数学论文Word下载.docx
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b,b>
ca>
c
(3)不等式可加性a+b<
ca<
c-b
a>
ba+c>
b+c
(4)不等式可成性
a>
b
2不等式的运算性质
(1)加法法则:
a>
b,c>
da+c>
b+d
(2)减法法则:
da-d>
b-c
(3)乘法法则:
b>
0,c>
d>
0ac>
bd>
0
(4)除法法则:
0>
>
(5)乘方法则:
0,an>
bn>
0(n∈N,n≥2)
(6)开方法则:
0,>
0 (n∈N,n≥2)
3基本不等式
(1)a∈R,a2≥0 (当且仅当a=0时取等号)
(2)a,b∈R,a2+b2≥2ab (当且仅当a=b时取等号)
(3)a,b∈R+,≥ (当且仅当a=b时取等号)
(4)a,b,c∈R+,a3+b3+c3≥3abc (当且仅当a=b=c时取等号)
(5)a,b,c∈R+,≥ (当且仅当a=b=c时取等号)
(6)|a|-|b|≤|a±
b|≤|a|+|b|
(三)不等式证明原则
1.不等式的概念和性质是进行不等式的变换,证明不等式和解不等式的依据,应正确理解和运用不等式的性质,弄清每条性质的条件与结论,注意条件与结论之间的关系。
基本不等式可以在解题时直接应用。
2.证明不等式不但用到不等式的性质,不等式证明的技能、技巧,还要注意到横向结合内容的方方面面.如与数列的结合,与“二次曲线”的结合,与“三角函数”的结合,与“一元二次方程,一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约。
3.在不等式证明中还要注意数学方法,如比较法(包括比差和比商)、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等,还要注意一些数学技巧,如数形结合、放缩、分类讨论等.
(四)部分证明方法总结
1.直接应用不等式的性质
例1.已知:
a.>
1,b>
2,求证:
(a+b)2>
9
解:
∵a.>
2
∴(a+b)>
1+2=3
∴(a+b)2>
2.应用部分函数性质
例2.已知1>
=sinx>
0求证:
2>
=2sin(x+450)>
一
略
3.比较法
例3.例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖,假如再添上m克糖,糖水会变得更甜,试将这一事实用数学关系式反映出来,并证明之
分析:
本例反映的事实质上是化学问题,由浓度概念(糖水加糖甜更甜)可知
,,
例4.已知a,b∈R,且a+b=1.求证:
即(当且仅当时,取等号).
总结:
作差比较:
.
作差比较的步骤:
①作差:
对要比较大小的两个数(或式)作差.
②变形:
对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和.
③判断差的符号:
结合变形的结果及题设条件判断差的符号.
注意:
若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小.
4.综合法:
例5.设m等于,和1中最大的一个,当时,求证:
分析:
本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于,和1中最大的一个”翻译为符号语言“,,”,从而知.
证明:
,.
由因导果***(不违背不等式证明原则即可)
5.分析法:
例4.解:
因为显然成立,所以原不等式成立.
总结:
分析法是基本的数学方法,使用时,要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.
执果索因.基本步骤:
要证……只需证……,只需证……
①“分析法”证题的理论依据:
寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.
②“分析法”证题是一个非常好的方法,但是书写不是太方便,所以我们可以利用分析法寻找证题的途径,然后用“综合法”进行表达.
6.放缩法:
例3.解:
证法二:
,
∵
∴左边==右边.
点评:
根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点,选用基本不等式.
将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.
放缩法的方法有:
①添加或舍去一些项,如:
;
②将分子或分母放大(或缩小);
③利用基本不等式,如:
;
④利用常用结论:
(程度大)
(程度小)
7.换元法
例6:
已知求证2|X+Y|≤
设即可
换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元.
