信号与线性系统分析吴大正第四版第三章习题答案Word文件下载.docx
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k≥L
I
%
2-<
y)iJtC⅛)=
3.6、求下列差分方程所描述的LTl离散系统的零输入相应、
零状态响应和全响应。
1)y(k)-2y(k-1^f(k),f(k)=2;
(k),y(-1^-1
3)y(k)2y(k-1)=f(k),f(k)=(3k4)(k),y(-1^-1
1k
5)y(k)2y(k-1)y(k-2)=f(k),f(k)=3
(2);
(k),y(-1)=3,y(-2)=-5
山豊分方程得到系统的齐次方程,求得含有侍定系数的零输入响应,由初始条件求得待定系数•对于冬状态响应•由Jy(Zr)=O.A∙<
0.以及激励/(小叫确定冬状态响应的初始值•进而求解左分方程求得零状态响应.至此可得到系统的全响应。
(1)零输入响应满足方程
yj<
k)-2y,(k-1)=0
特征根为入=2•其齐次解为
yj(k)=「・2*.^≥0
将初始值代入得
yt(-1)=y(—1)=C•21=—1
解上式可得C=-2・于是得该系统的零输入响应
yAk>
=-2・2怙(力)*-24+,e(∕?
)
零状态响应满足方程
yf(,k)-2yf(k-1)=/W
和初始条件力(一1)=0。
由上式可得
yf(k)=/(Zr)÷
23rz(<
--1)
则有
Jrz(O)=/(0)+2^z(-1)=2
系统的零状态响应是齐次差分方程的全解•分别求出方程的齐次解和特解•得
yr"
)=Cf2k-∖-yvU)=Cz2t÷
(-2)
将刃以)的初始值代入,得
yf(0)=Cf—2=Z
解得Ct=仆于是得零状态响应
yfCk)=[4∙2k—2]ε(Λ)
系统的全响应为
y(k)=yf(Zr)+力(厶)=(2l*1—2)e(Z?
(3)冬输入响应满足方程
yr(k)+2yr<
k-∖)=O
特征根为入=一2,具齐次解为
yr(Zr)=C・(一2)"
Myo
将初始值代入•得
y(-1)=C・(一2)1=-1解上式可得,C=2,于是系统的零输入响应为yr(A)=2(—2)隹(Zr)零状态响应满足方程
力⑷+2力4一1)=/⑷和初始条件y(—1)=0。
=JXk)-2y,(k-↑)则有
y(0)=/(0)—2yi(—1)=4系统的零状态响∕⅛⅛∣h齐次耒分方程的全解•分別求出差分方程的齐次解和特解,得
y,(k)=Cz(-2)*÷
yπ(Zr)=C√-2)*÷
(Zr÷
2)
将刃⑷初始值代入,得
”(0)=C√-2)fl÷
2=4
解上式得G=2•于是系统的零状态响应
JFr(Zr)=[2(-2)*+e+2]wd)
(5)咨输入响应满足方程
eyτ(Zr)+2yr(k—I)-I-Iyr(Zr—2)=0特征根为右=A2=一1,其齐次解为
XZ(Zr)=Ci(-1)*÷
C2Λ(-1)SΛ>
将初始值代人•得
yΛ-1)=—C∣÷
C2=3
3jA—2)=Cl—2Cz=—5解以上两式得G=-K(∖=2√Γ⅛系统前零输入响应为
yκ<
⅛)=[(洙一1)(
⅛Jr-r
一I}*]e(
咨状态响应满足方魁
jf∕(⅛)十y(⅛—】)十yi
-Z)=/CA)
由上式得
yr(k)=f(k)—2HyJ-CA—
])
一yf(k—2)
由用始条件
旳(一1)=y√—
2)
=O
得
y√0}=/¢
0)—2y√-1
►—
VfC-2)=3
∙jγJf
Jry(D—/<
1)一ZlyJ(O)-
-VJ
、g
-1)一一号
系统的零状态啊应堆Ih齐次方程的全解,分別求出IF齐次方程的齐次解和特解•得
Vr(A)=Cl<
-l)t+Q⅛(-l)iI-⅜-<
4-)i
*-∙J4≡J!
