五年级奥数下册.docx
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五年级奥数下册.docx
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第一讲分数计算技巧(裂项)
(美国长岛小学数学竞赛)
(第五届《小数报》数学竞赛初赛计算题第3题)
计算
(2009年迎春杯初赛六年级)
计算
(第三届祖冲之杯邀请赛填空题第12题、人大附中入学测试题)
计算
计算
1.黄金数列
2.裂差:
先裂再碎,掐头去尾。
抵消
3.裂和
凑整
测试题一
1.
A.1 B.1 C. D.
2.
A. B. C. D.
3.
A. B. C. D.
4.
A. B. C. D.
5.+++……+
A.10 B.9 C.9 D.10
第二讲分数四则混合运算
计算
计算
计算
计算
计算
(2007年希望杯第五届六年级一试)
计算
第三讲因数与倍数
(一)
——公因数公倍数
因数和倍数的定义:
如果一个自然数a能被自然数b整除,那么称a为b的倍数,b为a的因数。
注意:
有些题目中会出现“约数”一词,它与“因数”的含义是完全相同的。
因数的找法:
因数总是成对出现的,一个自然数的每一对因数之积都等于这个自然数本身。
如60包含因数:
1和60;2和30;3和20;4和15;5和12;6和10。
如果你写出12的所有因数,1和12除外,你会发现最大的因数是最小因数的3倍。
现有一个整数n,除掉它的因数1和n外,剩下的因数中,最大因数是最小因数的15倍,那么满足条件的整数n有哪些?
最大公因数的定义:
如果一个自然数同时是若干个自然数的因数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公因数。
在所有公因数中最大的一个公因数,称为这若干个自然数的最大公因数。
例如:
(8,12)=4,(6,9,15)=3。
最小公倍数的定义:
如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数,
称为这若干个自然数的最小公倍数。
例如:
[8,12]=24,[6,9,15]=90。
求最大公因数的方法:
分解质因数法:
先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来.
例如:
231=3×7×11,252=22×32×7,所以(231,252)=3×7=21;
又如:
24=23×3,36=22×32,所以(24,36)=22×3=12;
短除法:
先找出所有共有的因数,然后相乘.
例如:
,所以(12,18)=2×3=6。
幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个,平均分给大班小朋友,结果糖多出7颗,饼干多出4块,桔子多出2个。
这个大班的小朋友最多有多少人?
现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公因数中,最大的可以是多少?
求最小公倍数的方法:
分解质因数法:
先分解质因数,然后把所有出现过的因数连乘起来,相同的只乘一次。
例如:
231=3×7×11,252=22×32×7,
所以[231,252]=22×32×7×11=2772;
又如:
24=23×3,36=22×32,所以[24,36]=23×32=72;
短除法:
先找所有包含的因数,然后相乘。
例如:
,所以[18,12]=2×3×3×2=36;
特殊地,如果要求多个数的最小公倍数,需要短除直至任意两数都互质。
例如:
,所以[12,18,40]=2×3×2×3×1×10=360;
动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12粒;如只分给第二群,则每只猴子可得15粒;如只分给第三群,则每只猴子可得20粒。
那么平均给三群猴子,每只可得多少粒?
菜单A=ma
菜单B=mb
(A,B)=m
[A,B]=mab
(A,B)×[A,B]=A×B
a,b两数的最大公约数为4,最小公倍数为120。
问a,b各是多少?
写出所有答案。
甲、乙两数的最小公倍数是90,乙、丙两数的最小公倍数是105,甲、丙两数的最小公倍数是126,那么甲数是多少?