如:
已知,可设;
已知,可设();
(五)构造法介绍:
在证明不等式时,根据欲证不等式的具体结构特征,通过观察、联想,构造出方程、函数、不等式、图形、数列、复数、向量等某个数学模型,并将所证的不等式转化为研究该数学模型的特征,达到促进转化,简化证明的目的。
这种证明的方法叫构造法。
一.构造函数法
例1已知x>
0,求证:
证:
构造函数则,设2≤a<
b
由
显然∵2≤a<
b∴a-b>
0,ab-1>
0,ab>
0∴上式>
0
∴f(x)在上单调递增,∴左边
例2求证:
证:
设则
用定义法可证:
f(t)在上单调递增
令:
3≤t1<
t2则
∴
例3如果一元二次方程,有两个实数根,且0<
x1<
1,1<
x2<
2,求k的取值范围。
思路:
此问题联想到一无二次方程的根是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标,由图可以看出x=0,1,2时的函数值y分别大等于0,小于0,大于0。
二.构造方程法:
例1已知实数a,b,c,满足a+b+c=0和abc=2,求证:
a,b,c中至少有一个不小于2。
由题设:
显然a,b,c中必有一个正数,不妨设a>
0,
则即b,c是二次方程的两个实根。
∴即:
a≥2
例2k为实数,证明代数式的值中最多有三个正整数。
解:
设=t,则有①当1-t≠0时,上述关于k的一元二次方程有实数根,故△≥0,即整理得求得可取正整数2、3。
②当1-t=0,t=1,则有k=0
综上知,的取值中,最多可取三个正整数1、2、3。
评注:
此题通过设辅助未知数,从而构造了一元二次方程这样一个数学模型,通过对方程的研究,解决了代数式的取值中会取几个正整数的问题。
例3已知实数a,b满足,那么t的取值范围是____________。
评注:
此题是通过构造方程,然后利用方程的知识解决问题的,充分体现了转化的和方程的思想方法,使方程思想和转化的思想有机的结合在一起。
培样了学生分析问题的能力和运用知识的能力,以及解决问题的能力,锻练了学生的思维的创造性。
三、构造数轴,解决绝对值的实际应用问题
四、构造平面直角坐标系(也称为运用解析法)
例1当x为何值时,有最小值(a、b、c以正数),并求最小值。
思路:
在平面直角坐标系内的横轴上取一点P(x,0),使其至A(0,a)B(c,b)的距离之和最小,从图上看出当P与A、B共线时,和最小,此时,ymin=
例2P是正方形ABCD内一点,PA=5,PB=8,PC=13,求正方形的面积。
建立以A为原点,AB边所在的直线为X轴的平面直角坐标系,并设B点坐标为(m,0),则C点坐标为(m,m),D点坐标为(0,m),另设P点坐标为(x,y).此时可转化为方程组解决。
例3在直角△ABC中,∠C=900,中线AD=7,中线BE=4.求AB的长。
建立以直角顶点C为原点,两直角边所在直线分别为x轴、y轴的坐标系,设D点坐标为(m,0),E点坐标为(0,n),则B,A两点的坐标分别为(2m,0),(0,2n)此时可转化为方解决。
五、构造不等式
例1若S=,则S的整数部分是__________。
(2002年全国初中数学联赛预赛)
∵S的部分共有22项,∴S>
。
故S的整数部分是90。
六构造几何图形
通过构造图形去解决数学问题,充分体现了一种非常重要的数学思想方法:
数形结合法。
“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念,它们是数学的两大支柱。
数量关系抽象、几何图形直观。
将这两个既对立、又统一的概念巧妙地加以沟通,是研究、解决数学问题的一种重要的方法。
(1)构造直角梯形
例1设m,n,p为正整数且
由题意,运用勾股定理的逆定理构造直角梯形,易知当m≠n时,AE>CD,当m=n时,AE=CD,所以AE≥CD。
即0<m+n≤p,所以≥
即的最小值为。
(2)构造直角三角形
例1求22.50的正切函数值。
我们可以借助450角的函数值,通过构造等腰直角三角形支解决。