∏,
VW
将丫卫、的初始值代人*得
IyJr(O)一C+寺=3
19
λ∣≡(∣).=■—C_C—I——==———
解以上两式得Cl=善C=2•于是系统的零状态响应
一ETtIIl-T
yjU)=[y(-D4+2Λ(-1)*
系统的仝响应为
y(k)=Xr⑷亠j∕C⅛)=[⑷+专)(一1)*+
3.8、求下列差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。
2)y(k)-y(k-2)=f(k)
5)y(k)-4y(k-1)8y(k-2)=f(k)
⑵当系统激励/W=5(小时9原差分方程可化为
A(⅛)-Λ(⅛-2)=δ<
k)则有Λ(-l)=Λ(-2)=0,方程的解为
Λ(Z>
)=Cl+Q(-l)fr,⅛≥0乂
∕ι(⅛)=∂(k)+h(k-2)
则
A(O)=δ(0)+Λ(-2)=1
A(I)=(5
(1)+Λ(-1)=O将初始值代入•得
Λ(0)=Ci+C2=1Λ
(1)=G—G=()
解以上两式得,G=C2=寺,则系统的单位序列响应为
IlCk)=+(-l)t]ε(⅛)
乙
(5)当系统激励f<
k)δ(k)时,原差分方程町化为
h(k)-AhCk-1)+8h(k-2)=&
(&
则冇∕ι(-l)=A(-2)=O•方程的解为
h(k)=(2√2)*LC∣cos(y)+Qsin(y)]>
Λ≥0
乂h(k)=^(∕r)+4A(Zr-1)-8Λ(Ar-2)
则Λ(0)=5(0)+4〃(一1)-8∕τ(-2)=1
A(I)=6
(1)+4力(0)—8力(一1)=4将初始值代入•得
Λ(0)=Cl=1
∕ι(l)=(2√2)(C1•鲁+G字)=4
解以上两式得G=UC=X则系统的单位庁列响应为
li(k)=^∕2(2^∕2)kcos(-γ*録)
3.9、求图所示各系统的单位序列响应。
(―
系统输出即为左端加法器的榆出r闵此易得系统的是分方程岭/4)=肌5则系统的响应为单位用列响应Λ(⅛)t同时初始杀件为旅1)=∕t
(2)=**•=
h(一H+1)-OII
CI)由左端加法器的输岀为V<
⅛)可知,相应的迟延单元输出为y(⅛-I),由加法器的输JUiIr⅛⅛⅛的方程为
$⑷=TW+y>
⅛—1)
‰J
令f(k)—駅小・则豢统的单位序列响应満圧
ΛC⅛)=贺小+-1-Λ(⅛-1)
VJ
以从初始第件h(-1)(L则有
A(O)=⅛(0)+⅛C-1)=1
方程的解为A(⅛)=C√y)t^⅛O
将初始值代入*得A(O)=G=1
则系统的肛位庁列响应为∕√⅛)=(yΓε<
(3)⅛S端加法器的输出为竟切可如相应的迟延单元输出为vt⅛-lΛ>
(Λ-2)i
由加法器的输出可知系统的方程为
y(k)=∕<
-4v<
⅛-1)÷
4vt⅛-2)
bz6tG』
令f(k)=&
(k).则系统的单位序列啊应满圧
Λ(⅛)=∂(k)-⅛Λ(Λ-l)+⅜Λ(*-2)
6⅛
以及初始条件Λ(-l)=A(-Z>
=O,则冇
h((J)—(5L(U)-4~A¢
-1)—h(—2)=1
6O
ΛCD-(S(I)-丄占(0)+丄∕Λ-1>
