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24
80
48
试估计:
(1)该校任一学生参加课外活动至少1次的概率;
(2)该校任一学生参加课外活动3次或3次以上的概率。
(1)0.83;
(2)0.19
由频率来近似估计所求的概率,先求出调查结果的频率分布如表3—7所示:
表3—7
频率(%)
17
40
(1)该校任一学生参加课外活动至少1次的概率=1一0.17=0.83;
(2)该校任一学生参加课外活动3次或3次以上的概率=0.12+0.05+0.02=0.19。
5.有一机构对某城市的成年人进行了一次酒类消费偏好的调查。
调查结果发现,平时饮酒的人占调查人数的68%,其中消费国产酒的人占62%,而消费进口酒的人占18%。
试求该城市的成年人既消费国产酒也消费进口酒的概率是多少。
0.12
设A=“消费国产酒”,B=“消费进口酒”。
据题意,有:
P(A)=0.62,P(B)=0.18,P(A+B)=0.68
所求概率为P(AB)=P(A)+P(B)一P(A+B)=0.62+0.18—0.68=0.12
6.若用A表示事件“某人死于癌症”,用B表示事件“某人死于意外事故”,C表示事件“某人每周慢跑至少2小时”,且假设P(A)=0.20,P(B)=0.15,P(C)=0.3。
试求:
(1)某人死于癌症或意外事故的概率;
(2)某人并非死于意外事故的概率;
(3)能否求出P(AC)?
(1)0.35;
(2)0.85;
(3)不能
解:
(1)某人死于癌症或意外事故的概率=0.20+0.15=0.35;
(2)某人并非死于意外事故的概率=1—0.15=0.85;
(3)无法求出P(AC)(因为A与C很可能不是独立的)。
7.设x与y相互独立,且二者的概率分布如表3—5所示,试求概率P{X=Y}。
表3—5
X的概率分布
Y的概率分布
X
Y
p
0.4
0.6
0.7
0.3
0.46
P{X=Y)=P{X—1,Y=1)+P{X=2,Y=2}
=P{X=1}P{Y=1}+P{X=2)P{Y=2}
=0.4×
0.7+0.6×
0.3=0.46
8.设随机事件A发生的概率为0.5,事件B发生的概率为0.6,在事件A发生的条件下B发生的概率为0.8。
(1)“A发生或B发生”这一随机事件的概率;
(2)在B事件发生的条件下A发生的概率。
(1)0.7;
(2)2/3
已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8,则
(1)P(AB)=P(A)P(B|A)=0.5×
0.8=0.4
P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)=0.5+0.6—0.4=0.7
(2)P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.4/0.6=2/3
9.甲、乙两人同时向某乙目标射击一次,已知甲命中目标的概率是0.4,乙命中目标的概率是0.7。
试求目标被命中的概率。
0.82
解法一:
目标被命中的概率=0.4+0.7—0.4×
0.7=0.82;
解法二:
目标被命中的概率=1一(0.6×
0.3)=0.82。
10.在上述第9题中,若已经目标已被命中,求它被甲命中的概率。
20/41
目标被甲命中的概率=0.4/0.82=20/41。
11.某种零件加工必须依次经过三道工序,从已往大量的生产记录得知,第一、二、三道工序的次品率分别为0.2,0.1,0.1,并且每道工序是否产生次品与其他工序无关,试求这种零件的次品率。
0.352
求这种零件的次品率,等于计算“任取一个零件为次品”(记为A)的概率P(A)。
考虑逆事件
=“任取一个零件为正品”,页表示通过三道工序都合格。
P(
)=(1—0.2)(1—0.1)(1—0.1)=0.648
于是P(A)=1一P(
)=1—0.648=0.352
12.已知参加某项考试的全部人员中合格的占80%,在合格人员中成绩优秀只占15%,试求任一应试者成绩优秀的概率。
设A表示“合格”,B表示“优秀”。
由于B=AB,于是:
P(B)=P(A)P(B|A)=0.8×
0.15=0.12
13.某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会(即允许在第一次脱靶后进行第二次射击)。
某射击选手第一发命中的可能性是80%,第二发命中的可能性我50%,求该选手命中碟靶的概率。
0.9
设A=第1发命中,B=命中碟靶。
解法一:
根据全概率的计算公式,可知:
P(B)=P(A)P(B|A)+P(
)P(B|
)
=0.8×
1+0.2×
0.5:
=两发均未命中,则
P(B)=1一P(
)=1—0.2×
0.5=0.9
14.某公司购进了两批同种商品。
第一批商品有40箱,每箱装50个,次品率为7.5%;
第二批商品有20箱,每箱装100个,次品率为6%。
若打开人员一箱,并从中任取商品一个,试求取出次品的概率。
7%
取出次品的概率=
15.在上述第14题中,若将所有商品打开放在一起,再从中任取商品一个,试求取出次品的概率。
6.75%
16.已知某地区男人寿命超过55岁的概率为84%,超过70岁以上的概率为63%。
试求任一刚过55岁生日的男子将会活动70岁以上的概率为多少。
0.75
设A=活到55岁,B=活到70岁。
所求概率为
P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=63%/84%=0.75
17.利率变化是影响股票价格波动的一个基本因素。
一位资深股票分析师估计:
在未来一段事件内,利率不会上调,有可能保持不变,但利率下降的概率是利率下降的情况下,股票价格上涨的概率是80%。
请问该分析师是否看好该公司股票?