同样这种题目也可以变为求150的正切值,请同学们自己支思考并解决。
(3)构造矩形
例1凸八边形ABCDEFGH的八个内角都相等,且AB、BC、CD、DE、EF、FG的长度为,求这个八边形的周长。
凸八边形的每个内角都相等,那么它们应等于135度,每个角的外角都等于45度,我们可延长八边形的边AB、EF与CD、GH,得一矩形,矩形的四个角为等腰直角三角形,据等腰直角三角形的边的关系和矩形对边相等的关系不难求出凸八边形ABCDEFGH的周长为。
如果是凸八边形的内角都相等,且知道连续四边的长,可借助矩形去解决。
(4)构造等腰三角形
例1如图所示,四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别为AD、BC的中点,BA、CD的延长线分别交FE的延长线于M、N,求证:
∠AME=∠DNE。
连结BD,取BD的中点G,连EG、FG,易证得
EG∥CD,且EG=CD,
而AB=CD,所以EG=GF,所以∠GEF=∠GFE。
即
∠AME=∠DNE
(5)构造圆
例1在△ABC中,AB=AC,BC边上的高AD=5,M为AD上一点,MD=1,且∠DMC=3∠DAC,试求△ABC的周长。
以M为圆心,MC为半径作⊙M,⊙M交AC于F,
交AD及其延长线于E、G。
根据∠DMC=3∠DAC,
结合MC=MF,易得∠FAM=∠FMA。
故AF=FM,设CD=x,
则CM=MF=AF=
据圆幂定理有AF·
AC=AE·
AG,
可得x=,从而可求△ABC的周长为。
此题的思路总而言之就是添加辅助圆构造圆幂定理的基本图形。
例2在等边△ABC外有一点D,满足AD=AC,求∠BDC的度数。
因△ABC是等边三角形,故必有AB=AC=BC,又AC=AD,故可以以A为圆心,AB为半径画圆,此圆一定过B、C、D三点,所以∠BDC=∠BAC=×
600=300。
直线形的问题转化为圆来解决,转化巧妙,思路清晰。
(6)构造三角形
例1求下列图形中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数?
连结BC,因为∠A+∠D=∠DBC+∠ACB,所以
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=1800。
求多角和,可以联想到三角形的内角和最容易求,
依据题目特点,可考虑构造三角形解题。
例2如图所示,四边形ABCD中,AD=1,BC=,∠C=900,∠B=600且∠A+∠C=∠B+∠D,求AB,CD的长?
只要延长CD,BA补全图形,就能顺利的找出解题途径。
例3如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,CE是∠BCD的平分线,
CE⊥AD,DE=2AE,CE把梯形分成面积S1和S2两部分,
求S1:
S2?
延长CB,CA交于F点。
通过构造三角形,很容易解决问题。
四.构造向量
构造向量除有坚实的基础知识外,还特别要知道实现构造的理论基础:
(1)
(2)。
(一)证明不等式
通过构造向量,利用向量的重要不等式:
,或,以达证明不等式之目的。
例1.设a、b、c、d均为正数,求证
证明:
构造向量,,由得
例2.若,求证:
构造向量,,
则
于是由
有
得
将例1推广到更一般的形式,即有
例3.若和都是正数,则
构造向量,
于是,由得
从上述证明,发现条件和是正数是多余的。
而且利用还可以推出
例4.设任意实数x,y满足,,求证:
由向量数量积性质得
所以
即
例5.设a,b为不等的正数,求证
构造向量,,则
因为a,b为不相等的正数,所以,即,
例6.已知x>
0,y>
0,且x+y=1,求证:
构造向量,则,而
由,得
所以
例7.求证:
设
(1)当至少有一个为零时,所证不等式成立;
(2)当都不是零向量时,设其夹角是,则有
因为,即
点拨:
只要实质上,甚至形式上和向量沾点边的,都是向量的亲戚,用向量去思考,没错!