测试题三
1.现有一个整数n,除掉它的因数1和n外,剩下的因数中,最大因数是最小因数的12倍,那么这个整数最小是()
A.12 B.24
C.36 D.48
2.学校举办运动会,给啦啦队的队员分物品,共有141面小旗,232束花环,278条彩带,若平均分给啦啦队的队员,则旗多3面,花环多2束,彩带多2条,那么啦啦队的队员最多有()人。
A.40 B.42
C.46 D.48
3.4个自然数的和是1001,那么这4个数的公因数当中,最大的可能是()
A.143 B.200
C.286 D.429
4.幼儿园给小朋友分水果,如果只分给小班的小朋友,那么每人可得4个,如果只分给中班的小朋友,那么每人可得6个,如果只分给大班的小朋友,那么每人可得12个,那么平均分给三个班的小朋友,每人可得()个。
A.1 B.2
C.3 D.4
5.两个数的最大公因数是4,最小公倍数是56,那么这两个数的和是()
A.30 B.60
C.36或60 D.36
第四讲因数与倍数
(二)
—约数倍数综合运用
两个自然数不成倍数关系,它们的最大公约数是18,最小公倍数是216,这两个数分别是多少?
两个数的最大公约数是6,最小公倍数是420,如果这两个数相差18,那么较小的数是多少?
有一些小朋友排成一行,从左面第一人开始每隔2人发一个苹果;从右面第一人开始每隔4人发一个桔子,结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到。
那么这些小朋友最多有多少人?
一次考试,参加的学生中有七分之一得优,四分之一得良,三分之一得中,其余的得差,已知参加考试的学生不满100人,那么得差的学生有人。
有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行,甲每分钟走80米,乙每分钟走120米,丙每分钟走70米。
已知操场跑道周长为400米,如果三个人同时同向从同一地点出发,问几分钟后,三个人首次同时回到出发点?
(10年希望杯五年级初赛第11题)
夜里下了一场大雪,早上,小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度,他们从同一点同向行走。
小龙每步长54厘米,爸爸每步长72厘米,两人各走完一圈后又都回到出发点,这时雪地上只留下60个脚印。
那么这条小路长__米。
连续7个自然数的和既是5的倍数,也是9的倍数,那么这7个自然数中最大的一个数的最小值是_______。
测试题四
1.有两个自然数,它们的最大公因数是12,最小公倍数是180,并且两数不成倍数关系。
这两个数分别是()
A.36,60 B.12,180 C.12,150 D.36,150
2.两个数的最大公因数是18,最小公倍数是180,两个数相差54,这两个数分别是()
A.45,72 B.36,90 C.24,135 D.18,180
3.鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端开始向另一端挖洞。
鼹鼠每隔3米挖一个洞,老鼠每隔5米挖一个洞,老鼠对鼹鼠说:
“你挖完后,我再挖。
”这样一来,由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞,所以老鼠可以少挖()个洞。
A.10 B.9 C.6 D.5
4.某班学生不足50人,在一次测验中有七分之一得优,三分之一得良,二分之一及格,这个班有()人。
A.45 B.44 C.43 D.42
5.三个无业游民A、B、C在一棵树下赌博,开始时他们所有钱数比是7∶6∶5,赌完之后他们的钱数比变成6∶5∶4(钱的所有者次序相同)。
其中一个人嬴了12元,他原来有()元钱。
A.420 B.210 C.105 D.55
第五讲完全平方数
(一)
一、完全平方数的定义:
我们把一个自然数与自身相乘的乘积叫做完全平方数或平方数。
如02=0,12=1,22=4,…,112=121,122=144,…其中0,1,4,…,121,144叫做完全平方数。
二、完全平方数表:
五年级应记住20以内自然数的平方,六年级应记住32以内自然数的平方。
32以内自然数的平方如下:
三、完全平方数的常用性质:
性质1:
完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9;
某班同学做体操时正好可以排成一个行数与列数相等的方阵。
做完操后,老师让班长按5人一组分组活动,班长算了一下说:
“5人一组分组还多2人。
”老师马上说:
“你一定算错了。
”你知道老师这样说的根据吗?
性质2:
完全平方数除以3只可能余0或1;
完全平方数除以4只可能余0或1;
完全平方数除以8只可能余0、1或4;
完全平方数除以16只可能余0、1、4或9;
有一个三位数,它是两个相异的完全平方数之和。
请问这个三位数的最大值是多少?
性质3:
如果一个完全平方数的个位是6,则十位是奇数;(反之也一样)
如果一个完全平方数的个位是0,则它后面连续的0的个数一定是偶数;
如果一个完全平方数的个位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个;
如果一个完全平方数的个位是奇数,那么它的十位一定是偶数;
有没有各位数字完全相同的完全平方数?
