|•|MB|的值.
(本小题满分10分)
(Ⅰ)∵圆C的极坐标方程为:
ρ=2sin(θ﹣)=2(sinθcos﹣cosθsin)=2sinθ﹣2cosθ,
∴ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ,
∴圆C的直角坐标方程x2+y2=2y﹣2x,即(x+1)2+(y﹣1)2=2.
(Ⅱ)直线l的参数方程为,t为参数,
直线l的参数方程可化为,t′为参数,
代入(x+1)2+(y﹣1)2=2,得(﹣+1)2+()2=2,
化简得:
t'
2﹣﹣1=0,
∴=﹣1,
∴|MA|•|MB|=||=1.
[选修4-5:
不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x﹣m|﹣3,且f(x)≥0的解集为(﹣∞,﹣2]∪[4,+∞).
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若∃x∈R,使得f(x)≥t+|2﹣x|成立,求实数t的取值范围.
(本小题满分10分)选修4﹣5:
不等式选讲
(Ⅰ)∵函数f(x)=|x﹣m|﹣3,且f(x)≥0的解集为(﹣∞,﹣2]∪[4,+∞).
即|x﹣m|﹣3≥0的解集为(﹣∞,﹣2]∪[4,+∞).
∴m+3=4,m﹣3=﹣2,解得m=1.
(Ⅱ)∵∃x∈R,使得f(x)≥t+|2﹣x|成立,即|x﹣1|﹣3≥t+|2﹣x|,
∴∃x∈R,|x﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3,
令g(t)=|x﹣1|﹣|x﹣2|=,
∴∃x∈R,|x﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3成立,
∴t+3≤g(x)max=1,∴t≤﹣2.
2018年上海市崇明区高考数学一模试卷
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,其中1-6题每题4分,7-12题每题5分)
1.(4分)已知集合A={1,2,5},B={2,a},若A∪B={1,2,3,5},则a= .
2.(4分)抛物线y2=4x的焦点坐标为 .
3.(4分)不等式<0的解是 .
4.(4分)若复数z满足iz=1+i(i为虚数单位),则z= .
5.(4分)在代数式(x﹣)7的展开式中,一次项的系数是 .(用数字作答)
6.(4分)若函数y=2sin(ωx﹣)+1(ω>0)的最小正周期是π,则ω= .
7.(5分)若函数f(x)=xa的反函数的图象经过点(,),则a= .
8.(5分)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的体积为27πcm3,则该几何体的侧面积为 cm2.
9.(5分)已知函数y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=2x﹣ax,且f
(2)=2,则a= .
10.(5分)若无穷等比数列{an}的各项和为Sn,首项a1=1,公比为a﹣,且Sn=a,则a= .
11.(5分)从5男3女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人志愿者服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答)
12.(5分)在ABC中,BC边上的中垂线分别交BC,AC于点D,E.若•=6,||=2,则AC= .
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
13.(5分)展开式为ad﹣bc的行列式是( )
14.(5分)设a,b∈R,若a>b,则( )
A.< B.lga>lgb C.sina>sinb D.2a>2b
15.(5分)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
16.(5分)直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A,B两点,设P为双曲线上任一点,若=a+b(a,b∈R,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( )
A.a2+b2≥1 B.|ab|≥1 C.|a+b|≥1 D.|a﹣b|≥2
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)
17.(14分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,A1C与底面ABCD所成的角为60°
(1)求四棱锥A1﹣ABCD的体积;
(2)求异面直线A1B与B1D1所成角的大小.
18.(14分)已知f(x)=2sinxcosx+2cos2x﹣1.
(1)求f(x)的最大值及该函数取得最大值时x的值;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若a=,b=,且f()=,求边c的值.
19.(14分)2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目.规划从2017年起,在今后的若干年内,每年继续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元,并预测在相当长的年份里,每年的净收入均为上一年的基础上增长50%.记2016年为第1年,f(n)为第1年至此后第n(n∈N*)年的累计利润(注:
含第n年,累计利润=累计净收入﹣累计投入,单位:
千万元),且当f(n)为正值时,认为该项目赢利.
(1)试求f(n)的表达式;
(2)根据预测,该项目将从哪一年开始并持续赢利?
请说明理由.
20.(16分)在平面直角坐标系中,已知椭圆C:
+y2=1(a>0,a≠1)的两个焦点分别是F1,F2,直线l:
y=kx+m(k,m∈R)与椭圆交于A,B两点.
(1)若M为椭圆短轴上的一个顶点,且△MF1F2是直角三角形,求a的值;
(2)若k=1,且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形,求a与m满足的关系;
(3)若a=2,且kOA•kOB=﹣,求证:
△OAB的面积为定值.
21.(18分)若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意x1,x2(x1≠x2),都有|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|成
立,则称函数f(x)在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”.
(1)若函数f(x)=,(1≤x≤4)是“k﹣利普希兹条件函数”,求常数k的最小值;
(2)判断函数f(x)=log2x是否是“2﹣利普希兹条件函数”,若是,请证明,若不是,请说明理由;
(3)若y=f(x)(x∈R)是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”,证明:
对任意的实数x1,x2,都有
|f(x1)﹣f(x2)|≤1.
1.(4分)已知集合A={1,2,5},B={2,a},若A∪B={1,2,3,5},则a= 3 .
∵集合A={1,2,5},B={2,a},
A∪B={1,2,3,5},
∴a=3.
3.
2.(4分)抛物线y2=4x的焦点坐标为 (1,0) .
∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程,
p=2∴焦点坐标为:
(1,0)
3.(4分)不等式<0的解是 (﹣1,0) .
不等式<0,即x(x+1)<0,求得﹣1<x<0
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