(二)研究等量关系
例8.已知:
对于任何正整数都有
借助向量不等式等号成立的条件,构造向量,可化难为易。
构造向量,则
,所以,故同向,则
即,所以代入题设得:
于是
例9.已知,求锐角。
本题如果直接进行三角恒等变换,较难求出的值。
换一种思路,引入向量,问题迎刃而解。
由已知得,
构造向量,
则,
由,得,即
,则
三.求值域或最值
例10.求函数的最大值。
本题是求无理函数的最值问题,按常规方法求解有一定的难度,若正确构造向量,利用向量数量积的性质解答,将会使求解非常容易。
原函数可变为,设,因为,所以构造向量由
得,
从而,当且仅当时,
例11.求函数的值域。
分析函数解析式的特征,结构上接近两个向量的差,于是构造向量。
设,,不共线
,即
例12.已知x>
0,且x+y=1,求的最大值
利用向量数量积的一个重要性质,变形为可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目,采用构造向量去解往往能化难为易,同时提高了学生的观察分析能力和想象能力
总之,构造向量法,为我们研究数学问题提供了一种崭新的思维视角,体现了知识的交汇和联系,是高层次思维的反映,常用构造法解题,能起到发展思维,提高能力,挖掘潜力之功效.
思考:
已知:
,求证:
印象中题目形式越简单,解法便越多越开放。
你能想出多少解法呢,哪一种最妙?
1观地一看,这是一个条件不等式的证明题。
用基本不等式证明应该是大多数同学的首选方法。
经等价变形,原题即要证
事实上右式=
≥
=即得证。
怎么样!
从题目表面很容易入手也很容易解决吧。
2刚刚学完解几的高二同学应该会想到点到直线的距离公式,关键在于如何构造“形”。
不妨把z当作一个定量,那么(x,y)的轨迹是的一段圆弧。
如图所示
构造直线l:
ax+by=0由于圆上任意一点到直径的距离小于等于半径长
对于本题中的1/4圆弧、有限制的直径显然也成立。
即d≤r,代入x、y、z、a、b本题证毕
3们有这样的经验:
在解几中运用参数法化双变量为单变量,从而使问题大大简化。
令x=zcosθ,y=zsinθ
问题便转化为求证不就是三角函数的有界性嘛,原来问题如此简单
用一下辅助角公式便搞定了
4记得高一时候那个“不伦不类”的向量吗,千万别小觑它,数量积的运用往往会有奇效!
令
我们有→(两向量的数量积不大于模的积)
∴(一向量在另一向量上的投影不大于其自身的模)
顺便提一下,有的同学当时只会从形而不会从数的角度想通为什么不可能成立,看过解法一以后应该明白了吧。
5后提供一种不容易想到的构造。
令f(k)=(xk-a)2+(yk-b)2=(x2+y2)k2-2(ax+by)k+(a2+b2)其图像在X轴上方
∴方程f(k)=0的△≤0即4[(ax+by)2-(x2+y2)(a2+b2)]≤0于是不难得到最后的结论。
解法评析:
除解法一用基本不等式直接证明以外都用到了构造法,其中当解法四最为巧妙,充分体现了数学的美、向量的威力;
解法二和解法三应当注意数和形的等价变换,如1/4圆弧、θ的范围不应该漏掉;
或许有人会认为解法五是在用“原子弹炸蚊子”,而这看起来有点烦的方法恰恰是解决本题深刻数学背景——柯西不等式的通法,大家可以从中体验取等号的条件。
一道小小的证明题竟然可以涉及二次函数、三角函数、平面向量、基本不等式、解析几何这五块高中数学主干知识!
作为高中生特别是毕业班的学生只有平时做题多思考、多联想,举一反三,横纵向比较,博采众长锐意创新方能随心所欲、战无不胜。
知识广而深,方法多而活,技巧强而新,功到自然成。
用构造法来证明较为复杂的不等式,是通过建立和构造模型创造性的解题,是不同于常规解法的创造性思维。
当然,创造性思维的培养并不是一朝一夕的事,也不是一章一节之内容,而是应该长期坚持,立足课堂主战场,注重教材中潜在内涵的挖掘,引导学生的科学研究的方式去探索,标新立异
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