(至少两位)
性质4:
完全平方数做质因数分解后每个质因数的次数都是偶数;
从1到2008的所有自然数中,乘以72后是完全平方数的共有多少个?
求一个最小的自然数,它乘以2后是完全平方数,乘以3后是完全立方数。
测试题五
1.7744是四位数中唯一一个前两位数字相同,后两位数字也相同的完全平方数吗?
A.不是 B.不确定 C.是
2.8,88,888,8888…中有完全平方数吗?
A.有 B.没有 C.不确定
3.已知恰是自然数的平方数,的最小值是()
A.5 B.6 C.3 D.2
4.从1到1820的所有自然数中,乘以48后是完全平方数的共有多少个?
A.24 B.25 C.19 D.21
5.两数乘积为,而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多,那么这两个数分别是()
A.31、36 B.36、30 C.40、42 D.38、24
第六讲完全平方数
(二)
性质5:
完全平方数的因数一定有奇数个,反之亦然。
特别地,因数个数为3的自然数是质数的平方。
求一个房间中有100盏灯,用自然数1,2,…,100编号,每盏灯各有一个开关。
开始时,所有的灯都不亮。
有100个人依次进入房间,第1个人进入房间后,将编号为1的倍数的灯的开关按一下,然后离开;第2个人进入房间后,将编号为2的倍数的灯的开关按一下,然后离开;如此下去,直到第100个人进入房间,将编号为100的倍数的灯的开关按一下,然后离开。
问:
第100个人离开房间后,房间里哪些灯还亮着?
(2009年迎春杯初赛五年级)200名同学编为1至200号面向南站成一排。
第1次全体同学向右转(转后所有的同学面朝西);第2次编号为2的倍数的同学向右转;第3次编号为3的倍数的同学向右转;…;第200次编号为200的倍数的同学向右转;这时,面向东的同学有______名。
性质6:
平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b)
其中a+b,a-b奇偶性相同。
特殊时期,b=1有不同应用。
一个数减去100是一个完全平方数,减去63也是一个完全平方数,问这个数是多少?
一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差,则称这个自然数为“智慧数”,比如16=52-32,16就是一个“智慧数”。
在自然数列中从1开始数起,第2009个“智慧数”是________。
草地上趴着3599只面朝前的小甲虫。
他们身上背着从1到3599的号码牌。
第一秒时号码是1的倍数的甲虫向右转90度,第二秒时2的倍数的小甲虫向右转90度,第三秒时3的倍数的小甲虫向右转90度…一个小时后,第3599只小甲虫面朝哪儿?
测试题六
1.已知,都是自然数,且=,则的最小值为()
A.26 B.39 C.42 D.50
2.三个连续正整数,中间一个是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。
问:
所有美妙数的最大公约数是多少?
A.50 B.60 C.56 D.39
3.能否找到这么一个数,它加上24,和减去30所得的两个数都是完全平方数?
A.能 B.不能 C.不确定
4.一个正整数若能表示为两个正整数的平方差,则称这个数为“智慧数”,比如16=,16就是一个“智慧数”,那么从1开始的自然数列中,第2003个“智慧数”是_______。
A.2673 B.3259 C.1986 D.2158
5.有两个两位数,它们的差是,将它们分别平方,得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同,那么这样的两位数有组。
A.4 B.3 C.2 D.1
第七讲数字谜综合
有一个四位数,在它的某位数字后加上一个小数点,得到一个小数。
再把这个小数和原来的四位数相加,得数是4003.64,求这个四位数。
把1至6填入下面的方框中,每个数字恰好使用一次,使得等式成立。
请写出所有的答案。
已知a是一个自然数,A、B是1至9中的数字,最简分数。
请问:
a是多少?
将1,2,3,4,5,6,7,8,9分别填入图中的9个圆圈内,使其中一条边上的4个数之和与另一条边的4个数之和的比值最大,那么这个比值是多少?
老师在黑板上写了13个自然数,让小明计算平均数(保留两位小数),小明计算出的答数是12.43。
老师说最后一位数字错了,其他的数字都对。
正确答案应该是什么?