-
666
方程的解为h(k)=G<
-4->
*÷
G(y)∖⅛>
将初始値代人•彳耶旅0)=G+G=1
A(I)=—4-c1+4-c⅛=-4-
2j36
ti9
山以上网式对解得-=≠√∖=÷
J4∣J⅛统单位序列响应为
□□
A(A)—[-z-(—-=-)*H-(-∣-)*Jc(A)
3.10、求图所示系统的单位序列响应。
根据系统框图可得岀系统的建分方程,令方Str端只脊孔U作用时,可求得此时系统的响应⅛Λ,C⅛>
*ffUELTl离散系统的线性性质和时移不变性可求得系统的单位序列响应±
⑴设左端加法器的输出为如.则相应延迟单元的输出为τ(⅛-l),.y(⅛-2>
brħ左端加法器的输出可得
jγ(⅛)一fd+4j^(A—1)—3工“一2)
即
/"
C⅛)—.(■(⅛)—4,j(k—I)+3(k—2)
由YJTSJJIl法器输出可得
y(,k)=3√(⅛)-J(Λ-I)
rtι上式可得
—4y(k—I)—吕[—4j(⅛—1)]一「一4jγ(j⅛一2)]
3y(⅛-2>
=3[3jγ<
Λ-2)]-[3jγ<
A-3)J
将IitI三式相加可得
*>
一4>
(⅛-D+3¼
i-2)
=3[H⅛)-ljc(k1)+3x<
Z-2)]D-(⅛1)-4j(⅛2>
+3λ(⅛3)]
考虑到/(A)=—<
r(⅛-I)⅛3,K⅛-2),∏I得系统的方程
y(⅛)-4y(k-1)+3yU—2>
=3∕(i)—f{k—1)
令右端只有飙I作用时.条统的单位JT列响应为hg叭它满足方程
hl(⅛)—4Λ1(⅛-l>
+3Λι(⅛-2)=S(k}
以及初始条件儿(It-Λ<
2)—⑴则有
Λl(0)=(⅞<
0)+!
⅛∣C-D-3J⅛∣(-2)=1
3.11、各序列的图形如图所示,求下列卷积和。
(1)t(k)J(k)
(2)f2(k)*(k)(3)f3(k)J(k)(4)
t(k)-fι(k)lf3(k)
QlY冕+UImp+Q¾
+(I4→¾
+(z+5pHQ)V(Il3p+(5PZ+(I+spH(WG乔定帘11$«
H≡越曰SSssS-E
〔w
∏TΓΓ
〈…∙O∙7∙II∙ZI0II∙∞O∙∙∙∙)O(SI£
)9—工|妝¾
l《2—Y)gzl(zγ¾
z+Ulγ¾
l(Y)馥H〔s-⅛¾
l≡l-⅛¾
+(-lv)<
5oIQ)^*Hal*¾
+(IIv活CM+(y)gsN
(y)7
(2)亠…O二∙∞9∙9∙9∙s∞∙0∙J∙n(Gl£
)3—(VlYxzl(gls3glsτ+(L+t)3z+(z+y)3"
H□zl->
⅛)g+(ll∙⅛)^+(∙⅛)*〔(Cly)3—(Z+S3〕H
Q)y*S)<
(CM)
〈∙∙∙∙0d√√∙2∙0∙∙∙∙H(plγ)3l("
l⅛3CMl(zlt)3l(I+f)3+E+s3z+("
+iy)3H〔(8—芒3|(Z+53〕二Ul-⅛x+Qsz+U+S心〕H
(V)<
:
*(m)(El£
)9—(zl<
e)v+2l-⅛⅞lQ⅞HQ)T'
(ZlV)9+(IIv¾
z+Q¾
eH(V)U
∞I2IE+S3
⑷[√?