判断上涨概率为65%(比较看好)。
设A=利率下降,B=股价上涨。
据题意有:
P(A)=0.70,P(B|A)=80%;
P(
)=0.30,P(B|
)=30%
所以,根据这位分析师的判断,该公司股票价格上涨的概率为
P(B)=0.70×
0.80+0.30×
0.30=0.65=65%,因此比较看好。
18.已知某地区人口的性别比例(男性人数:
女性人数)为106:
100,而且有5%的男人和0.4%的女人是色盲。
该地区任一人是色盲的概率有多大?
2.767%
设A=男性,
=女性,B=色盲。
已知P(A)=0.51456,P(
)=0.48544,
P(B|A)=0.05,P(B|
)=0.004,所求概率为
P(B)=P(A)P(B|A)+P(
)=0.51456×
0.05+0.48544×
0.004=0.02767
19.已知某地区人口的性别比例(男性人数:
从该地区随机选出一人,此任恰为色盲者,问此人是男人的概率有多大?
0.92982
这是上一个问题的逆概率,所求概率为
20.某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。
据对同行的调查得知,采用新生产管理流程后产品优质率达95%的占四成,优质率维持在原来水平(即80%)的占六成。
该企业利用新的生产管理流程进行一次试验,所生产5件产品全部达到优质。
问该企业决策者会倾向于如何决策?
0.6115
这是一个计算后验概率的问题。
设A=优质率达95%,
=优质率为80%,
B=试验所生产的5件全部优质。
P(A)=0.4,P(
)=0.6,P(B|A)=
,P(B|
)=
,所求概率为
决策者会倾向于采用新的生产管理流程。
21.某公司从甲、乙、丙三个企业采购了同一种产品,采购数量分别占总采购量的25%,30%和45%。
这三个企业产品的次品率分别为4%,5%,3%。
如果从这些产品中随机抽出一件,试问:
(1)抽出次品的概率是多少?
(2)若发现抽出的产品是次品,则该产品来自丙厂的概率是多少?
(1)0.0385;
(2)0.3506
令
分别代表从甲、乙、丙企业采购产品,B表示次品。
由题意得:
)=0.25,P(
)=0.30,P(
)=0.45;
P(B|
)=0.04,P(B|
)=0.05,P(B|
)=0.03;
因此,所求概率分别为
(1)
=0.25×
0.04+0.30×
0.05+0.45×
0.03=0.0385
(2)
22.某公司本月生产的一批产品由甲、乙两个工厂生产。
其中甲厂生产了600件,次品率为10%;
乙厂生产了900件,次品率为159/6。
现从该公司的这批产品中任意取出一件,试求:
(1)取到次品的概率;
(2)取到乙厂生产的次品的概率;
(3)若已知抽出产品为次品的条件下,该产品出自乙厂的概率。
(1)0.13;
(2)0.09;
(3)0.6923
设A=“乙厂产品”,B=“次品”,则:
P(A)=900/1500=0.60,P(B|A)=15%
)=600/1500=0.40,P(B|
)=10%
(1)P(B)=0.6×
0.15+0.4×
0.1=0.13
(2)P(AB)=P(A)·
P(B|A)=0.60×
0.15=0.09
(3)P(A|B)=
23.某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十字路口。
设每个路口遇到红灯的事件是相互独立的,且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。
试求他途中遇到红灯的次数的概率分布。
据题意,在每个路口遇到红灯的概率是p=24/(24+36)=0.4。
设途中遇到红灯的次数=X,因此,X~B(3,0.4)。
其概率分布如表3—8所示:
表3—8
0.216
0.432
0.288
0.064
24.根据上述第23题的资料,试求途中遇到红灯的次数的期望值和方差、标准差。
期望值(均值)=1.2(次),方差=0.72,标准差=0.8485(次)
E(X)=0×
0.216+1×
0.432+2×
0.288+3×
0.064=1.2
25.3D游戏是以3位自然数为投注号码的彩票。
投注者可从000~999的数字中任选一个数进行投注,投注号码与当期开出的中奖号码完全相同(号码和顺序都相同)即中奖。
购买1注彩票的花费是2元,若中奖可得到奖金1000元。
对任意一注彩票,要求:
(1)写出中奖奖金的概率分布;
(2)计算奖金的期望值和标准差。
(1)中奖奖金(X)的概率分布如表3—9所示:
表3—9
奖金X(元)
1000
概率P(X)
0.999
0.001
(2)中奖奖金(X)的期望值E(X)=0×
0.999+1000×
0.001=1(元)
中奖奖金(X)的方差D(X)=
×
0.999+
0.001=999
标准差
=31.60696(元)
26.一位投资者欲将10万元用于一项短期投资,若该项投资的收益率X是一个随机变量,其概率分布如表3—6所示:
表3—6
收益率X(%)
一1
概率P
0.05
0.1
0.2
0.15
试求这位投资者预期将获利多少?