上式是经过四舍五入得到的等式,其中每个△代表一个一位数。
那么这3个△所代表的3个数分别是多少?
测试题七
1.有一个五位整数,在它的某位数字前面加上一个小数点,再与这个五位数相加,得数是30286.256.求这个五位数是多少?
A.30256 B.20836 C.40356 D.31456
2.小明在做一道数学题,题目要求计算17个自然数的平均值(结果精确到0.001),小明计算的结果是14.473,第二天老师公布答案时,小明发现自己的结果就是最后一位错了,其他都对,那么正确的结果是多少?
A.14.478 B.14.475 C.14.474 D.14.471
3.你能用1,3,7,8四个数,适当进行加、减、乘、除运算,每个数恰好用一次,使得计算结果等于21吗?
A.能 B.不能
C.不确定 D.以上答案都不对
4.循环小数化成最简分数后,分子与分母之和为400,那么A,B,C分别是多少?
A.3、2、6 B.2、0、1 C.1、3、5 D.4、0、3
5.将3,4,5,6,7,8,9,10,11分别填入图中的9个圆圈内,使其中一条边上的4个数之和与另一条边的4个数之和的比值最大。
那么这个比值是多少?
A.1 B.2 C.3 D.4
第八讲等比数列
(一)
什么是等差数列?
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差。
什么是等比数列?
和等差数列类似,一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比。
找出下列数列的规律,继续写出两项,并说出哪些是等差数列,哪些是等比数列?
⑴5,5,5,5
⑵1,2,4,7,11
⑶6,12,24,48,96
⑷2,3,5,8,13
⑸20,17,14,11,8
世界杯期间,e度社区举办了竞猜得金币活动。
只要你竞猜成功,你的金币数就会乘以一个固定的倍数(可以是分数)。
小昊昊原来有200个e度金币,在竞猜成功两次后,金币数变成了450个。
那么小昊昊下一次竞猜成功后,会有多少金币?
一个等比数列,其相邻两项的差(大减小)构成一个公比为4的等比数列,第3项比第2项小12。
那么第1项是多少?
一个等比数列,第1项和第5项的和是164,第2项和第6项的和是492。
那么第1项是多少?
计算:
1+2+4+8+…+1024
测试题八
1.下列数列哪些是等差数列,哪些是等比数列?
()
① ② ③
A.等差数列:
①,等比数列:
②,③
B.等差数列:
①,③,等比数列:
①,②
C.等差数列:
①,③,等比数列:
②
D.等差数列:
③,等比数列:
①,②
2.世界杯期间,e度社区举办了竞猜得金币活动。
只要你竞猜成功,你的金币数就会乘以一个固定的倍数(可以是分数)。
小昊昊原来有150个e度金币,在竞猜成功两次后,金币数变成了600个。
那么小昊昊下一次竞猜成功后,会有()金币。
A.1000 B.1100 C.1200 D.1300
3.一个等比数列,其相邻两项的差(大减小)构成一个公比为6的等比数列,第3项比第2项小10。
那么第1项是()。
A.60 B.72 C.84 D.96
4.一个等比数列,第1项和第5项的和是8194,第2项和第6项的和是65552。
那么第1项是()。
A.2 B.8 C.12 D.16
5.计算:
的和是()
A.3278 B.3280 C.6560 D.6562
第九讲时钟问题
两点几分,时针分针重合?
有一座时钟现在显示10时整,那么,经过多少分钟,分针与时针第一次重合?
再经过多少分钟,分针与时针第二次重合?
4时与5时之间,什么时刻时钟的分针和时针成一直线?
8时到9时之间,在什么时刻时针与分针的夹角是60度?
在0点到12点之间,钟面上的时针与分针成60°有几次?
在早晨6点到7点之间有一时刻,钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央。
请问:
这一时刻是6点多少分?