(k)一∕10)]*∕√∕fc)
=[e(Λ+2)-ε(⅛-3)-^CΛ÷
1)-2^(⅛)D]*[立(約+跖(Jt一1)
+駅七一2)]
=「駅能+2}—§
(.k)+机A—2)]*[3肌A)+2肌k—1)+駅矗一2)]
=牯"
十2〉+莎"
+I)-Zd(H-为"
一I}+2^(^-2)十Z$(k—4十占仔一4)
3.13>求题3.9图所示各系统的阶跃响应。
(a)y(k)=f(^)+‰(^-D
y(k)_(k—1)=f(k)
对于单位序列响应,有
h(k)—^h(k-1)=3(k)
O1
A(O)=⅛(-1)+5(0)=1
特征方程为λ-y=0.特征根为入=
g(k)—-^~gCk—1)=ζCk)
g(0)=1)÷
ε(0)=1
又特解为乩4)=£
]A9
令g(k)=C(T)+y⅛≥0
代入g(0)=1得c+⅜=13C=-I∙∙∙g)=[⅜-⅜(⅛)Jea)
(C)V(^)=——1)+—2)+f(^)
6"
6"
对于单位阶跃响应
+⅛(Λ-1)=ε(Λ)
66
g(0)=1
1R
g(l)=—-θ-g(O)+1=θ-
特解为环(Q=1
特征方f⅛λ2+yλ-y=0,
特征根为
~^2
∕c*>
+l
D
3.14、求图所示系统的单位序列响应和阶跃响应
代人g(O),g(D得
将以上两式相加得
y<
k)-‰<
⅛-l>
=-‰<
⅛-1)]-M-1)-‰(⅛-2)J
£
Jf£
jijlλ
则冇y<
k)一y>
(⅛-D=/(⅛)-f(k-])
U
令方程右端只有旅“作用,此时系统的响应为⅛1C⅛)t它满足方程
∕∏(⅛)-yAj(⅛-D=
a
及初始条件ZhC-1)=0’则有
Ai(O)=5(0)+yλ1(-1)=1
方程的解为Λi<
⅛)—C1(y)^(⅛)
将初值牝人■得A1(O)=CI=I
则有Λi<
⅛)=
系统的单位序列响应为
∕fC⅛)=fli(k)hi(k])=荀⑷一(*)隹以I)=M⑷(y)ie(⅛)
系统的阶跃响应为
JbJb
g<
A)=∑A<
O=S[2⅞(i)—(y>
⅛(i)]
if二—gJ二-CJQ1一
=2e<
⅛)-[2-⅛i]β<
A)=<
i)⅛<
⅛)
MW
3.15、若LTl离散系统的阶跃响应g(k“o.5k;
k,求其单位序
列响应。
解由已知可得
⅛(⅛)=V⅛(⅛)=g(Q-gO-l)
=(y}"
et⅛)
■WJad
=S(k)+(^-Ye(k-D一(^)*^lε(½
-])
=<
yc⅛)(⅛A⅛t⅛-1)
=2δ<
k)-<
⅛⅛C⅛)
3.16、如图所示系统,试求当激励分别为
(1)f(k)=;
(k)
(2)f(kr0.5k;
(k)时的零状态响应。
—
*—1
Ca)迟延单元输入为y<
k).则相应的输出为W-I)F由加⅜⅛器的输出叮得条统的基分方程
$4}=ι∕(⅛>
—'
yjr(⅛—I)
(1)当激励/(⅛)=£
(/:
)时方程的解为
yf(k)=CI¢
-⅛-p⅜tΛ≥O
W⅜J,
3tΓtlyf<
~1>
=0,/(0}=¢
(0)=1*可得
yf(0)=JXO)—>
7C—L)=1
则冇划W)=Cl+y=1
解得G=则此时系统的零状态响应为
fcO11
37⑷=CyIy(—y)*]εt⅛)
3.18、如图所示的离散系统由两个子系统级联组成,已知
hik=2cosk,h2k=a'
k,激励fk=、.k-a、k-1,求该系统的
4Cl
零状态响应y/k)。
(提示:
利用卷积和的结合律和交换律,
可以简化运算。
用)
解复合系统的种激响应为
h(k)=7τj(⅛)*hΛk)则当激励为f⑷时,复合系统的零状态响应为yr(k)=f(k)*Λι(⅛)*∕?
>
(⅛)=/(⅛)*(k)*Al(½
=_Stk)—tw5(A—1)]*uke(k)*2cos()
—f(k)—a*αt^1e(⅛—1)_⅛2cos(^)
4
=(J(⅛)*2c□s(⅛)=2cos(⅛r)
44
3.22、如图所示的复合系统有三个子系统组成,它们的单位序列响应分别为^k^k,h2k=;
k-5,求复合系统的单位序列响应。
/(⅛)
解复合系统的冲激响应为
h(k)=Λ1(Λ)*A2(Zr)
则当激励为/(归时,复合系统的寒状态响应为
=/(Zr)*∕ι](Zr)*Jι2(k)—/(Zr)*h2(Zr)*Aι(Z:
=Γ⅞(Z>
)1)]*√ε(^)*2cos(⅛)
=[cιiε(k)-CI・at1ε(^—1)]*2cos(密)
t^(Λ)×
2cos(
⅝)
=2cos(^^)
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