获利的标准差是多大?
获利(收益)的期望值=0.195(万元);
标准差=0.1359(万元)
E(X)=1×
0.05+0×
0.1+l×
0.2+2×
0.3+3×
0.2+4×
0.15=1.95%
获得(收益)的期望值=10(万元)×
1.95%=0.195(万元)
收益率的标准差=1.374%
获得(收益)的标准差=l0(万元)×
1.374%=0.1374(万元)
27.设离散型随机变量X的各可能取值的概率分别为P{X=1}=0.2,P{X=2}=0.3,P{X=3)=0.5。
试写出X的分布函数,并计算X的期望值和方差。
(1)X的分布函数为
(2)X的期望值和方差分别为
E(X)=1×
0.3+3×
0.5=2.3
D(X)=
0.2+
0.3+
0.5=0.61
28.在一个公共汽车站,每10分钟就有一班公共汽车经过。
假如乘客到站的时间是均匀分布的,乘客在车站等待乘车的时间长短是随机变量。
要求:
(1)写出该随机变量的概率密度函数;
(2)计算乘客等待时间超过5分钟的概率;
(3)计算乘客等待时间超过2~5分钟的概率;
(4)计算乘客等待时间的期望值和标准差。
(2)乘客等待时间超过5分钟的概率P{X>
5}=0.5
(3)计算乘客等待时间在2~5分钟的概率=P{
}=0.3
(4)计算乘客等待时间的期望值E(X)=5(分钟)
标准差D(X)=
(分钟)
29.某营业部在机器无故障时每天的利润额是2万元,在机器发生故障时将亏损1万元。
假设机器在一天内发生故障的概率为0.1,试求该营业部在一周5个工作日中的期望利润共多少?
8.5万元
设一周内机器发生故障的天数为X,则X~B(5,0.1)。
表3—10
P
正常天数
正常日利润
故障损失
利润额Y
Y·
0.59049
5.90490
0.32805
2.29635
0.0729
0.29160
0.0081
0.00810
0.00045
—2
—0.00090
0.00001
—5
—0.00005
合计
1.0000
—
8.50000
利润的期望值E(Y)
=10×
0.59049+7×
0.32805+4×
0.0729+1×
0.0081—2×
0.00045—5×
0.00001
=8.5(万元)
30.一项调查数据表明,有不少顾客对当地电信局提供的某种服务表示不满意,不满意达到20%。
若随机询问10个顾客,请问:
(1)全部表示满意的概率是多少?
(2)有1人表示不满意的概率是多少?
(3)至少有2人表示不满意的概率是多少?
表示不满意的人数X~B(10,0.20),因此有:
(1)P(X—O)一0.10737
(2)P(X一1)=0.268435
(3)P(X≥2)=1一P(X≤1)
=1一{P(X=0)+P(X=1)}
=1一(0.107374+0.268435)=1一0.37581=0.62419
31.某城市的登记失业率为4%。
若在该市随机调查100名劳动力,试计算:
(1)恰有4人失业的概率是多少?
(2)最多有4人失业的概率是多少?
(3)失业人数的期望值和方差是多少?
失业人数X~B(100,0.04),因此有:
(1)P(X=4)=0.199388
(2)P(X≤4)=0.62886
(3)期望值E(X=np=100×
0.04=4
方差D(X)=np(1—p)=100×
0.04×
0.96=3.84
32.有个研究院的电话总机共有400部分机,总机拥有20条外线。
假设每部分机拨外线的概率为3%,试求:
(1)同时拨外线的分机最可能是几部?
(2)总机能够及时满足分机拨外线需要的概率。
(1)12;
(2)0.99
【解法一】
拨外线的分机数量X~B(400,0.03),因此有:
(1)最可能值为12。
由于(n+1)p=401×
0.03=12.03,取整数12。
(2)总机能够及时满足分机拨外线需要的概率为0.99。
【解法二】用泊松分布近似,A=400×
0.03=12,x~P(12),因此有:
(1)最可能值为11和12(当A为整数时,最可能值为
及(
一1))。
(2)总机能够及时满足分机拨外线需要的概率为0.99
33.某商场某销售区域有6种商品。
假如每1小时内每种商品需要12分钟时间的咨询服务,而且每种商品是否需要咨询服务是相互独立的。
(1)在同一时刻需要咨询的商品种数的最可能值是多少?