测试题九
1.在6点和7点之间,两针在()时重合。
A.5点分 B.6点分
C.6点分 D.6点分
2.现在是6点45分,()时时针与分针第一次重合。
A.7点39 B.6点38
C.7点38 D.7点38
3.一个时钟现在显示的时间是8点整,那么
⑴()分钟后,时针与分针第一次重合。
⑵再经过()分钟后,时针与分针第一次张开成一条直线。
A., B.,
C., D.,
4.在10点与11点之间,钟面上时针和分针在()时刻第一次垂直,()时刻第二次垂直。
A.10点分,10点分
B.10点分,11点分
C.11点分,10点分
D.10点分,10点分
5.在18点18分这个时刻,钟表盘面上时针和分针的夹角是()度。
A.81度 B.72度 C.69度 D.83度
第十讲分数应用题
胖胖重30kg,气球重45kg。
胖胖的体重是气球的几分之几?
气球的体重比胖胖多几分之几?
胖胖的体重比气球少几分之几?
气球的体重比胖胖多,则胖胖比气球少几分之几?
有男女同学325人,新学年男生增加25人,女生减少,总人数增加16人,那么现有男同学多少人?
一批木料先用去总数的,又用去剩下的,这时用去的比剩下的多10立方米,这批木料共有多少立方米?
甲、乙两人星期天一起上街买东西,两人身上所带的钱共计是86元。
在人民市场,甲买一双运动鞋花去了所带钱的,乙买一件衬衫花去了人民币16元。
这样两人身上所剩的钱正好一样多。
问甲、乙两人原先各带了多少钱?
王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄,王先生的年龄是另外三人年龄和的,李先生的年龄是另外三人年龄和的,赵先生的年龄是其他三人年龄和的,杨先生26岁,你知道王先生多少岁吗?
今年孙子是爷爷年龄的,若干年以后孙子变成爷爷年龄的,再过若干年,孙子变成爷爷年龄的。
则今年爷爷多少岁?
林林倒满一杯纯牛奶,第一次喝了,然后加入豆浆,将杯子斟满并搅拌均匀,第二次林林又喝了,继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀,重复上述过程,那么第四次后,林林共喝了一杯纯牛奶总量的(用分数表示)。
1.四个基本问题
2.一个不变量
测试题十
1.果农卖水果,总共有梨和苹果700个,卖掉200个苹果,又卖掉梨的,总水果数减少了400个,那么现在有梨()个。
A.300 B.200 C.100 D.50
2.孙悟空给小猴分桃子,第一天分了全部的,第二天分了剩下的,第二天比第一天少分20个桃子,那么孙悟空分的桃子一共有()个。
A.50 B.100 C.150 D.200
3.叮叮和铛铛两个人一共有48个苹果,叮叮又买来12个苹果,铛铛又买来自己苹果的,此时他们的苹果数相同,那么原来叮叮有()个苹果。
A.20 B.24 C.28 D.30
4.小明、小英、小丽和小华四人爱好集邮,小明的邮票数是小英的,小英的邮票数是小丽的,小丽的邮票数是小华的,已知四人共集邮132张,那么小明集邮()张。
A.48 B.12 C.8 D.4
5.今年孙子是爷爷年龄的,若干年以后孙子变成爷爷年龄的,再过若干年,孙子变成爷爷年龄的。
则今年爷爷()岁。
(已知爷爷今年的年龄超过50岁,但不到100岁。
)
A.35 B.60 C.70 D.85
第十一讲工程问题
工程问题三个基本量:
工作效率、工作时间、工作总量。
工作效率:
单位时间内完成的工作量,它是衡量一个人工作快慢的量。
工作时间:
完成工作总量所需的时间。
工作总量=工作效率×工作时间
工程问题的本质就是研究工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
特别需要注意的是,工作量和工作效率都可以直接相加求和,但工作时间不能。
常用方法和技巧
关于工程问题有如下一些常用的解题方法和技巧:
一项工程,甲、乙合作需要20天完成,乙、丙合作需要15天完成,由乙单独做需要30天完成,那么如果甲、乙、丙合作,完成这项工程需要多少天?
一项工程,甲单独完成需要12天,乙单独完成需要9天。
若甲先做若干天后乙接着做,共用10天完成,问甲做了几天?
甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作,搬完货物甲用10小时,乙用12小时,丙用15小时。
第二天三人又到两个大仓库工作,这两个仓库的工作量相同。
甲在A仓库,乙在B仓库,丙先帮甲后帮乙,用了16个小时将两个仓库
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