(2)若该销售区域仅配有2名服务员,则因服务员不足而不能提供咨询服务的概率是多少?
(1)1;
(2)0.0989
设X=同一时刻需用咨询服务的商品种数,由题意有X~B(6,0.2)。
(1)X的最可能值为X。
=[(n+1)p]=[7×
0.2]=l
(2)
34.某超市通常只在月底购进某种商品、根据以往的销售记录得知,该商品月销售量的均值我10件,且其分布可用泊松分布来近似描述。
为了以不低于95%的概率保证该商品不会脱销,各月初的库存量应为多少?
15件
设超市每月销售量为X件,月初库存量应为C件。
35.一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人。
据测算被保险人一年中的死亡率为万分之五。
保险费每人50元。
若一年中死亡,则保险公司赔付保险金额50000元。
试求未来一年该保险公司将在该保险中(这里不考虑保险公司的其他费用):
(1)至少获利50万元的概率;
(2)亏本的概率;
(3)计算陪付总金额的期望值和标准差。
(1)0.58304;
(2)0.00158;
(3)50;
158074(万元)
设被保险人死亡数=X,X~B(20000,0.0005)。
(1)保费总收入=20000×
50(元)=100(万元)
要获利至少50万元,则赔付保险金额应该不超过50万元,等价于被保险人死亡数不超过10人(=50
5万元/人),因此所求的获利至少50万元的概率为P(X
10)。
由于X~B(20000,0.0005),利用Excel可算得:
P(X
10)=0.58604
(2)当被保险人死亡数超过20人时,赔付保险金额就要大于保费收入,保险公司就要亏本。
因此,所求的亏本的概率为
P(X>
20)=1—P(X
20)=1—0.99842=0.00158
(3)赔付保险总金额的期望值为
50000×
E(X)=50000×
20000×
0.0005(元)=50(万元)
赔付保险金额的标准差为
(X)=50000×
(20000×
0.0005×
0.9995
=158074(元)
36.对上述第35题所求的概率,试问:
(1)可否利用泊松分布来近似计算?
(2)可否利用正态分布来近似计算?
(3)假如投保人只有5000人,可利用哪种分布来近似计算?
(1)可以;
(2)可以;
(3)宜用泊松分布去近似。
(1)可以。
当n很大而p很小时,二项分布可以利用泊松分布来近似计算。
本例中,
=np=20000×
0.0005=10,即X~P(10)。
(2)可以。
尽管p很小,但由于n特别达,np和np(1-p)都大于5,二项分布也可以利用正态分布来近似计算。
本例中,np=20000×
0.0005=10,np(1-p)=20000×
1—0.0005)=9.995,即X~N(10,9.995)。
(3)由于p=0.0005,假如n=5000,则np=2.5<
5,二项分布呈明显的偏态,用正态分布来计算就会出现较大的误差。
此时宜用泊松分布去近似。
37.某厂生产的螺栓的长度服从均值为10cm,标准差为0.05cm的正态分布。
按质量标准规定,长度在9.9~10.1cm范围内的螺栓为合格品。
试求该厂螺栓的不合格率是多少。
0.0455
螺旋的长度X~N(10,0.05),则
合格的概率为
=
故不合格率为1—0.9545=0.0455
38.某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布,且均值为200小时,标准差为30小时。
若规定寿命低于150小时为不合格品,试求该企业所生产电池的:
(1)合格率是多少?
(2)电池寿命在200小时左右多大范围内的概率不小于0.9?
(1)95.221%;
(2)49.3456小时
(1)P(X<
150)=P(Z<
)=P(Z<
—1.6667)=0.04779
合格率为1—0.04779=0.95221=95.221%。
(2)P{|X—200|<
K}=P{|Z|=
}
0.9,即
P{Z
0.95,K/30=1.64485,K
49.3456小时。
39.将大量的数值相加时,若要求这些数值只保留整数,通常须遵循四舍五入的原则。
假设这种舍入所产生的误差相互独立且在(一0.5,O.5)上服从均匀分布。
那么,将1000个数值相加,其误差总和的绝对值超过20的概率是多少?
0.02846
设
=第i个数据的舍人误差(i=1,2,…,1000),由于
在(一0.5,0.5)上服从均匀分布,所以E(
=0,D(
。
由独立同分布的中心极限定理可知,总误差Y=∑
~N(1000×
0,1000×
1/12)
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